第2课时 不等式的证明方法 高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

2.2.1第2课时不等式的证明方法第二章等式与不等式学习目标1.掌握不等式5个性质与5个推论.2.掌握用配方法、作差法、综合法、反证法、分析法证明不等式.3.熟练灵活运用不等式性质、推论、思想方法证明不等式.01实例探究例1比较x2-x和x-2的大小.[解]因为(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2=(x-1)2+1，又因为(x-1)2≥0，所以(x-1)2+1

≥1＞0，从而(x2-x)-(x-2)＞0，因此x2-x＞x-2.配方法作差法01实例探究1.作差法：其实质是通过比较两式之差的符号来判断两式的大小，这种方法通常称为作差法.2.综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法.下面我们用综合法来得出几个常用的不等式性质的推论.02新知探索推论1如果a+b>c，那么a>c-b.证明a+b>c⇒a+b+（-b）>c+（-b）⇒a>c-b.推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边.推论1通常称为不等式的移项法则.推论2如果a>b，c>d，那么a+c>b+d.推论2可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向.同向不等式02新知探索

推论3如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.证明根据性质2有

a>b，c>0⇒ac>bc，

c>d，b>0⇒bc>bd，再根据性质4可知

ac>bd.很明显，这个推论也可以推广为更一般的结论：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向.02新知探索

推论4如果a>b>0，那么an>bn（n∈N，n>1）.

尝试与发现证明推论5中不等式的方法具有什么特征？推论5中证明方法的实质是：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立.这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法.02新知探索03新知巩固

03新知巩固[证明]

(1)因为a>b，c<d，所以a>b，-c>-d，根据推论2，得a-c>b-d.

(3)因为0＜c＜d，根据(2)的结论，得又因为，所以根据推论3可知即03新知巩固

可以看出，例2中所使用的方法是综合法.综合法中，最重要的推理形式为p⇒q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论.尝试与发现你能证明

吗？用综合法证明这个结论方便吗？你觉得可以怎样证明这个结论？03新知巩固直接证明并不容易，因此可以考虑用反证法，请同学们自行尝试.不过，为了方便起见，人们通常用下述方式来证明这个结论：要证，只需证明

展开得，即，这只需证明即21＜25.因为21＜25成立，所以成立.的证明过程也可简写为：因为又因为21＜25成立，所以结论成立.上述这种证明方法通常称为分析法.分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为p⇐q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件.03新知巩固03新知巩固

[证明]因为m>0，所以3+m＞0，从而

又因为已知m＞0，所以结论成立.

04课堂小结1.证明不等式的方法配方法、作差法、综合法、反证法、分析法.2.推论推论1

如果a+b>c，那么a>c-b.推论2

如果a>b，c>d，那么a+c>b+d.