第五章矩阵的特征值与特征向量定稿

第五章矩阵的特征值与特征向量§5.1

矩阵的特征值与特征向量§5.2相似矩阵与矩阵可对角化条件§5.3实对称矩阵的对角化中南财经政法大学信息学院信息系

5/24/20231一、特征值与特征向量定义三、矩阵的迹二、特征值与特征向量求法§5.1矩阵的特征值与特征向量中南财经政法大学信息学院信息系

5/24/20232定义5.1若存在常数及非零向量一、特征值与特征向量定义中南财经政法大学信息学院信息系

5/24/20233

说明中南财经政法大学信息学院信息系

5/24/20234称二、特征值与特征向量的计算方法中南财经政法大学信息学院信息系

5/24/20235定理5.1设Ａ是n阶矩阵，则是Ａ的特征值，是Ａ的属于的特征向量证明中南财经政法大学信息学院信息系

5/24/20236中南财经政法大学信息学院信息系

5/24/20237求矩阵特征值与特征向量的步骤：中南财经政法大学信息学院信息系

5/24/20238例1求矩阵的特征值与特征向量.解得特征值当时,解方程由中南财经政法大学信息学院信息系

5/24/20239得基础解系全部特征向量为当时,解方程由得基础解系全部特征向量为二重根中南财经政法大学信息学院信息系

5/24/202310例2求矩阵的特征值与特征向量.解得特征值当时,解方程组得基础解系全部特征向量为中南财经政法大学信息学院信息系

5/24/202311当时,解方程得基础解系全部特征向量为注意在例1与例2中,特征根的重数与其对应的线性无关特征向量的个数.二重根中南财经政法大学信息学院信息系

5/24/202312例3如果矩阵则称是幂等矩阵.试证幂等矩阵的特征值只能是0或1.证明设两边左乘矩阵,得由此可得因为所以有得中南财经政法大学信息学院信息系

5/24/202313例４

证明：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则证明再继续施行上述步骤次，就得中南财经政法大学信息学院信息系

5/24/202314中南财经政法大学信息学院信息系

5/24/202315矩阵缠的特览征值仍与其延特征闹多项假式的撇关系中南李财经跌政法淡大学统信息肢学院辟信息激系5/讨18傻/2籍02戚316中南府财经悉政法衔大学葬信息董学院圆信息犯系5/衬18怕/2而02斧317特点则有购：中南绢财经爷政法舟大学能信息糕学院服信息干系5/剪18心/2甚02旬318性质农：中南折财经远政法割大学叠信息伏学院斧信息放系5/罢18剥/2顺02居319中南齐财经即政法车大学晚信息慢学院暖信息愉系5/培18右/2戚02乳320课堂项练习中南适财经烘政法怒大学什信息历学院胁信息牺系5/蜻18祸/2丽02瞧321（答狸：2，-2，0.）中南幅财经饭政法尽大学从信息描学院察信息钉系5/仰18孙/2盲02苏322一、晓相似千矩阵世概念二、劈燕相似需矩阵陷基本驶性质三、毕矩阵巨可对斑角化秆的条创件§5.光2相似旧矩阵黑与矩贞阵可蛙对角吴化条绩件中南默财经评政法花大学由信息玻学院午信息旧系5/季18尽/2纵02明323设都是阶方阵,若有可逆矩阵使则称与是相筝似的,或说一、粪相似球矩阵介概念中南帝财经搭政法着大学负信息训学院锄信息北系5/辜18宜/2效02挠324中南效财经坏政法闪大学峡信息你学院建信息着系5/径18染/2垒02地325相似吸是一钳种等颠价关淘系中南抢财经鸽政法熔大学解信息叫学院辣信息甚系5/蒜18德/2抛02朵326(1)相似矩阵有相同的行列式.(2)相似矩阵有相同的迹.(3)相似矩阵有相同的秩.(4)相似矩阵有相同的特征多项式.(5)相似矩阵有相同的特征值.二、踩相似嗓矩阵铸基本择性质(6仿)相似慨矩阵贷的逆铁矩阵欺仍相子似(设两收者都辟可逆).(7蚕)相似伞矩阵渴的幂匹仍相花似.中南加财经捐政法基大学榆信息倡学院称信息代系5/芒18仁/2核02支327证明设矩脾阵A与B相似,即有P-1AP谋=B(1)(2顺)显然.(3)(4洪)由(3炎)即得.(5糖)由(4画)及特趁征值色与迹望的关装系可嫌得.(6沾)(扔7)由相晌似的网定义晒可得.中南奏财经葡政法圈大学再信息签学院录信息割系5/帐18血/2裂02吩328例1已知与相似,求x,y.解因为相似矩阵有相同的特征值,故A与B有相同的特征值2,y,-1.根据古特征垦方程净根与仿系数脸的关泄系,有：而故x=0,y=1.中南迅财经恐政法翻大学雁信息喝学院霸信息扩系5/含18察/2届02埋329课堂倡练习中南姐财经方政法渐大学状信息惧学院代信息哀系5/耻18障/2军02涛330所谓方阵可以对角化,是指即存在可逆矩阵使成立.定理5.2阶方阵可对角化有个线性无关的特征向量.三、捏矩阵鹅可对傲角化旅的条勾件中南剑财经替政法疫大学福信息仓学院戴信息似系5/赠18够/2淹02悄331证明设即是的对应于特征值的特征向量.又因可逆,故线性无关.得到中南庆财经陈政法幸大学夏信息捐学院蒙信息革系5/绣18番/2膜02察332设线性无关.记则因线性无关,故可逆,即可对角化.中南纱财经兼政法疮大学沿信息涌学院垦信息消系5/时18趴/2寻02生333定理5.遵3中南肺财经晃政法哨大学扔信息招学院珍信息匆系5/椅18摊/2乞02借334中南山财经和政法剧大学味信息讲学院邪信息激系5/荷18食/2圆02额335中南保财经尤政法杏大学慎信息躁学院辟信息堆系5/锈18沉/2沾02泼336证明则即类推日之，厕有中南蓬财经葡政法裙大学堵信息压学院蠢信息踩系5/轮18搁/2闪02痒337把上零列各册式合兼写成扫矩阵挨形式针，得中南劈燕财经塔政法另大学蠢信息往学院僵信息毛系5/投18更/2叹02补338定理5.默4对一糖重特视征值舞来说,相应源地只夜有一竖个线梳性无排关的穷特征驳向量对k重特伞征值提来说,相应初地线槐性无说关的择特征井向量逝不会耗超过k个中南剖财经豆政法袭大学依信息滥学院忍信息肺系5/臭18凑/2研02壤339(证明滚略)定理5.排5推论茂属散于不枕同特叉征值鹿的特摩征向泰量是咸线性填无关煌的中南牌财经辰政法北大学膀信息舒学院劝信息砌系5/除18炼/2质02射340定理5.6(充分条件)若A的n个特征值互不相等,则A与对角阵相似(可对角化).如教奇材§5杰.1例3，P16搂9注意降：逆绢不成霜立,即与住对角白阵相蝴似的潮矩阵,特征仔值不慰一定誓互不元相等.中南坊财经铁政法臭大学袋信息蚁学院漂信息母系5/战18阵/2屈02彼341例1判断下列实矩阵能否化为对角阵？解中南闻财经计政法绕大学庆信息次学院尤信息埋系5/雪18高/2旨02嫌342解之圾得基谋础解剑系中南查财经旋政法卧大学逐信息尤学院越信息尖系5/关18紧/2幅02录343求得委基础花解系中南想财经翅政法狐大学嘉信息胳学院翠信息嘉系5/抵18洗/2端02词344解之洁得基冠础解靠系故不能化为对角矩阵.中南庆财经巩政法依大学漠信息候学院梯信息乡丰系5/哭18递/2晴02狡345A能否海对角茄化？吼若能裁对角吩化,试求禽出可湿逆矩擦阵P例2解中南壳财经姐政法辣大学益信息洽学院外信息队系5/蒸18刑/2买02援346解之滩得基姐础解半系中南磁财经豪政法刊大学疫信息却学院怜信息者系5/归18于/2片02狱347所以可对角化.中南蔽财经撇政法荡大学益信息移学院罩信息宁系5/阵18占/2亏02亿348注意即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．中南捎财经甜政法鉴大学图信息愤学院粥信息莫系5/疾18似/2青02庙349例：蒸对教材§5欠.1例2、例3的矩即阵A，求益可逆步阵P，使P-1AP为对渴角阵.中南症财经芝政法硬大学夏信息顶学院相信息恨系5/钟18项/2荡02螺350例3有三个不同的特征值对应的特征向量分别为已知求(1)(2)解又所以中南兄财经直政法散大学粒信息恋学院乔信息幅系5/格18昆/2陷02碌351(2英)若令则有故中南值财经丘政法惧大学群信息遵学院羊信息便系5/骂18械/2栽02皆352课堂酸练习中南笨财经贡政法征大学膨信息找学院晨信息湾系5/阀18机/2片02申353一、尸实对搁称矩扔阵的宿特征弟值与北特征给向量§5.3实对抄称矩献阵的陈对角席化二、实对挂称矩组阵的闪对角素化中南况财经放政法回大学往信息榆学院折信息佛系5/舅18朗/2案02摆354定理5.体7实对另称矩披阵的筹特征情值为莫实数.证明一、填实对寇称矩给阵的映特征瓜值与蝴特征夕向量中南细财经虑政法详大学讯信息色学院呼信息愉系5/唉18透/2浅02爱355于是压有两式馆相减卸，得中南持财经铅政法清大学凝信息洪学院咐信息统系5/条18剑/2企02晚356定理睬５.７的芝意义中南青财经郑政法姑大学私信息芹学院膨信息课系5/幅18叉/2盯02剪357证明于是定理5.锹8实对叛称矩攀阵的膛属于盆不同田特征失值的惜特征湿向量妄是正辆交的中南耕财经昏政法觉大学慌信息碎学院崇信息鞭系5/耽18莫/2制02苦358证明它们的重数依次为根据但定理1（对称写矩阵商的特共征值滴为实阁数）和鞠定理3(如上)可得筋：设的互不相等的特征值为中南展财经缸政法牛大学仆信息痰学院宋信息巷系5/宏18屠/2葱02顺359即：任一实对称矩阵一定可以对角化.与之相似的对角阵的对角元素就是的全部特征值,而正交阵是由它们对应的单位特征向量组成的.为阶实对称矩阵,则必存在正交矩阵使其中是以的个特征值为对角元的对角阵.定理5.９二、迅实对禁称矩成阵的雪对角倒化由上破面结环论(3秆)得：中南串财经删政法俯大学殿信息航学院辟信息离系5/剂18蚊/2库02差360根据避上述察结论丛，利羡用正把交矩妙阵将斩对称念矩阵酿化为对肯角矩乐阵，碰其具之体步休骤为：二、盆利用扎正交象矩阵伞将对汇称矩谁阵对腾角化污的方脸法将特征向量正交化，单位化，;3.写出正交矩阵.4.2.1.中南拥财经欠政法拜大学氧信息存学院父信息步系5/杏18凳/2沙02滑361例1求一个正交阵解(1)求特征值:特征协值为中南运财经示政法演大学剩信息醉学院俭信息共系5/挂18步/2衬02疫362(2泻)求特辨征向弹量:对于解得线传性无衰关的第特征嚷向量书为对于解得线侍性无喜关的缸特征钞向量展为(3)特征向量正交化、单位化：用施密特正交化方法中南拍财经赔政法叼大学减信息对学院北信息微系5/拦18鬼/2没02舟363正交臣化取单位化取(4)写出所求正交矩阵:中南嗓财经侦政法抵大学启信息旋学院近信息株系5/锁18祝/2皇02池364令则P是正交阵.并且要特蹄别注储意本娇题的裙解题普方法浑和步够骤.在后缘瑞面的皂用正流交变钻换化息二次选型为殿标准众形中虾还要吧用到旺类似若的方束法.中南割财经节政法鸭大学岔信息内学院霸信息道系5/亚18典/2夫02拍365解例

对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.(1)第一步求的特征值中南璃财经之