常微分方程第次课

常微分方程主讲人：刘祚秋副教授eeslzq@Lzq_xjy@163.comMobTel材及参考书

教材：

常微分教程，丁同仁、李承治编，高等教育出版社参考书：1.《常微分方程》（第三版），

王高雄，周之铭，朱思铭等，高等教育出版社。2.《常微分方程基础》，C.HenryEdwards等，机械工业出版社；3.《常微分方程讲义》，王柔怀、伍卓群编，人民教育出版社；1如何建立微分方程（方程组）？2如何求解常微分方程（方程组）？3微分方程的基本理论：解的存在性、唯一性、稳定性和几何意义？4初值问题和边值问题主要内容本课程包括哪些内容？目的：利用微积分的思想，结合线性代数，解析几何等的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的一些最重要也是最基本的微分方程问题。第一章基本概念（掌握）第二章初等积分法（掌握）第三章存在和唯一性定理（了解）第四章奇解（了解）第五章高阶微分方程组（了解）第六章线性微分方程组（掌握、重点）教材内容及学时安排考核方式成绩考核：平时作业（20%），考勤（15%）、课堂讨论（5%），期末考试（闭卷考试、60%，）（作业、考勤、讨论成绩期末考前给出）答疑时间：课后或到办公室（工学院B304H）本次课程主要内容1、常微分方程的发展简史2、什么是微分方程？3、微分方程一些应用常微分方程是一门具有悠久历史的学科，几乎与微积分同时诞生于1676年前后，至今已有300多年的历史了。在常微分方程发展的初期阶段，人们主要是针对实际问题提出的各种方程，用积分的方法求其精确的解析表达式，这就是人们常说的初等积分法。这种研究方法一直延续到1841年前后，其历史有160多年。促使人们放弃这一研究方法的原因，归结到1841年刘维尔(Liouville1809-1882)的一篇著名论文,他证明了大多数常微分方程不能用初等积分法求解。常微分方程发展简介在刘维尔这一工作之后，常微分方程进入了基础定理和新型分析方法的研究阶段，其主要代表性工作是：

1.19世纪中叶，主要由柯西等人完成的奠定性工作：解的存在唯一性定理，以及拉格朗日等人对线性常微分方程的系统性研究工作。

2.19世纪末，20世纪初，由庞卡莱和李雅普诺夫分别创立了常微分方程定性理论和稳定性理论，这些工作的主要特点是不用求出方程的解，可直接从方程本身讨论其解的性质，这代表了一种崭新的研究非线性方程的新方法，其思想和作法一直深刻地影响到今天常微分方程发展简介常微分方程的应用领域常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿的运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。内容及研究方法经典部分：以数学分析、高等代数为工具，以求微分方程的解为主要目的现代部分：主要是用泛函分析、拓扑学等知识来研究解的性质

研究方法：解析方法、几何方法、数值方法解决科学问题的过程数值计算方法实际问题数学模型数值问题程序设计数值解解析解第一步注：建立实际问题的数学模型一般是比较困难的，既需要熟悉与问题有关的自然规律，又需要有一定的数学知识。假设什么是微分方程？建立数学模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方程.联系着自变量,未知函数及其导数的等式.

微分方程理论及方法是研究自然规律和社会规律的最为基本的数学理论和方法.什么是微分方程？它是怎样产生的？

客观现实世界运动过程中量与量之间的关系简单问题，直接写出表达式：函数关系式—数学分析中研究稍复杂些的问题，往往不能直接写出函数表达式，但容易建立这些变量和它们的导数（或微分）的关系式：微分方程微分方程：联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数(或微分）的关系式,其中未知函数的导数或微分是不可缺少的。如果在微分方程中，自变量个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程(ordinarydifferentialequations)

微分方程的应用自然科学:物理、化学、生物、工程、航空航天、医学等学科领域。

社会科学:经济、金融等领域例如：牛顿第二定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等。例1镭的滨衰变堂规律微分樱方程脏举例已知枕镭的毁衰变俊速律搭与其健质量往成正爸比，忙设t＝0时刻零，有克镭败，试职确定返时刻t镭剩怪余的送质量解:设t时刻杨镭的损质量正为R（t）即镭鲁元素赢的存荷量是骡指数慈规律弓衰减爪的.将某率物体饺放置彩于空阶气中,在时沸刻时,测得菊它的旷温度催为10分钟石后测柄量得稳温度奔为试确绿定此物体的熟温度和时岭间的关宝系.例2物理谷冷却校过程教的数伞学模锈型Ne健wt盖on冷却摆定律:1.热量谢总是逼从温叹度高散的物腿体向振温度滴低的孩物体汪传导;2.在一丢定的椅温度姐范围洗内,一个章物体堪的温的度变剪化速嫩度与检这一巴物体法的温畅度与挥其所胖在的笨介质寄的温维度之管差成益正比.设物霜体在睛时刻的温疯度为根据辩导数晶的物兼理意荐义,则温度肚的变鼻化速积度为由Ne腊wt轮on冷却按定律,得到其中为比城例系咱数.此数厨学关毅系式仿就是耀物体块冷却孟过程倡的数搭学模沿型.注意:此式平子并下不是愤直接熊给出和之间戚的函刑数关俯系,而只吵是给宫出了董未知靠函数纱的导央数与缘瑞未知杏函数监之间级的关咏系式。如何绿求解羊？解:“姆貌潘巴岁现象勤”：悟热牛希奶比偿冷牛搜奶先径结冰跟？由(2剃)就可睁以求觉任何才时刻t物体抢的温帜度u的数责值：，用这一结果可解释实际问题。有k和c两个阿未知腾数待饮确定径。两个堵已知搁条件绩：式（1）是耐一阶径线性净微分化方程旨，解割之上例追求解有结果轨的图颜例，用这一结果可解释实际问题。模型蚀建立模型粉求解模型很应用回顾绑整个叫求解验过程赠：推而鸟广之器！“姆督潘巴盟现象片”：毁热牛秤奶比路冷牛捕奶先弟结冰隐？例3药R储-L查-C电路如图慰所示旋的R-终L-漂C电路.它包诸含电只感L,电阻R,电容C及电浮源e(晨t).设L,磁R,闸C均为痕常数,e(吼t)是时宿间t的已及知函狮数.试求贞当开功关K合上却后,电路剃中电枕流强曾度I与时面间t之间撤的关赠系.电路辅的Ki吨rc狡hh衡of桨f第二蜘定律:设当硬开关K合上桐后,电路秘中在均时刻t的电忘流强喷度为I(霉t),则电熟流经过雁电感L,电阻R和电挎容的表电压认降分色别为其中Q为电销量,于是宣由Ki昂rc躲hh冈of讯f第二自定律,得到因为于是幼得到这就躬是电醒流强读度I与时矮间t所满事足的竹数学把关系哥式.解:在闭繁合回讽路中,所有丘支路香上的贸电压染的代受数和吧为零.例4传染上病模每型:解:根据代题设,每个纠病人萄每天旁可使由于搬病人萝总人色数为所以冬每天逆共有于是急病人控增加乎率为思考着与练轮习1.