第1讲长方体和正方体苏教版

第1讲长方体和正方体知识点一：长方体和正方体的认识1.长方体的特征：长方体是由6个长方形（也可能有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，有6个面、12条棱和8个顶点，相对的面完全相同、相对的棱长度相等。2.长方体的长、宽、高的含义：长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。知识点二：长方体和正方体的展开图1.沿着正方体（或长方体）的棱将其剪开，可以把正方体（或长方体）展开成一个平面图形，这个平面图形就是正方体（或长方体）的展开图。

2.正方体（或长方体）的展开图的特点：在展开图中，正方体的6个面完全相同（长方体相对的面完全相同），相对的面完全隔开。知识点三：长方体和正方体的表面积的意义和计算方法1.意义：长方体（或正方体）6个面的总面积。

2.计算方法：

（1）长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=（长×宽+长×高+宽×高）×2。

（2）正方体的表面积=棱长×棱长×6。知识点四：稍复杂的长方体和正方体表面积的计算

在运用长方体和正方体的表面积解决生活中的实际问题时，最关键的是要根据实际问题确定计算哪几个面的面积和。知识点五：体积和容积的意义1.体积的意义：物体所占空间的大小叫作物体的体积。

2.容积的意义：容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。知识点六：体积单位和容积单位1.体积的意义：物体所占空间的大小叫作物体的体积。

2.容积的意义：容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。知识点七：长方体和正方体的体积1.长方体的体积=长×宽×高，字母公式为V=abh。2.正方体的体积=棱长×棱长×棱长，字母公式为V=a3。知识点八：长方体、正方体体积的统一公式1.底面积：长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。

2.体积计算公式：长方体(或正方体)的体积=底面积×高，如果用字母S表示底面积，h表示高，长方体(或正方体)的体积计算公式可以写成V=Sh。知识点九：相邻体积单位间的进率体积单位常用到，相邻进率是1000。

立方分米立方米，它们进率是1000。

立方分米立方厘米，它们进率是1000。知识点十：探索表面涂色的正方体的有关规律一个表面涂色的正方体，把每条棱平均分成相等的若干份，然后切成同样大的小正方体。

（1）3面涂色的小正方体有8个。

（2）如果用n表示把正方体的棱平均分成的份数（n为大于或等于2的自然数），用a、b分别表示2面涂色和1面涂色的小正方体的个数，那么a=(n-2)×12，b=(n-2)2×6。考点一：长方体和正方体的认识【例1】小军过生日，爸爸妈妈给他订了一个长方体形状的蛋糕。蛋糕盒的外面用彩带进行了捆扎，接头处长20厘米，一共用彩带多少厘米？【分析】根据题意和图形可知，所需彩带的长度等于两条长+两条宽+4条高+接头用的20厘米，由此列式解答。【解答】解：40×2+60×2+30×4+20＝80+120+120+20＝340（厘米）答：至少要用340厘米的丝带捆扎这个礼品盒。【点评】此题属于长方体的棱长总和的实际应用，首先分清是如何捆扎的，然后根据棱长总和的计算方法解答。1.妈妈给奶奶买了一件母亲节礼物，她用丝带把礼物按照下图的方法捆扎，打结处需要45cm。捆扎这个礼物一共需要多少厘米丝带？【分析】根据题意和图形可知，所需彩带的长度等于2条长棱，2条宽棱，4条高棱，再加打结处用的45厘米，由此列式解答。【解答】解：25×2+25×2+25×4+45＝50+50+100+45＝245（厘米）答：捆扎这个礼物一共需要245厘米丝带。【点评】此题属于长方体的棱长总和的实际应用，解答关键是弄清是如何捆扎的，也就是弄清是求哪些棱的长度和。2.一个正方体的棱长之和是6分米，这个正方体的棱长是0.5分米。【分析】根据正方体的特征，正方体的12条棱的长度都相等。用正方体的棱长总和除以12就是它的棱长。据此列式解答。【解答】解：6÷12＝0.5（分米）答：这个正方体的棱长是0.5分米。故答案为：0.5。【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征，以及正方体棱长总和公式的灵活运用，关键是熟记公式。3.把一个棱长为6厘米的正方体框架改做成一个长9厘米，宽5厘米的长方体框架，这个长方体框架的高是多少厘米？【分析】根据“正方体的棱长总和＝12×棱长，”求出正方体的棱长和，因为长方体框架的棱长总和和正方体框架的棱长总和相等，进而根据“长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4”，解答即可．【解答】解：12×6＝72（厘米）72÷4﹣9﹣5＝18﹣9﹣5＝4（厘米）答：这个长方体框架的高是4厘米．【点评】答此题应根据正方体、长方体的棱长总和的计算方法进行解答．考点二：长方体和正方体的展开图【例2】小天准备用一块长方形纸板做一个无盖长方体纸盒，长方体纸盒的平面展开图如图所示，做成的纸盒的容积是多少立方厘米？（纸板的厚度忽略不计）（6分）【分析】通过观察图形可知，做成盒子的长是（24﹣4×2）厘米，宽是（18﹣4×2）厘米，高是2厘米，根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。【解答】解：（24﹣4×2）×（18﹣4×2）×4＝（24﹣8）×（18﹣8）×4＝16×10×4＝160×4＝640（立方厘米）答：做成的纸盒的容积是640立方厘米。【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用，长方体的表面积公式及应用，关键是熟记公式。1.想一想，画一画，一个正方体的展开图有6个面，如图画出了其中5个面，请在相应位置画出第6个面。想一想还有其它情况吗？请在空白处至少再画出一种不同的正方体展开图。【分析】根据正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，把另外一个面画出即可。【解答】解：作图如下（答案不唯一）：【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体展开图的特征及应用。2.将如图的展开图围成正方体后，哪两个面分别相对？请你先想一想，再填一填。1和5，2和4，3和6【分析】此图属于正方体展开图的“1﹣3﹣2”型，折成正方体后，1号面与5号面相对，2号面与4号面相对，3号面与6号面相对。【解答】解：将展开图围成正方体后，1对5，2对4，3对6。故答案为：5，4，6。【点评】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住，能快速解答此类题。3.按要求填一填、算一算、画一画。如图，方格纸上的图形是一个无盖正方体纸盒的展开图。（1）正方体纸盒的后面、下面已经标出了，那么“★”所在的是前面。（2）这个无盖正方体纸盒的表面积和体积各是多少？（3）如果给这个纸盒配了一个上盖，它应该在展开图的哪个位置？请你在合适的位置画出上盖。（画出一种即可）【分析】（1）根据正方体展开图的“2﹣2﹣2”型结构，由于这个纸盒无盖，所以“★”所在的是前面。（2）根据无盖正方体的表面积公式：S＝5a2，正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。（3）根据正方体展开图的“2﹣2﹣2”型结构，上面在展开图中“★”右边。据此作图即可。【解答】解：（1）“★”所在的是前面。（2）4×4×5＝16×5＝80（平方厘米）4×4×4＝16×4＝64（立方厘米）答：这个无盖正方体的表面积是80平方厘米，体积是64立方厘米。（3）作图如下：故答案为：前。【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体展开图的特征及应用，正方体的表面积、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。考点三：长方体和正方体的表面积【例3】如图，制作这个纸箱，至少需要多大的纸板？（单位：分米）【分析】通过观察图形可知，这个纸箱无盖，根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab+2ah+2bh，把数据代入公式解答。【解答】解：3.5×5+3.5×1.5×2+5×1.5×2＝17.5+10.5+15＝43（平方分米）答：至少需要43平方分米的纸板。【点评】此题主要考查长方体表面积公式的实际应用，明确求的面数是解题的关键。1.如果如图正方体正好可以分成4个一样的长方体，其中一个小长方体的表面积可能占原来正方体的表面积的几分之几？（画一画，算一算）【分析】根据题意可知，把一个正方体分成4个完全一样的长方体，每个小长方体的表面积相当于正方体的3个面的面积，把正方体的表面积看作单位“1”，根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法解答。【解答】解：如图：把一个正方体分成4个完全一样的长方体，每个小长方体的表面积相当于正方体的3个面的面积，3÷6＝答：其中一个小长方体的表面积可能占原来正方体的表面积的。【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体、长方体表面积的意义及应用。2.计算下面几何体的（左）表面积和（右）体积。【分析】通过观察图形可知，在一个正方体的顶点处切掉一个小长方体后，表面积不变，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，讲数据代入即可；这个组合图形的体积等于正方体与长方体的体积和，正方体的体积公式：V＝a3，长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。【解答】解：6×8×8＝6×64＝384（cm2）答：这个图形的表面积是384cm2。2×2×2+8×2×5＝8+80＝88（cm3）答：这个组合图形的体积是88cm3。【点评】此题主要考查正方体的表面积公式、以及长方体和正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。3.为迎接2022年第40届洛阳牡丹文化节云赏牡丹活动，王城公园定制了50个长2分米，宽2分米，高6分米的长方体宫灯装饰环境，做这些宫灯一共需要多少平方分米的材料？【分析】根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式求出做一个需要材料的面积，然后再乘做的个数即可。【解答】解：（2×2+2×6+2×6）×2×50＝（4+12+12）×2×50＝28×2×50＝56×50＝2800（平方分米）答：做这些宫灯一共需要2800平方分米的材料。【点评】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。考点四：长方体和正方体的体积【例4】一块长方形铁板长40cm，宽30cm，分别切掉4个边长5cm的正方形，然后做成无盖的盒子。这个盒子的容积是多少cm3？【分析】通过观察图形可知，这个盒子的长是（40﹣5×2）厘米，宽是（30﹣5×2）厘米，高是5厘米，根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。【解答】解：（40﹣5×2）×（30﹣5×2）×5＝（40﹣10）×（30﹣10）×5＝30×20×5＝600×5＝3000（立方厘米）答：这个盒子的容积是3000立方厘米。【点评】此题主要考查长方体容积公式的灵活运用，关键是熟记公式。1.把一根长3m的长方体木料锯成1m长的三段，其表面积增加了12dm2，这根木料原来的体积是90dm3。【分析】根据题意，把一根长方体木料锯成三段，表面积比原来增加4个横截面的面积，先用增加的表面积除以4，求出一个横截面的面积，再根据长方体的体积公式V＝Sh，求出这根木料的体积。注意单位的换算：1m＝10dm。【解答】解：3m＝30dm12÷4＝3（dm2）3×30＝90（dm3）答：这根木料原来的体积是90dm3。故答案为：90。【点评】抓住长方体切割的特点和增加的表面积求出一个横截面的面积，然后灵活运用长方体的体积公式是解题的关键。2.如图是小饰品包装纸盒平面图，请将相对的面写上相同的符号，并根据数据计算生产这样的纸盒需要多少材料？纸盒容积是多少？（材料的厚度忽略不计，单位：cm）【分析】求生产这样的纸盒需要多少材料，是求纸盒的表面积；求纸盒容积是多少，利用体积公式计算。【解答】解：（4×10+4×8+10×8）×2＝（40+32+80）×2＝152×2＝304（cm2）4×10×8＝320（cm3）答：生产这样的纸盒需要304cm2材料，纸盒容积是320cm3。【点评】本题考查了长方体表面积和体积的计算，需熟练掌握计算公式。3.如图是用棱长为1厘米的小立方体测量一个玻璃制成的长方体容器情况。请计算制作这个长方体容器（无盖）需要的玻璃面积和它的容积各是多少？（厚度忽略不计）【分析】通过观察图形可知，沿容器的长摆了5个小正方体，沿宽摆了3个小正方体，沿高摆了3层，也就是这个长方体的长是5厘米、宽是3厘米，高是3厘米，根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab+2ah+2bh，长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。【解答】解：5×3+5×3×2+3×3×2＝15+30+18＝63（平方厘米）5×3×3＝45（立方厘米）答：需要玻璃63平方厘米，它的容积是45立方厘米。【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、容积公式的灵活运用，关键是熟记公式。考点五：简单的立方体切拼问题【例5】看一个长方体，先后沿不同方向切了三刀（如图），切完第一刀后得到的两个小长方体的表面积之和是472平方厘米，切完第二刀后得到的四个小长方体表面积之和是632平方厘米，切完第三刀后得到的8个小长方体的表面积之和是752平方厘米。那么，原来长方体六个面中面积最小的是多少平方厘米？【分析】切完三刀之后，表面积之和是原来大长方体表面积的2倍，所以原来的大长方体的表面积是：752÷2＝376，切完第一刀，增加的两个面的面积是472﹣376＝96平方厘米，一个面的面积是96÷2＝48平方厘米；切完第二刀，又增加的两个面的面积是632﹣472＝160，一个面的面积是160÷2＝80平方厘米；切完第三刀，又增加两个面的面积是752﹣632＝120平方厘米，一个面的面积是120÷2＝60平方厘米，然后比较即可。【解答】解：752÷2＝376（平方厘米）（472﹣376）÷2＝48（平方厘米）（632﹣472）÷2＝80（平方厘米）（752﹣632）÷2＝60（平方厘米）48＜60＜80答：在原来长方体的6个面中，面积最小的面是48平方厘米。【点评】弄清楚每切一刀，切面与原来长方体中的两个平行面的面积相等，切一刀，表面积之和就多了两个这样的切面是关键。1.哪两堆积木可以拼成？用线连起来。【分析】观察可知这个立体图形有3层，每层有3个。【解答】解：【点评】根据所给图形的特征，展开空间想象能力。2.哪堆积木可以和拼成？在下面的□里画“√”。【分析】原来有4个小正方体，拼成的图形有8个，8﹣4＝4（个），所以所选图形由4个小正方体拼成。根据题干积木的形状动手做一做，拼一拼即可得出结论。【解答】解：可以和拼成的一组如图：【点评】本题主要考查学生的观察能力和动手操作能力。3.把一个长方体（如图）切成3个完全相同的小长方体。（1）一共有3种切法。（2）怎样切，得到的3个小长方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加的最多？最多增加了多少？【分析】（1）要把一个长方体要成3个完全相同的小长方体，可以把长平均分成三份，宽和高不变进行切割，也可以把宽平均分成3份，长、高不变进行切割，还可以把高平均分成三份，长、宽不变进行切割；（2）要使3个小长方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加得最多，切割面的面积就应最大，所以应把长、宽、高中最短的棱平均分成3份，较长的两种棱不变切割成3个小长方体，3个小长方体的表面积之和比原来的长方体表面积增加4个切割面面积。【解答】解：（1）一共有3种切法。（2）6＜12＜18，把宽6厘米平均分成3份，长28厘米、高12厘米不变切割成3个完全相同的小长方体，表面积增加最多；18×12×4＝216×4＝864（平方厘米）答：把这个长方体切成3个完全相同的小长方体，表面积最多增加864平方厘米。故答案为：3。【点评】此题重点考查把一个长方体切割成小长方体的切割方法及求切割后增加表面积的方法。一．选择题（共5小题）1．下面展开图中，图（）不能拼成长方体。A．B．C．【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等。A、C属于长方体展开图的“1﹣4﹣1”型，均能折成长方体，B不能，因为上下两个面的面积不相等。据此解答。【解答】解：A、C属于长方体展开图的“1﹣4﹣1”型，均能折成长方体，B不能，因为上下两个面的面积不相等。故选：B。【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用。2．一个长26厘米，宽18厘米，高0.7厘米的物体，它可能是（）A．衣柜B．橡皮C．数学课本D．鞋盒【分析】根据生活经验可知，长26厘米，宽18厘米，高0.7厘米的物体首先不可能是衣柜和橡皮，一个太大一个太小；鞋盒的高度要和宽差不多，所以可能是数学课本符合题意。【解答】解：一个长26厘米，宽18厘米，高0.7厘米的物体，它可能是数学课本。故选：C。【点评】本题考查了长方体的特征及应用。3．将一个长方体的橡皮泥捏成一个球，体积会（）A．变大B．变小C．不变D．无法确定【分析】由题意可知，把一个长方体橡皮泥捏成一个球，它的形状发生了变化，表面积也随之发生了变化，但是体积没有变化，由此解答。【解答】解：把一个长方体橡皮泥捏成一个球，它的形状发生了变化，表面积也随之发生了变化，但是体积没有变化。故选：C。【点评】此题的解答关键是明确把长方体转化为球，体积不变，形状改变了，表面积也随之发生了变化。4．一个瓶子最多能装600mL的水，我们就说600mL是这个瓶子的（）A．质量B．容积C．体积【分析】根据题意，一个水杯最多能装水的体积，就是这个水杯的容积，然后再进一步解答即可。【解答】解：一个瓶子最多能装600mL的水，我们就说600mL是这个瓶子的容积。故选：B。【点评】本题主要考查容积的意义。5．一个长方体水池，长20米，宽10米，深2米，占地（）平方米．A．200B．400C．520【分析】求占地面积也就是求长方体的底面积，利用长方形的面积公式计算．【解答】解：20×10＝200（平方米）；答：占地200平方米．故选：A。【点评】此题考查的目的是理解水池的占地面积，实际就是求长方体的底面积，根据长方形的面积公式计算解答．二．填空题（共5小题）6．把一个正方体木块锯成两个完全一样的长方体，结果表面积增加了32平方厘米，原正方体木块的表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米。【分析】把这个正方体分成两个完全一样的长方体时，增加了两个正方形的面的面积，由此可得正方体的一个面的面积是16平方厘米，所以正方体的棱长是4厘米，由此再利用正方体表面积（S＝6×边长×边长）和体积公式（V＝边长×边长×边长）即可解答。【解答】解：32÷2＝16（平方厘米）因为4×4＝16，所以正方体的棱长是4厘米。则正方体的表面积是：16×6＝96（平方厘米）体积是：4×4×4＝16×4＝64（立方厘米）故答案为：96；64。【点评】本题考查了学生的空间想象能力，分成两个完全一样的长方体其实告诉我们增加的面是正方形.。7．把一个棱长为2cm的正方体和一个长为4cm，宽为2cm、高为2cm的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的所有棱长之和是40cm。【分析】根据题意，把一个棱长为2cm的正方体和一个长为4cm，宽为2cm、高为2cm的长方体拼成一个大长方体，大长方体的长是4+2＝6（厘米），宽是2厘米，高是2厘米，据此解答即可。【解答】解：大长方体的长是4+2＝6（厘米），宽是2厘米，高是2厘米（6+2+2）×4＝10×4＝40（厘米）答：这个大长方体的所有棱长之和是40厘米。故答案为：40。【点评】明确长方体和正方体拼组成一个新长方体，找出新长方体的长宽高是解答此题的关键；用到的知识点：长方体棱长和的计算方法。8．如图是一个正方体的展开图，与“2”相对的是（“5”）。【分析】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“3﹣3”型，折成正方体后，数字“1”“3”相对，“2”与“5”相对，“4”与“6”相对。【解答】解：如图：是一个正方体的展开图，与“2”相对的是（“5”）。故答案为：5。【点评】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。9．要搭成一个正方体框架，还需要2个磁力珠和7根磁力棒。【分析】正方体的特征：8个顶点，12条棱，每条棱长度相等，据此解答。【解答】解：8﹣6＝2（个）12﹣5＝7（根）因此要搭成一个正方体框架，还需要2个磁力珠和7根磁力棒。故答案为：2，7。【点评】本题考查了正方体的特征。10．要想知道液体的多少，可以用量杯和量筒来测量．【分析】根据生活经验、对液体容积的认识，要想知道液体的多少，可以用量杯和量筒来测量．【解答】解：要想知道液体的多少，可以用量杯和量筒来测量；故答案为：量杯，量筒．【点评】此题考查对体积的计量，使用测量工具比较方便．三．判断题（共5小题）11．一个正方体的底面积扩大到原来的2倍，它的表面积就扩大到原来的8倍。×【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，再根据积的变化规律，如果一个正方体的底面积扩大到的原来的2倍，它的表面积也扩大到原来的2倍。据此判断。【解答】解：一个正方体的底面积扩大到原来的2倍，它的表面积就扩大到原来的2倍。因此题干中的结论是错误的。故答案为：×。【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体的表面积公式及应用，积的变化规律及应用。12．正方体的棱长扩大到原来的2倍，它的体积就扩大到原来的4倍。×【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，再根据积的变化规律可知，正方体的棱长扩大到原来的2倍，正方体的体积就扩大到原来的（2×2×2）倍。据此判断。【解答】解：2×2×2＝8正方体的棱长扩大到原来的2倍，正方体的体积就扩大到原来的8倍。因此题干中的结论是错误的。故答案为：×。【点评】此题主要考查正方体体积公式的灵活运用，积的变化规律及应用。13．同一个长方体的展开图的形状不一定相同，但总面积一定相等。√【分析】长方体的表面积大小是由长、宽、高的数值决定的，若两个长方体的表面积相等，则它们的长、宽、高不一定相等，这两个长方体的形状就不一定相同，据此即可做出判断。【解答】解：因为长方体的表面积大小是由长、宽、高的数值决定的，同一个长方体长、宽、高相同，展开图的形状不一定相同，但总面积一定相等。所以原题说法正确。故答案为：√。【点评】解答此题的关键是明白：长方体的表面积大小是由长、宽、高的数值决定的。14．折叠后不可能围成正方体。×【分析】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“3﹣3”型，折叠后能围成正方体。【解答】解：折叠后能围成正方体。原题说法错误。故答案为：×。【点评】此题是考查正方体展开图的认识。正方体展开图分四种类型，11种情况，要掌握每种情况的特征。15．至少要用4个棱长为1厘米的小正方体，才能摆成一个大正方体。×【分析】用棱长是1厘米的小正方体拼组一个大正方体，每个棱长上至少需要2个这样的小正方体，所以至少需要8个相同的小正方体，由此即可解答。【解答】解：2×2×2＝8（个）即至少要用8个棱长为1厘米的小正方体，才能摆成一个大正方体，所以原题说法错误。故答案为：×。【点评】此题考查了小正方体拼组大正方体的方法的灵活应用，小正方体的个数等于大正方体每条棱长上小正方体的个数的3次方。四．计算题（共1小题）16．计算如图所示长方体的表面积和正方体的体积。【分析】根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。【解答】解：（22×10+22×8+10×8）×2＝（220+176+80）×2＝476×2＝952（平方厘米）9×9×9＝81×9＝729（立方厘米）答：长方体的表面积是952平方厘米，正方体的体积是729立方厘米。【点评】此题主要考查长方体、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。五．应用题（共5小题）17．李师傅加工了一个长方体木箱，从里面量长8dm，宽6dm，高4.5dm。这个箱子的容积是多少立方分米？【分析】已知长方体木箱的长、宽、高，根据长方体的体积＝长×宽×高，即可求得体积。【解答】解：8×6×4.5＝48×4.5＝216（立方分米）答：这个箱子的容积是216立方分米。【点评】此题考查了长方体的体积计算，可根据已知直接运用公式计算。18．五棵松体育中心是国内首个在一块比赛场地同时举办篮球、冰球两种职业体育赛事的场馆。按超低能耗建筑标准设计建造的五棵松冰上运动中心在北京冬奥会期间将作为冰球训练馆使用，其特殊设计的多彩外幕墙体系，让场馆得名“冰菱花”。五棵松体育中心的外形是一个长方体，占地面积0.9万平方米，能容纳18000人，其中地下1层、地上6层，建筑高度27.86米。请问五棵松体育中心的体积是多少立方米？【分析】根据题意，五棵松体育中心的外形是一个长方体，占地面积0.9万平方米，建筑高度27.86米。根据长方体的体积公式解答即可。【解答】解：0.9万平方米＝9000平方米9000×27.86＝250740（立方米）答：五棵松体育中心的体积是250740立方米。【点评】本题考查了长方体体积计算知识，结合题意分析解答即可。19．晟兴到家快递站需要将一件长30cm，宽22cm，高15cm的盒子包装后寄出，至少需要准备多少平方厘米的纸板？如果要在棱上粘贴胶带纸，至少需要多少米的胶带纸？【分析】（1）求“至少需要多少平方厘米的红纸”就是求长方体纸箱的表面积，根据长方体表面积S＝（ab+bh+ha）×2解答即可；（2）求至少需要多少的胶带纸就是求长方体的棱长总和，根据长方体的棱长总和C＝（a+b+h）×4解答即可。【解答】解：（1）（30×22+30×15+22×15）×2＝（660+450+330）×2＝1440×2＝2880（平方厘米）答：他们至少需要2880平方厘米的红纸。（2）（30+22+15）×4＝67×4＝268（厘米）答：至少需要268厘米的胶带纸。【点评】此题重点考查学生对长方体表积公式和长方体棱长总和的具体运用情况，同时考查学生对整数乘法的运算能力。20．把一个棱长为3dm的正方体木块至上而下（如图）切去一个长方体，剩下木块的表面积是多少？【分析】根据图意可知，把一个棱长为3dm的正方体木块至上而下（如图）切去一个长方体，剩下部分的表面积比原表面积减少了2个边长为1分米的两个小正方形的面积，并且增加了2个长3分米，宽1分米的长方形，据此解答。【解答】解：3×3×6﹣1×1×2+3×1×2＝54﹣2+6＝58（平方分米）答：剩下部分的表面积是58平方分米。【点评】此类题目的关键是找出增加部分的面和减少部分的面，再利用已知的规则立体图形的表面积的计算方法即可解决问题。21．看图回答．图中共有多少个小正方体，如果每个小正方体的棱长是2cm，这些小正方体的体积是多少立方厘米？【分析】棱长为2cm的正方体的体积是2×2×2＝8（立方厘米），观察图形可知，图中有7+2+1＝10个小正方体，则这个图形的体积就是这10个小正方体的体积之和；据此解答．【解答】解：观察图形可知，图中有7+2+1＝10个小正方体，2×2×2×10＝8×10＝80（立方厘米）答：图中共有10个小正方体，如果每个小正方体的棱长是2cm，这些小正方体的体积是80立方厘米．【点评】此题考查了不规则图形的体积的计算方法的灵活应用．一．选择题（共5小题）1．把体积是1立方米的正方体木块切成1立方分米的小正方体木块，如果把这些小木块排成一排，共有（）米。A．1000B．100C．10D．1【分析】1立方米＝1000立方分米，由此可以得出能够分成1000个1立方分米的小正方体；1立方分米的小正方体的棱长是1分米，把这些小正方体排成一排，总长度是1×1000＝1000分米，据此解答即可。【解答】解：1立方米＝1000立方分米，所以：1000÷1＝1000（个）1立方分米的小正方体的棱长是1分米；则总长度是1×1000＝1000（分米）1000分米＝100米故选：B。【点评】（1）利用大正方体的体积除以小正方体的体积即可求出切割出的小正方体的总个数；（2）先求出小正方体的棱长，再乘以小正方体的总个数即可解决问题。2．淘气把正方体包装盒拆了，如图中（）能折叠成正方体。A．B．C．【分析】根据正方体展开图的11种特征，即可确定哪个图形属于正方体展开图，能折叠成正方体，哪个图形不属于正方体展开图，不能折叠成正方体。【解答】解：、不属于正方体展开图，不能折叠成正方体；属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，能折叠成正方体。故选：B。【点评】本题主要是考查正方体展开图的特征，正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1﹣4﹣1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2﹣2﹣2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3﹣3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1﹣3﹣2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。3．从长7分米、宽6分米、高3分米的长方体中切出一个表面积最大的正方体，该正方体的棱长总和是（）分米。A．36B．64C．72D．84【分析】从长7分米、宽6分米、高3分米的长方体中切出一个表面积最大的正方体，那么正方体的棱长是长方体的高3分米，根据正方体的棱长总和＝棱长×12，代入数据计算即可。【解答】解：3＜6＜7最大的正方体的棱长是3分米。正方体的棱长总和：3×12＝36（分米）故选：A。【点评】明确在长方体中切出一个最大的正方体，那么正方体的棱长是长方体最小的棱长。4．一个长方体的底是面积为4平方米的正方形，它的侧面展开图正好是一个正方形，这个长方体的侧面积是（）平方米。A．18B．48C．64【分析】根据正方形的面积公式：S＝a2，据此可以求出底面边长，根据正方形的周长公式：C＝4a，求出底面周长，已知它的侧面展开图正好是一个正方形，说明这个长方体的底面周长和高相等，把数据代入公式解答即可。【解答】解：因为2×2＝4（平方分米），所以底面边长是2分米底面周长是2×4＝8（分米）侧面积是8×8＝64（平方分米）答：这个长方体的侧面积是64平方分米。故选：C。【点评】此题主要考查正方形的面积公式、正方形的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。5．下列物体中，（）的体积接近1dm3。A．粉笔盒B．橡皮C．书包【分析】根据对体积单位的认识和理解，可知：棱长为1dm的正方体体积是1dm3；由此进行选择即可。【解答】解：在一个粉笔盒、一块橡皮和一个书包中，只有一个粉笔盒的体积接近1dm3。故选：A。【点评】此题考查体积及其单位，应根据题意，联系生活实际、计量单位和数据的大小，进行解答。二．填空题（共5小题）6．长方体的棱长之和是7.2dm，从一个顶点引出的三条棱长度之和是1.8dm。【分析】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱的长度相等．长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，已知棱长总和是7.2厘米，用棱长总和÷4求得长、宽、高的和。【解答】解：7.2÷4＝1.8（分米）答：从一个顶点引出的三条棱长度之和是1.8dm。故答案为：1.8。【点评】此题主要考查长方体的特征及棱长总和的计算方法，根据棱长总和的计算方法解决问题。7．如图，一个长方体展开图，每个面都标有一个数字，如果将这个展开图恢复成长方体，与“5”相对的面是“3”。【分析】根据长方体展开图的特征，此图属于长方体展开图的“1﹣3﹣2”型，折成长方体后，数字“1”与“4”相对，“2”与“6”相对，“3”与“5”相对。【解答】解：如图：一个长方体展开图，每个面都标有一个数字，如果将这个展开图恢复成长方体，与“5”相对的面是“3”。故答案为：“3”。【点评】长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图分“1﹣4﹣1”型，有27种；“1﹣3﹣2”型，18种；“2﹣2﹣2”型，6种；“3﹣3”型，3种，共计54种。每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。8．一根长6m的长方体木料，锯成两段，表面积增加了80cm2，原来这根木料的体积是24000cm3。【分析】根据题意可知：把这根木料锯成两段后，表面积增加的是两个截面的面积，由此可以求出长方体木料的底面积再根据长方体的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。【解答】解：6米＝600厘米80÷2×600＝40×600＝24000（立方厘米）答：原来这根木料的体积是24000立方厘米。故答案为：24000。【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。9．容器所能容纳物体的体积叫做容器的容积．【分析】根据容积的概念：容器所能容纳物体的体积叫做容器的容积；进行填空即可．【解答】解；容器所能容纳物体的体积叫做容器的容积．故答案为：容纳物体的体积．【点评】此题考查对容积的认识，一般一个容器的体积要大于它的容积．10．用12个棱长1厘米的小正方体拼成一个长3厘米、宽与高都是2厘米的大长方体，再将它去掉一个小正方体（如图所示），现在它的表面积是34平方厘米．【分析】由图形可知：在棱的中间去掉一个小正方体后，表面积比原来增加了小正方体的两个面的面积．据此解答．【解答】解：3×2×4+2×2×2+1×1×2＝24+8+2＝34（平方厘米），答：现在它的表面积是34平方厘米．故答案为：34．【点评】此题主要考查长方体的表面积公式的灵活运用．三．判断题（共5小题）11．把表面积都为6m2的两个正方体拼成个长方体，这个长方体的表面积为12m2。×【分析】根据题意可知，把两个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积比两个正方体的表面积减少了正方体的2个面的面积，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式求出正方体的一个面的面积，进而求出长方体的表面积，然后与12平方米进行比较。【解答】解：6÷6＝1（平方米）6×2﹣1×2＝12﹣2＝10（平方米）所以这个长方体的表面积是10平方米。因此题干中的结论是错误的。故答案为：×。【点评】此题主要考查正方体、长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。12．如图是长方体的表面展开图，与⑥相对的面是③．√【分析】这是长方体展开图的“1﹣4﹣1”结构，折成长方体时，①面和④面相对，③面和⑥面相对，②面和⑤面相对；据此解答．【解答】解：如图是长方体的表面展开图，与⑥相对的面是③．原题说法正确．故答案为：√．【点评】长方体展开图与正方体展开图类似，不同的是正方体展开图是由六个相同的正方形组成，而长方体展开图是六个长方形（有可能相对的两个面是正方形），只有相对面是全等的长方形．13．用长20cm、宽15cm、高6cm的长方体木块堆成一个正方体，至少需要120块这样的长方体木块。√【分析】20厘米、15厘米、6厘米的最小公倍数即为堆成的正方体的棱长。需要的长方体木块数为堆成的正方体棱长除以20、15、6所得的商的积。【解答】解：20＝2×2×515＝3×56＝2×320、15、6的最小公倍数为2×2×5×3＝60（60÷20）×（60÷15）×（60÷6）＝3×4×10＝120（个）用长20cm、宽15cm、高6cm的长方体木块堆成一个正方体，至少需要120块这样的长方体木块。原题说法正确。故答案为：√。【点评】此题考查的知识点：正方体的特征，最小公倍数的应用。14．一个长方体相交于一个顶点的三条棱长总和是20厘米，则这个长方体的棱长总和是80厘米。√【分析】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱的长度相等，长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，已知相交于一个顶点的三条棱长总和是20厘米，用20乘4即可求出棱长总和。【解答】解：20×4＝80（厘米）因此这个长方体的棱长总和是80厘米。原题说法正确。故答案为：√。【点评】此题主要考查长方体的特征及棱长总和的计算方法，根据棱长总和的计算方法解决问题。15．长方体的表面积比正方体的表面积大．×【分析】根据长方体的、正方体的表面积的意义，长方体或正方体6个面的总面积叫做它们的表面积．在没有确定长方体的长、宽、高与正方体棱长的关系时，无法确定长方体与正方体的表面积的大小．进行判断．【解答】解：在没有确定长方体的长、宽、高与正方体棱长的关系时，无法确定长方体与正方体的表面积的大小．由此，长方体的表面积比正方体的表面积大．这种说法是错误的．故答案为：×．【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体的表面积的意义、计算公式及应用．四．计算题（共1小题）16．求图1的体积和图2的表面积（单位：cm）。【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可求出图1的体积；图2的表面积等于长为（8﹣3）cm、宽为3cm、高为3cm的长方体的表面积加上两个边长是3cm的正方形、两个长为3cm、宽为1cm的长方形的面积。【解答】解：15×15×15＝225×15＝3375（cm³）3×（8﹣3）×4+3×3×2+3×3×2+3×1×2＝60+18+18+6＝78+24＝102（cm²）答：图1的体积是3375cm³，图2的表面积是102cm²。【点评】熟练掌握正方体体积的求法以及长方体表面积的求法是解题的关键。五．应用题（共5小题）17．一块长方体石料，底面是边长5分米的正方形，高是6分米。现将这块石料加工成最大的正方体，凿去的石料的体积是多少？【分析】根据题意可知，在这块长方体石料加工成最大的正方体，这个正方体的棱长等于长方体的底面边长，根据长方体的体积公式：V＝abh，正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式求出长方体与正方体的体积差即可。【解答】解：5×5×6﹣5×5×5＝25×6﹣25×5＝150﹣125＝25（立方分米）答：凿去的石料的体积是25立方分米。【点评】此题主要考查长方体、正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。18．一个长方体的玻璃缸，长8dm，宽7dm，高6dm，水深5.5dm。如果投入一块棱长为4dm的正方形铁块，缸里的水溢出多少升？【分析】根据题意可知，把铁块放入玻璃缸中，溢出水的体积等于铁块的体积减去玻璃缸内无水部分的体积，根据正方体的体积公式：V＝a3，长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。【解答】解：4×4×4﹣8×7×（6﹣5.5）＝64﹣56×0.5＝64﹣28＝36（立方分米）36立方分米＝36升答：缸里的水溢出36升。【点评】此题主要考查正方体的体积公式、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。19．如图，一个长方体由三个同样的小正方体拼成，如果去掉一个小正方体，表面积就减少20平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？【分析】去掉一个小正方体，一共减少了4个面，表面积就减少20平方厘米，一个面的面积就是20÷4＝5（平方厘米），观察长方体一共由（5+5+4）个这样的面组成的，即可求得。【解答】解：20÷4＝5（平方厘米）5×（5+4+5）＝70（平方厘米）答：原来长方体的表面积是70平方厘米。【点评】先算出一个面是多少，再观察这个长方体一共有多少个这样的面。20．一节长方体的通风管长是3dm，宽是2dm，高是8dm。做一节这样的通风管至少需要多大的铁皮？【分析】首先搞清这道题是求长方体的表面积，其次这个长方体的表面由四个长方形组成，缺少最大的两个面用铁皮最少，也就是缺少前后两个面；只求它的左右、上下4个面的面积之和；据此解答即可。【解答】解：3×2×2+2×8×2＝12+32＝44（平方分米）答：做一节这样的通风管至少需要44平方分米的铁皮。【点评】这是一道长方体表面积的实际应用，在计算时要分清需要计算几个长方形面的面积，缺少的是几个面的面积，从而列式解答即可。21．一种长方体铁皮通风管长2m，管口是边长为4dm的正方形，做20根这样的通风管，至少需要多少平方米的铁皮？【分析】由于通风管没有底面，所以只求它的侧面积即可，长方体的侧面积＝底面周长×高，做20根这样的通风管就是20个这样的侧面积，用求出的侧面积再乘20，据此列式解答。【解答】解：4dm＝0.4m0.4×4×2×20＝3.2×20＝64（平方米）答：做20根这样的通风管至少需要64平方米的铁皮。【点评】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么（体积、表面积还是几个面的面积），再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。一．选择题（共5小题）1．（2022春•洋县期末）把一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍，那么它的体积会扩大到原来的（）A．3倍B．6倍C．9倍D．27倍【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，再根据积的变化规律，积扩大到原来的倍数等于因数扩大到原来倍数的乘积。据此解答即可。【解答】解：3×3×3＝27答：它的体积会扩大到原来的27倍。故选：D。【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，积的变化规律及应用，关键是熟记公式。2．（2022春•巩义市期末）聪聪送给明明一个生日礼物，并用彩带扎好（如图），蝴蝶结处的彩带长40cm，要算出包装这个礼盒一共用的彩带，列式正确的是（）A．（20+15+8）×4+40B．（15+20）×4+8×2+40C．（15+20）×2+8×4+40【分析】根据题意和图形可知：所需彩带的长度＝2条长+2条宽+4条高+接头处的40厘米，据此解答。【解答】解：（15+20）×2+8×4+40＝70+32+40＝142（厘米）答：这个礼盒一共用的彩带142厘米。故选：C。【点评】此题主要考查长方体的特征及棱长总和的计算方法，根据棱长总和的计算方法解决问题。3．（2022春•上蔡县月考）用两个长、宽、高分别是3厘米，2厘米，1厘米的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最小是（）平方厘米．A．44B．40C．32D．38【分析】要使拼组后的表面积最小，则可以把这两个长方体的最大面（3×2的面）相粘合，这样表面积就比原来的表面积减少了2个最大面的面积，由此利用长方体的表面积公式先求出这两个长方体的表面积之和，再减去两个3×2面的面积即可解答．【解答】解：（3×2+3×1+1×2）×2×2﹣3×2×2＝11×4﹣12＝44﹣12＝32（平方厘米），答：表面积最小是32平方厘米．故选：C．【点评】两个相同的长方体拼组大长方体，要使拼组后的表面积最小，则把最大面相粘合．4．（2022春•渭南期末）下面图形中，（）沿虚线折叠后能围成长方体。A．B．C．【分析】根据正方体、长方体展开图的11种特征，选项A、选项B、选项C都是“1﹣4﹣1”结构，选项A和选项C都不能折成长方体，只有选项B能折成长方体。据此解答即可。【解答】解：选项A、选项B、选项C都是“1﹣4﹣1”结构，选项A下边的长方形较短，选项C上下两个长方形的宽较短，都不能折成长方体，只有选项B能折成长方体。故选：B。【点评】此题是考查长方体、正方体展开图的认识，长方体、正方体展开图都分成“1﹣4﹣1”、“1﹣3﹣2”、“2﹣2﹣2”、“3﹣3”四各类型，正方体展开图有11种情况，长方体展开力比正方体展开图复杂，有54种情况。5．（2022春•红寺堡区期中）一个油箱装油10升，我们就说油箱的（）是10升。A．体积B．容积C．重量【分析】物体所能容纳的物体的体积叫做物体的容积，据此解答即可。【解答】解：一个油箱装油10升，我们就说油箱的容积是10升。故选：B。【点评】本题主要考查容积的意义，物体所能容纳的物体的体积叫做物体的容积。二．填空题（共5小题）6．（2022春•大埔县期末）一个正方体的棱长总和是12cm，它的表面积是6cm2，体积是1cm3。【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，那么棱长＝棱长总和÷12，据此求出棱长，再根据正方体的表面积公式：S＝6a2，体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。【解答】解：12÷12＝1（厘米）1×1×6＝6（平方厘米）1×1×1＝1（立方厘米）答：它的表面积是6平方厘米，体积是1立方厘米。故答案为：6，1。【点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式、表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。7．（2022春•大渡口区期末）折一折，用做一个，“3”的对面是“4”，“1”的对面是“2”。【分析】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，折成正方体后，“1”与“2”相对，“3”与“4”相对，“5”与“6”相对。【解答】解：用做一个，“3”的对面是“4”，“1”的对面是“2”。故答案为：“4”，“2”。【点评】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。8．（2022春•忻州月考）正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形，它是特殊的长方体。【分析】根据正方体、长方体的特征：正方体是由6个完全相同的正方形围成的，它有12条棱，12条棱的长度都相等；长方体是由6个长方形围成的，相对的面完全相同，它有12条棱，相对的4条棱的长度都相等；所以正方体又可以看做是特殊的长方体；据此解答。【解答】解：正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形，它可以看成是特殊的长方体。故答案为：正方形，长方体。【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体、长方体的特征。9．（2022春•枣阳市期末）如图的长方体是用棱长1厘米的小正方体摆成的，它的体积是36立方厘米。【分析】通过观察图形可知，这个长方体的长是4厘米，宽是3厘米，高是3厘米，根据体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。【解答】解：4×3×3＝12×3＝36（立方厘米）答：它的体积是36立方厘米。故答案为：36立方厘米。【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。10．（2022春•礼泉县期末）把一个长方体的高缩短3厘来后，它就变成了一个正方体，表面积比原来减少了60平方米，原长方体的高是8厘米，原长方体的表面积是210平方厘米。【分析】根据高减少3厘米，就变成了一个正方体可知，这个正方体比原长方体表面积减少的4个面是相同的，根据已知表面积减少60平方厘米，用（60÷4÷3）厘米，求出减少面的宽，也就是剩下的正方体的棱长，然后用求出的宽加上3厘米，求出原长方体的高，再计算原长方体的表面积公式S＝（ab+ah+bh）×2，计算解答即可。【解答】解：60÷4÷3＝5（厘米）5+3＝8（厘米）5×5×2+5×8×4＝25×2+40×4＝50+160＝210（平方厘米）答：原长方体的高是8厘米，原长方体的表面积是210平方厘米。故答案为：8，210。【点评】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是求出长方体的长、宽、高，再利用长方体的表面积公式解答。三．判断题（共5小题）11．（2022•潼关县）如图折叠成正方体后，与a相对的面上的数字是2。×【分析】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1﹣3﹣2”型，折叠成正方体后，数字1与字母a相对，2与4相对，3与5相对。【解答】解：如图：折叠成正方体后，与a相对的面上的数字是1。原题说法错误。故答案为：×。【点评】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。12．（2022•天津）一个正方体的棱长是6cm，这个正方体的棱长总和是36厘米。×【分析】由正方体的特征可知：正方体共有12条棱长，且每条棱长都相等，据此即可根据每条棱长的长度，求出正方体的棱长总和，然后判断即可。【解答】解：正方体的棱长总和：6×12＝72（厘米）所以本题说法错误。故答案为：×。【点评】此题主要考查正方体知识，关键是根据正方体的棱长求出棱长总和。13．（2022春•禅城区期末）计算制作一个正方体月饼盒要用多少纸皮，是求月饼盒的容积。×【分析】计算制作一个正方体月饼盒要用多少纸皮，是求月饼盒的表面积，容积是容纳的空间大小，据此解答。【解答】解：计算制作一个正方体月饼盒要用多少纸皮，是求月饼盒的表面积。原题说法错误。故答案为：√。【点评】本题考查了表面积和