第九讲母函数及其应用ACM

ACM程序设计计算机学院刘春英5/24/20231今天，你了吗？AC5/24/20232每周一星（9）：ForYou

5/24/20233西安赛区汇报…5/24/20234第十讲母函数及其应用（Generationfunction）5/24/20235从递推关系说起5/24/20236研究以下等式：

可以看出：x2项的系数a1a2+a1a3+...+an-1an中所有的项包括n个元素a1，a2，…an中取两个组合的全体；同理x3项系数包含了从n个元素a1，a2，…an中取3个元素组合的全体。以此类推。

5/24/20237 若令a1=a2=…=an=1，在（2-1-1）式中a1a2+a1a3+...+an-1an项系数中每一个组合有1个贡献，其他各项以此类推。故有：5/24/20238母函数定义：对于序列a0，a1，a2，…构造一函数：

称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函数5/24/20239

Forexample: (1+x)n是序列C(n,0),C(n,1),...,C(n,n)的母函数。

如若已知序列a0，a1，a2，…则对应的母函数G(x)便可根据定义给出。 反之，如若已经求得序列的母函数G(x)，则该序列也随之确定。

序列a0，a1，a2，…可记为{an}。5/24/202310实例分析5/24/202311例一、若有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？各有几种可能方案？

如何解决这个问题呢？考虑构造母函数。如果用x的指数表示称出的重量，则： 1个1克的砝码可以用函数1+x表示， 1个2克的砝码可以用函数1+x2表示， 1个3克的砝码可以用函数1+x3表示， 1个4克的砝码可以用函数1+x4表示，5/24/202312几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10

从上面的函数知道，可称出从1克到10克，系数便是方案数。例如右端有2x5项，即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1，同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。故称出6克的方案有2，称出10克的方案有1

5/24/202313例二、求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数。因邮票允许重复，故母函数为以展开后的x4为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分数为4，即

：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+25/24/202314概念：整数拆分所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和，相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空着，也允许放多于一个球。整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。5/24/202315练习潜：例3：若申有1克砝精码3枚、2克砝傻码4枚、4克砝弱码2枚，哭问能奴称出涉哪几文种重统量？饭各有择几种历方案棋？例4:整数n拆分挺成1，2，3，…，m的和请，求写其母钢函数级。如绕若其董中m至少坝出现邀一次色，其叛母函植数又未如何暮？请自饿己写骡出以赠上两婶个问伐题的挡母函挥数。5/亿19窑/2德02第316如何券编写员程序资实陡现母禾函数将的应族用呢溉？熟关口键：那对多盒项式畏展开5/眨19泰/2搏02供317以整剃数拆淹分为界例：观察妻以下权的母劫函数家：（这换里以lw号g写的输程序中为例倘）5/贯19验/2小02此318#i池nc搬lu荐de悄<io愁st苹re痛am>扇us防in绣g乌na忆me微sp现ac酸e开st箱d;暑c胞on非stin配tlm晃ax=1朵00评00刺;in酸tc1翅[l箩ma候x+肾1]壤,c啊2[战lm险ax佩+1染];in届tma矮in市()愈{in颤tn,鸦i,吗j,耐k;岁w此hi虚le简(ci衰n>>专n)枯{f惜or恋(剪i=仍0;塑i<馅=n;屿i++帖){c蹈1[扮i]黎=0歉;层c2梁[i桨]=杂0;冰}fo犹r渐(i积=0浆;i亿<=n;傍i++恶)黑c1割[i窑]=徐1;fo档r截(i魄=2宰;i费<=n;自i++脖)咽{扭fo绳r建(j寻=0六;j私<=n;猎j++祸)跪fo书r最(k祥=0伟;k污+j革<=n;扇k+=志i)弟{茫c绪2[耕j+殖k]信+=也c1烫[j帅];每}敬f政or纤(辅j=追0;胳j<化=n;既j++僻)工{光c1荒[j息]=额c2焰[j耽];姜c挪2[荣j]仆=0升;沸}旅}co供ut<<胶c1鼠[n症]<仔<en话dl;腰}楼re种tu犁rn米0顿;灿}5/攀19剑/2挺02皮319HD怠OJ辆_1盘39吃8Sq章ua继re秩C疮oi他nsSa核mp蜂le宏I胳np僻ut2娱10盘3程0摧0Sa霜mp役le渔O耽ut歼pu充t1默4旅275/职19柿/2扒02林320算法反分析导：典型撑的利傻用母亦函数痕可解城的题梅目。G(形x)=尼(1窜+x予+x诱2+长x3吉+x懒4+筒…)立(1系+x妄4+虚x8械+x汉12凯+…巧)(睡1+温x9畏+x焰18渔+x吩27竭+…循)…5/来19胞/2拼02叮321#i驴nc廉lu貌de穷<io姻st办re仍am>us奇in春g让na织me佣sp焰ac志e盐st破d;co示ns请tin醋tlm洗ax=3篮00斑;in荷tc1借[l宪ma骗x+墨1]喜,c偷2[旗lm哥ax押+1扣];in嘴tma黄in地(v割oi惠d){in粪tn,述i,姿j,弹k;wh日il培e铜(ci惊n>>蜂n袖&&滨n奶!=匠0){踪蝶fo蚂r麻(i技=0志;i脑<=n;烈i++藏){宫c1团[i柄]=描1;骂c而2[强i]省=0屠;暖}fo巴r限(i谦=2拴;i摧<=赵17询;i眼++姻){船fo国r纯(j党=0下;j霞<=n;首j++秤)fo呈r醋(k该=0幻玉;k事+j杀<=n;天k+=唤i*陕i){毫c2镰[j给+k谷]+付=c规1[乘j]薯;歇}fo拴r护(j脚=0骄;j贵<=n;脸j++殃){誓c1企[j惭]=屿c2障[j俊];夏c促2[捎j]尿=0兼;具}}co出ut<<睁c1蝇[n猪]<柴<en忠dl;}re宪tu简rn皮0深;}5/蔬19删/2亮02蔑322…in盒tma很in润(v流oi储d){in伟tn,倦i,诵j,克k;in进tel堪em凡[1爪7]菌={蹈1,炸4,央9,生16潮,2质5,伶36男,…肢,1愧69蹄,1拿96转,2彻25退,2推56揭,2贞79留}wh航il欣e丸(ci愤n>>录n耐&&柿n坊!=企0){鲁fo临r壮(i堤=0烤;i斤<=n;嚷i++欠){讲c1足[i械]=鹅1;亦c龙2[尽i]胃=0望;步}fo戚r休(i=严2;达i饭<=纤17蓬;i++侨){辜fo漫r杠(j宋=0气;j德<=n;洪j++蔬)fo蛇r荒(k柔=0倒;k蹲+j从<=玩n;k+艺=e顽le仇m[话i-卧1]){匀c2越[j鬼+k洪]+挑=c晶1[印j]锅;掀}fo无r惨(j常=0络;j矿<=n;颂j++辅){枕c1石[j户]=糕c2舍[j黑];糕c罢2[袜j]瓶=0阻;场}}co律ut<<踢c1号[n波]<桐<en粱dl;}re圈tu惊rn绩0极;}5/港19誓/2榨02国323An近y良Qu经es呼ti挥on付s?5/泪19告/2钉02地324思考赵：HD丽OJ早_1拾02瘦8Ig拆na运ti木us逃a艺nd项t坏he思P篇ri乱nc纤es叛s侵II萝I5/辆19删/2像02坚325思考侨：HD慨OJ想_1忽08骨5卖Ho肃ld累in落g桥Bi虚n-窝La遭de氧n详Ca丙pt温iv岩e!5/锅19兼/2唱02四326思考提：HD多OJ置_1渔17蚁1鞭B温ig辫E纠ve物nt下i室n袋HD谁U5/靠19落/2逼02舅327思考浩：HD壶OJ滤_1古05研9Di顽vi虫di壶ng5/条19溜/2谅02贸328后面退的安刚排:20却07扭/0演1/壁01元旦胞放假20师07灾/0正1/净08上机素练习谢（模专拟考镰试）20舞07挨/0角1/协15期末链考试起（如谣有变备化，冰论坛茧通知财）上机草地点红：现盘教31鼻7和现苹教32箭1上机