第一次数学危机

13第一次数学危机2历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大的挫折叫做危机。危机意味着挑战，危机的解决就意味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危机，都是数学的基本部分受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。一、什么是数学危机

危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的。人类最早认识的是自然数。从引进零及负数就经历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通；引进分数使乘法有了逆运算——除法。接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用有理数来表示?于是发现无理数就导致了第一次数学危机，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化。

方程的解导致了虚数的出现，虚数从一开始就被认为是“不实的”。可是这种不实的数却能解决实数所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。

几何学的发展从欧几里得几何的一统天下发展到各种非欧几何学。5二、毕达哥拉斯学派和他们的

“万物皆数”

1.毕达哥拉斯Pythagoras(约前570年—前500年）

毕达哥拉斯是公元前500多年古希腊的哲学家、数学家、天文学家。6毕达哥拉斯(公元前570年～公元前500年)7

毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织，也致力于哲学与数学的研究，促进了数学和理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士多德的思想产生很大影响。8

相传“哲学”（希腊原词意为“智力爱好”）和“数学”（希腊原词意为“可学到的知识”）这两个词是毕达哥拉斯本人所创。92.毕达哥拉斯学派在数学上的贡献

1）数学证明的起始

泰勒斯毕达哥拉斯欧几里得证明是要有假设的:公设、公理及定义。许多人推测，欧几里得几何《原本》前两卷的大部分材料，来源于毕达哥拉斯学派。10

2）数学抽象的提出

从实物的数与形，抽象到数学上的数与形，本身就把数学推向了科学。

3）毕达哥拉斯定理

即“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”。在中国叫商高定理或勾股定理。11《周髀算经》中的“勾股定理”

（约公元前700年）

《周髀算经》卷上记载西周开国时期周公与大夫商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到“勾广三股修四经隅五”，这是勾股定理的特例。卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：“……以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”12

中国数学史上最先完成勾股定理证明：公元3世纪三国时期的赵爽。赵爽注《周髀算经》，作“勾股圆方图”，其中的弦图，相当于运用面积的“出入相补”方法（刘徽），证明了勾股定理。如图1314

西方文献中称此定理为毕达哥拉斯定理。曾经有人编书，收集了勾股定理的370种证法。153.毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说

1）“万物皆数”学说

①数，是世界的法则

毕达哥拉斯说的“数”，是指自然数，即正整数，同时还包含它们的比，即正分数。

②任意两条线段a、d都是可公度的

“可公度的”，意即有公共的度量单位

t。162）实例①形数三边心形数施、四蠢边形扑数、悉五边令形数洞、六边惠形数咏；17

三边形数四边形数五边形数六边形数18“形数”体现淋了数队与形采的结泽合；让我咳们从夸又一输个侧舞面了沾解“万物认皆数”。毕达鞭哥拉缩慧斯学耽派的踢“万物辫皆数”学芦说，加强注了数窃学中俱的理咐论化脊倾向撤。19②多个辣场合缝下的罪小整夹数比ⅰ产生总谐音猜的各渡个弦杜的长虑度成助小整故数比绷得拥一样喜紧的赖两根堡弦，议若其无长度奖成小惰整数比，扭就会静发出活谐音歼。例薄如，1︰伴2时短弹弦的地音高8度，2︰脂3时短朱弦音泳高5度，3︰是4时短哄弦音盏高4度；软当三症根弦怜的长掌度之分比为3︰伤4︰子6时，仔就得到谐驾音。20ⅱ同名备正多凯边形抢复盖锯平面逆的情糊形（鲜即铺嘴正多顽边形作地砖态的情源形）只有储三种已情况揪：环录绕平跑面上晓一个教点可超以紧泄密地放6个正伟三角刑形，辉或者4个正骗方形旗，或烤者3个正榜六边绸形，匀如图羽：2122毕达朝哥拉僵斯学棋派确吉信：花“宇鲜宙的周和谐芽在于村数”槽，神蜓是以轮数的胃规律漫创造兵世界补的。“万物笨皆数”学说曾产生耽了很营大的窜影响请。23三、弱与第史一次衣数学井危机对“捉万物踏皆数革”理挎论产召生冲岗击的在，却萍正是炉毕达战哥拉输斯学凉派自缎己的胜一个倒发现金，用对现在谨的符遣号，渠这就效是土。241.的发现和危机的产生C11根据毕达哥拉斯定理，边长为1的正方形，其对角线长度若记为，则，推出1）一婚个不混能表洪成整煮数比谈的数25下边证明，当时，不能表成整数比。由此知是偶数。由于偶数的平方是偶数，奇数的平方是奇数，∴是偶数。如果不然，有两个正整数和使（不妨设是既约分数即）。两端平方得，即。26因“既约”，不能再是偶数，于是是奇数。这样的左端，因是奇数而不能被4整除，右端却因是偶数而可以被4整除。这个矛盾说明开始的假设是错误的。从而不能表成两个整数的比。证毕。[注]：这是任“反脖证法紧”的开始。272）不好可公侦度的妻线段设正虚方形鲁的边街长为喇，对近角线喂长为威，如局图：d委aa28根据毕达哥拉斯定理，。如果存在第三个线段长为，使得和都是的整数倍，如

，

，这里，是整数.29由得，从而，又可以类似于上一个证明导出矛盾。于是，与就是不可公度线段。所以，不可能存在长度为的线段，使得且。（严重允：“可邻公度蜓”涉门及“备成比御例”康，进煌一步区还涉淋及“苍相似眉形”尘）303）危机跑产生春，封颗锁消午息希帕唱索斯帐泄露膀秘密置，被已抛进已大海银。一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的

希帕索斯绒(Hi粒pp墙as椅us)314）无理徐数像常这荣样的防数港，循和其晒它一篮些不侧能表捧成整蛙数比龟的数战，称些为无理餐数。称两萝个整丝式数之起比为有理议数，而胶把晌那贴样的征一类侧数叫茅做无理携数，即没有抹道理磁的数，原淹来是翻译出了标问题政。32ra奶ti旦on脂al纹n铲um糖be临r是有铸理数貌的英旬文名巩称，话而ra苦ti宅on愉al是一屠个多发义词钻，含凡有“比的”，附“有魂理的佩”意毕思。肃而词则根ra捷ti肚o来自鱼希腊极文，脆完全倒是“哀比”捏的意察思。雅对“ra广ti勇on刮al务n豆um渣be价r”正确奶的翻规译应霞该是炸“比数”。疤“比弃数”商的名辜称才材正确极反应赴了这写类数吗是两胸个整梢数之牧比的接内涵辞。人价类在染认识原有理宴数之厅前，历唯一脚知道赢的是男自然开数。桥那时岁所谓蝴的“服数”财，都律是自教然数贫。把车由自奶然数挡产生漫的数血叫茂做比数令，其实耻才符墙合古塞人的挥原意存。33在东况方，暴最早耀把ra蛇ti冒on外al律n饮um展be强r翻译钩过来援的是赌日本挂人。炸可能蔽是那丢个日微本人奇英文亡不好避，数珠学又没不太蜓懂，焰把它掌翻译弱成“笨有理担数”乳。而胖日本聋文字溪又和俩汉字回形似势，于弃是中颈国人扬把这柔三个快字照牌搬过杜来，选沿用话至今盗，形誉成习午惯。如果供正确腊地把肠两个戚整数胸之比赖叫做桌“比数”，正那么破像僻一屡类的闹数称昼为“非比舅数”，逐还是墨颇有棍道理榨的。342.合“两个纱量的戴比相皆等”的新恰定义——部分修地消嫁除了公危机35两个辅量的价比相芹等，临即封。约公午元前37付0年，俱希腊六数学膛家欧多喷克索康斯和阿契舰塔的定廉义：赴“称嫩四个时量的披第一聚个和宪第二躲个之缸比与暴第三佣个和傅第四范个之导比相讯等，幸如果相取第虽一个搁和第岛三个肥量的任何什相同亭的倍偿数，第绿二个宋和第图四个叛量的穿任何咸其他黄的相边同倍准数后帐，从证第三筑个量观的倍扑数大盼于、佣等于矿或小轿于第饶四个伸量的霞倍数袋，便项有第狮一个信量的颂倍数嘴对第貌二个风量的招倍数兼的相眉应关挎系”尚。36“两个民量的斜比相热等”的这一定义舅，是奥正确姨的、川严格塘的，液部分福地解棉决了虏危机蛋，使几桃何的充基础乒牢靠责了，撒几何邀从全喷部数胀学中职脱颖扭而出滩。欧几倡里得育的几贵何《原本》中也悲采用订了这皆一定提义，列以致喝在以黎后的括近二灿千年躬中，个几何斑变成宽了几攻乎是讽全部士严密除数学由的基妖础。但是哀彻底冻解决戚这一表危机抹是在19世纪染，依何赖于期数系刊的扩恨充和语实数乌理论前的建敏立。373.无理燥数与遮数系生的扩租张——危机雄的解崭决1）有理翠数的再稠密械性定义乘：“概一个粱数集帝在数稍轴上灰是稠赏密的六”是平指，谦在数气轴上茶，每骗一个跳不管邀处于夸什么旺位置风，也谜不论妥是多绑么小俯的区方间（,）中程都存责在着渔这个箱数集管中的德点。定理箩：有魄理数欲集在献数轴酸上是窜稠密简的。382）数轴①活古代抱观点惭：数辫轴↔取有理宵数②莲现代动观点凯：数序轴↔塘实数393）数系掉的扩透张——危机绘的解膜决①街自然荡数系②剩有理到数系③础实数端系40实数杯系具渗有连梅续性斜。有线理数埋系具宫有稠松密性,却不拴具有脚连续督性。数系励的连词续性棉和稠龟密性须是两尖个不渔同的良概念狸。数系季的稠密士性，通奏俗说步成“笋到处腥都有枪”、础“密拾密麻屯麻”景；数艺系的连续饱性，通彼俗说织成“舍一个芽挨一姨个”锯、“茎针插狸不进兵，水丧泼不员进”猴。连续测性是巡寿一个译很好搭的性神质。捆但是共对“含数系烟的连州续性毛”的嚼概念霉，给丽出严拖格的伯数学肢定义块，就绿那么亮容易世了。数系塔扩张伙为实臭数系众以后氧，第画一次江数学逝危机葛就彻闷底解梯决了蜂。因为编数的俗范围吩扩充钟以后肃，“餐万物埋皆数烧”的辛命题谨就是炭正确拖的了捎；不幸能表沸成整浸数比陆的数划，即货无理领数，伯也是祥实数严系中行的数执了。4142[思]：能说窃“任呆何两匀个有近理数涛之间匆都有无理善数”于吗？拨为什甲么？43