空间中直线与直线之间的位置关系

立体几何2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系平面内两条直线的位置关系相交直线相交直线（有一个公共点）abo平行直线平行直线（无公共点）ab复习引入螺母abcdef新课探究观察下列图形，说说空间中两条直线的位置关系探究一立交桥思考：存在不存在一个平面同时过上面两条直线？问题1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？讲授新课问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？abcd1.异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。1)异面直线既不平行也不相交一、空间两条直线的位置关系2)定义中“任何”是指两条直线永远不具备确定平面的条件，即是不可能找到一个平面同时包含这两条直线；不能认为分别在两个平面内的两条直线叫异面直线。a与b是相交直线a与b是平行直线a与b是异面直线abM它们可能异面，可能相交，也可能平行。

abab它们可能异面，可能相交，也可能平行。

也不能认为不在同一平面内的两条直线叫异面直线。

说明:画异面直线时,为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托.如图：aabaAbb(1)(3)(2)3）异面直线的画法4）异面直线的判定方法：①不同在任何一个平面内。②既不相交也不平行的直线。③连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。已知：如图求证：直线AB和a是异面直线。BAa证明:(反证法)假设直线AB和a不是异面直线。则直线AB和a一定共面，设为（公理2的推论1）所以直线AB和a是异面直线。这与已知A∉α矛盾，

按平面基本性质分同在一个平面内相交直线平行直线

不同在任何一个平面内:异面直线

有一个公共点:

按公共点个数分相交直线无公共点平行直线异面直线

2、空间中直线与直线之间的位置关系A1B1C1D1CBDA练习1、

如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的有哪些？

答案：D1C1、C1C、CD、D1D、AD、B1C1A1B1C1D1CBDA练习1、

如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的有哪些？

下图耻长方侦体中平行相交异面②BD和FH是直线①EC和BH是直线③BH和DC是直线BACDEFHG(2粪).与棱A涝B所在椒直线习异面厌的棱邀共有条?4分别车是卡：CG、HD、GF、HE课后贵思考:这个拿长方教体的庆棱中暖共有气多少隆对异评面直价线?(1逐)说出元以下跨各对敏线段哈的位衫置关和系?练习31.画两坝个相落交平骆面，从在这弦两个滥平面烤内各笨画一条株直线揭，使形它们泄成为谣：⑴平总行直蜻线；稍⑵相叙交直蜂线；斤⑶异华面直新线.巩固涛：1.画两术个相期交平蚂面，脚在这封两个携平面沈内各村画一条概直线边，使撑它们妄成为太：⑴平创行直墓线；光⑵相帅交直床线；策⑶异物面直正线.ab⑴巩固泻：1.画两雀个相事交平抵面，国在这怒两个渡平面登内各妙画一条险直线坐，使般它们黑成为灶：⑴平户行直的线；旧⑵相每交直外线；宇⑶异锻面直川线.abab⑴⑵巩固望：1.画两健个相圾交平资面，绒在这盛两个荷平面福内各己画一条烈直线凡，使症它们亩成为煎：⑴平丑行直匪线；该⑵相伍交直得线；津⑶异遵面直凳线.ababab⑴⑵⑶巩固芹：2.两条哗异面衬直线枣指：A.空间胖中不拖相交滴的两朽条直细线；B.不在箭同一尊平面朽内的劣两条谎直线啦；C.不同或在任脊一平柏面内存的两驱条直劈燕线；D.分别兄在两慨个不努同平榨面内谁的两嗽条直脚线；E.空间相没有肤公共蕉点的楼两条肺直线抖；F.既不例相交沙，又壮不平扮行的己两条俯直线.巩固伶：(滨)填空伶：1、空追间两袭条不杆重合冶的直估线的糕位置四关系尤有__金__社__脑__、__轧__弦__应__、__享__典__老__三种支。2、没劳有公但共点震的两饮条直错线可爷能是__哀__关__总__直线酷，也朽有可岔能是__禽__肺__做__直线芦。3、和艘两条般异面障直线挡中的山一条举平行衣的直蛛线与灵另一戏条的公位置馒关系有__婶__职__熄__添__叹__懒__。平行相交异面平行异面相交拼、异菊面练习这提升“a，b是异鼠面直蠢线”印是指顽①a∩b=Φ波,且a不平漏行于b；②a平面蝇，b平面报且a∩b=Φ日③a平面轧，b平面阅④她不存聚在平鞠面万，准能使a且b成立1、上述穷结论损中，泻正确涨的是妖（扑）（A）①线②岔（B）①割③语（C）①秧④苏（D）③银④2、长乳方体分的一风条体院对角瓶线与掌长方姓体的视棱所昼组成穗的异寨面直乏线有牧（洋）（A）2对举（B）3对旺（C）6对逃（D）12对CC3、两脱条直橡线a,b分别屠和异哪面直苏线c,d都相振交，粗则直狭线a，b的位饭置关将系是释（牌）（A）一炼定是梢异面桂直线星（B）一呜定是宝相交嘱直线（C）可莫能是坝平行拴直线（D）可列能是喜异面户直线都，也降可能端是相蚀交直竞线4、一答条直血线和裂两条污异面叙直线优中的殿一条搏平行,则它疫和另标一条觉的位些置关达系是(释)（A）平武行（B）相桥交（C）异填面（D）相留交或运异面DD探究:HGCADBEFGHEF(B)(C)DA如图调是一者个正苍方体姨的展拉开图,如果念将它还原况为正画方体,那么AB,CD,EE,GH这四层条线炒段所咱在直领线是菊异面银直线苦的有对?答:共有坐三对abced我们趟知道,在同汽一平户面内,如果捷两条语直线猛都和绸第三陈条直隐线平究行,那么魔这两身条直过线互肺相平腥行.在空闭间这世一规润律是保否还抬成立狭呢?观察:将一钳张纸脑如图引进行采折叠,则各糕折痕伍及边a,b,c,d,e,该…之间布有何沟关系悟？a∥b∥c∥d∥e∥敞…公理普４：在空米间平旺行于侮同一您条直劳线的犹两条胡直线仆互相昏平行．——安—平行蛛线的反传递舰性二、形空间杂直线音的平豆行关匙系若a∥分b，b∥蹈c，1、平行关系的传递性caabccaα则a∥竞c。公理4的作兼用：伐它是赵判断是空间蜓两条屿直线殃平行廊的依态据公理抓４：在空阶间平聋行于抗同一吹条直仿线的移两条竞直线章互相晒平行．推广：在协空间调平行恒于一骡条已院知直榨线的曲所有档直线键都互结相平垮行．二.空间询直线膝的平燥行关幅系：例2.已知AB鼓CD是四拣个顶汉点不潮在同撤一个狐平面洲内的毒空间括四边愿形，E，F，G，H分别笼是AB，BC，CD，DA的中曾点，悬连结EF，FG，GH，HE，求骨证：EF改GH是一衬个平爱行四芹边形吨。证明太：连亦结BD∵巴EH是△AB带D的中那位线∴EH牵∥规BD且EH强=起B顺D同理过，FG导∥洗BD且FG谱=炉B录D∴E催H勒∥F蔑G且EH腾=妹FG∴E逢FG爷H是一还个平蚕行四凝边形如果胸再加莲上条凶件AC腿=堆B贿D,那么值四边柏形EF卸GH是什昌么图银形？AB

DEFGHC在平锹面内,我们万可以霞证明慕“恰如宏果一号个角砌的两绸边与羽另一你个角种的两边常分别坝平行孩，那挎么这母两个巧角相粱等或坊互补沟”瘦．空燃间中梁这一请结论是巷否仍斩然成拘立呢废？定理枕（等渡角定龄理）沈：空间被中，席如果舰两个浪角的饶两边骂分别丧对应匀平行聋，那么纳这两膊个角圈相等泥或互摩补．观察:如图鸣所示,长方航体AB陵CD枕-A1B1C1D1中,珠∠A卧DC与∠A1D1C1,∠A饱DC与∠A1B1C1两边品分别蔽对应予平行,这两柳组角争的大雹小关系慰如何?答:从图中可看出,∠ADC=∠A1D1C1,∠ADC+∠A1B1C1=180OD1C1B1A1CABD二.空间补直线腊的平娘行关废系：2.等角政定理定理仰：空耽间中狠如果推两个稀角的肤两边湾分别董对应冻平行歇，那盾么这饼两个遣角相努等或看互补度。问：堡这两角个角钟什么歉时候行相等秩，什蚊么时辉候互注补？三.异面拼直线羡所成究的角在平相面内,两条执直线砌相交妈成四个角,其中不大杰于90度的角捕称为术它们的迫夹角,用以叠刻画寇两直把线的警错开程度,如图.在空揉间,如图猛所示,正方悼体AB辟CD－EF退GH中,异面蝇直线AB与HF的错励开程疤度可买以怎问样来金刻画舟呢?ABGFHEDCO问题苍提出复习汗回顾解决易问题异面旺直线漆所成厕角的蚁定义:如图,已知徒两条殊异面昏直线a,b,经过传空间叔任一伍点O作段直线a′∥a,b′∥b则把a′与b′所成拖的锐险角(或直霞角)叫做冈异面朽直线佩所成薄的角(或夹踏角).abb′a′O思想娱方法:平移脏转化踏成相离交直他线所糖成的抗角,即化复空间漠图形积问题罢为平犹面图伙形问位题思考:这个的角的播大小耐与O点的删位置罚有关耀吗?即O点位扭置不脉同时,这一妈角的桶大小础是否德改变?异面直线所成的角的范围0<θ≤90

oo如果两条异面直线a,b所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直,记为a⊥b注2a

″思考:这个背角的靠大小扔与O点的炊位置扒有关浸吗?即O点位研置不脂同时,这一积角的歪大小是否注改变?∵a′∥a,a″∥a∴a′∥a″(公理4)苦,解答丢：如图设a′与b′相交牺所成铃的角惩为∠1,a″与b所成盈的角怨为∠2神,同理b′∥b″,著∴活∠及1迈=砍∠2(等角纽奉定理)b′a′O∠1aa″b∠2答:这个总角的咽大小鞠与O点的突位置无关.说明顷：aαa1b1O1、分淡别平岸行于懒两条廉异面怠直线抛的两民条相创交直粥线所招成的锐角哥（直完角）河叫做快两异盆面直括线所竞成的吨角2、定揉义由征等角乌定理症解释伯：为了仁简便棚，在揪求作泰异面洗直线屈所成京的角检时,O点探常选荐在其锅中的巨一条删直线益上(如线亮段的端点,线段请的中点等)b

aαOθ如果愿两条荒异面拘直线叠所成垦的角顿是直芽角，就说起这两依条异瓣面直哀线互刑相垂咬直。

相交垂直（有垂足）垂直异面垂直（无垂足）OααO因此叮，异绞面直巧线所秀成角冰的范势围是0蔑<θ≤903、特耐例：oo求异洁面直侨线所汉成的迷角的虑步骤偷是:一作(找)：作绑（或童找）雹平行辽线二证彼：证比明所廊作的巨角为企所求垂的异面直篮线所五成的牢角。三计屡算：务在一兔恰当厘的三居角形花中求凯出角4、解航题时宵，常摘将异每面直炉线所她成的馆角转担化相抵交直宇线所张成的萍角实秩现了拿空间岛问题滚平化屈。5、求跨异面撇直线厦所成径的角创的基举本法路则：作平芦行线塌，构榴造三有角形探究扰？D1C1B1A1CABD（1）如绕图，叛观察针长方泊体AB天CD淘-A1B1C1D1，有民没有棋两条读棱所在疼的住直线透是相于互垂煌直的拼异面朵直线师？（2）如似果两愁条平米行线缓中的抹一条漫与某站一条游直线觉垂直岭，另一敢条直拣线是闹否与承这条得直线圆垂直顾？（3）垂毙直于植同一凶条直集线的淋两条些直线黑是否斤平行潜？如图颜，已亲知正魂方体AB优CD－A'错B'丛C'添D'中。（1）哪坟些棱慈所在害直线傍与直劈燕线BA户'是异飘面直胁线？（2）直等线BA沉'和CC脑'的夹炊角是父多少膊？（3）哪衡些棱估所在浴的直贿线与小直线AA疗'垂直炊？解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线成异面直线的有直线，ABCDA'B'C'D'例3如图耻，已酬知正抽方体税中拖。（1）哪势些棱养所在织直线仅与直泡线绵是异俱面直证线？（2）直菠线蛮和景的愧夹角蒙是多晒少？（3）哪瓦些棱劈燕所在置的直堵线与想直线角垂直绵？解：心（2）由派可知，等于雾异面窃直线岛与的夹葡角,所以络异面户直线亡与科的红夹角逢为450。(3婆)直线与直头线博都妥垂直.ABCDA'B'C'D'例3解：逼分别愈取AB、BC、CD、BD的中瞎点，E、F、G、H，连记接EF、FG、GH、EH、EG，HGFECDBA1P2ABGFHEDC课堂牙练习1如图母，正南方体AB须CD虽-E裁FG眼H中,O为侧渗面AD恋HE的中键心，缘瑞求(1立)B辛E与CG所成泰的角亦？(2盲)F际O与BD所成熊的角