算法课件六分支定界

1分支限界法

21概述2分支限界法3应用举例31.概述搜索法在动态产生问题的解空间，并搜索问题的可行解或最优解。在生成的结点中，抛弃那些不满足约束条件（或者说不可能导出最优可行解）的结点。搜索方式深度优先搜索广度优先搜索41.概述方法1：深度优先搜索通常深度优先搜索法不全部保留结点，扩展完的结点从数据存储结构栈中弹出删去，这样，一般在数据栈中存储的结点数就是解空间树的深度，因此它占用空间较少。所以，当搜索树的结点较多，用其它方法易产生内存溢出时，深度优先搜索不失为一种有效的求解方法。51.概述方法2：广度优先搜索广度优先搜索算法，一般需存储产生的所有结点，占用的存储空间要比深度优先搜索大得多，因此，程序设计中，必须考虑溢出和节省内存空间的问题。但广度优先搜索法一般无回溯操作，即入栈和出栈的操作，所以运行速度比深度优先搜索快。62.分支限界法采用广度优先产生状态空间树的结点，并使用剪枝函数的方法称为分支限界法。所谓“分支”是采用广度优先的策略，依次生成扩展结点的所有分支（即：儿子结点）。所谓“限界”是在结点扩展过程中，计算结点的上界（或下界），边搜索边减掉搜索树的某些分支，从而提高搜索效率7分支限界算法思想对E-节点的扩充方式：引入活节点表【思想】每个活节点有且仅有一次机会变成E-节点。当一个节点变为E-节点时，则生成从该节点移动一步即可到达的所有新节点。在生成的节点中，抛弃那些不可能导出（最优）可行解的节点，其余节点加入活节点表，然后从表中选择一个节点作为下一个E-节点。从活节点表中取出所选择的节点并进行扩充，直到找到解或活动表为空，扩充过程才结束。8不同的活结点表形成不同的分枝限界法：FIFO分支限界法（队列式分支限界法）：活结点表是先进先出队列LIFO分支限界法:活结点表是堆栈最小耗费或最大收益法分支限界法（优先队列式分支限界法）:活结点表是优先权队列，LC分支限界法将选取具有最高优先级的活结点出队列，成为新的扩展结点。几种常见的分支限界法9FIFO分支定界法在解空间树上的FIFO法，类似从根节点出发的BFS方法；与BFS的区别在于：在FIFO分支定界中，不可行的节点不会被搜索！10示例1：0/1背包问题解1FIFO分支定界n=3,w=[20,15,15],p=[40,25,25],c=30E-节点活节点表ABCBCECEFGEFG解1：[1,0,0],收益40FG解2：[0,1,1],收益50GNULL2035×201535×30151511最大收益-分支定界思想使用一个最大堆：其中的E-节点按照每个活节点收益值的降序，或是按照活节点任意子树的叶节点所能获得的收益估计值的降序从队列中取出。FIFO分支-限界算法用队存储活结点，优先队列式分支限界法用堆存储活结点，以保证比较优良的结点先被扩展。且对于优先队列式分支限界算法，一旦扩展到叶结点就已经找到最优解，可以停止搜索。采用广度优先搜索策略的目的是:尽早发现剪枝点。12

个元素的序列当且仅当满足下述关系时，称之为堆或堆130-1背包问题解2：最大收益法E-节点活节点表ABCBECEC解1：[1,0,0],收益40C解2：[0,1,1],收益50GNULLn=3,w=[20,15,15],p=[40,25,25],c=30FGFG不可行的解：D【1，1，1】,

J【1，0，1】202015××3014示例2：旅行商问题FIFO分支定界E-节点活节点表BCDEFGCDEEFGHIJKF路径12341，59G路径12431，66H路径13241，25IJK路径1342，不展开路径14231，25路径1432，不展开××15示例2解法2：最小耗费法使用最小堆存储活节点E-节点活节点表BEDCEDJKCDHJKICH路径13241，25【定界函数】如果一个节点的定界值不比当前最优旅行更小，则将被删除而不被展开！306424141126【注】活节点表采用堆结构3540552119290-鸣1背包劳问题村解3：最揭大收努益法假设崭有4个物装品，毫重量共分别大是（4,然7,若5,芳3），弃价值链分别嘉是（40旁,4卫2,唱25着,1秒2），蛇背包纸容量腐是W=眼10。单位蛾重量行价值短分别僵为：（10纽奉,6孩,5龄,4）18队列握式分毅支限堡界法形程序壤框架设T为状剃态空节间树赞的根稳结点罩；初查始化尺队列Q；将T入队抗；循环归，直蹦到队该列Q空（赠无解氏）：结点e出队顶；若e是回浑答结漏点，鹊则输出唇解或合求解朵路径飘；否则检查e的所钓有子见结点x：若x满足浓约束怀条件弊，则将x入队城；记录衡搜索许路径检；19优先众队列隐式分蛾支限胁界法率程序预框架设T为状戏态空上间树批的根谁结点融；~C(版x)为耗货费估喂计函盘数；无初始纱化优吴先队谷列Q；计算~C驼(T巧)，并卷将T入队锦；循环劲，直裁到队顶列Q空（阅无解降）：结点e出队描；若e是回辉答结溉点，景则输出饰解或犬求解脸路径怎，求鱼解结射束；否则检查e的所贿有子衣结点x：若x满足垄约束忘条件弄，则计算~C(忌x)，并将x入队柴；记录弱搜索束路径爷；示例3：装收载问娇题1.问题之描述有一宵批共猎个集嫂装箱黄要装激上2艘载艺重量令分别超为C1和C2的轮漠船，源其中陷集装箱i的重启量为Wi，且装载劣问题挎要求侮确定抢是否斩有一红个合看理的售装载艳方案锄可将抽这个扭集装初箱装捕上这2艘轮惩船。帽如果狸有，蜻找出堤一种牵装载天方案痒。容易羽证明圈：如果缎一个止给定当装载润问题绞有解之，则略采用腾下面孙的策汪略可输得到酿最优各装载林方案齐。(1阳)首先偶将第仆一艘善轮船验尽可栗能装诉满；(2草)将剩似余的翅集装倾箱装殃上第吗二艘伶轮船仔。问题肝描述浇：印冻刷电猴路板尸将布绳线区伴域划者分成n*杏m个方咸格阵设列。康精确深的电环路布慈线问循题要扁求确赞定连袭接方陕格a的中楼点到律方格b的中筒点的我最短往布线腾方案呢。在干布线衰时，贺电路番只能究沿直戴线或怠直角环布线微。为冲了避棵免线打路相铸交，粉已布羊了线惜的方瓜格做姜了封捷锁标顿记，厦其他惹线路秆不允雾许穿胁过被缺封锁偿的方塑格示例4：布摆线问跳题布线舒问题愁适合络采用小队列蛋式分吩支限施界法蚂来解纹决。从起两始位集置a开始图将它损作为摩第一绪个扩桐展结程点。序与该缓结点寺相邻笛并且队可达洽的方钟格被周加入限到活歌结点放队列储中，工并且骨将这泛些方家格标团记为1，表始示它近们到a的距榨离为1接着庙从活鹿结点肝队列峡中取盆出队溪首作而为下威一个帖扩展堆结点皂，并编将与秘当前循扩展忆结点芹相邻禁且未毛标记毕过的仙方格清标记馅为2，并腹存入案活节伪点队脖列。灭这个董过程顿一直胜继续罪到算腔法搜鞭索到必目标染方格b或活叉结点于队列悄为空插时为剑止（低表示候没有狭通路子）最开馆始，赠队列煤中的线活结偶点为验标1的格究子，澡随后否经过高一个睛轮次况，活肃结点钟变为死标2的格疫子，良以此泼类推彩，一包旦b方格细成为级活节途点便疯表示困找到脉了最落优方驰案。根为什苗么这将条路谦径一慈定就侍是最颜短的裤呢？批这是手由于啄我们供这个编搜索戏过程紧的特疮点所泼决定赠的，性假设弦存在惯一条际由a至b的更叮短的些路径彼，b结点不一定从会更谁早地裳被加沿入到专活结纷点队饲列中环并得骄到处多理。问题猾：FI撤FO搜索割或LI羊FO搜索梢也可艺以通禽过加铸入“盼限界棵”策洞略加蜓速搜西索，透与优而先队睁列式覆分支时限界亏法——滋LC沿-检索锯的区从别在泻哪儿轿呢？答案像：由于FI轰FO搜索挖或LI虹FO搜索茅是盲缺目地孤扩展振结点竹，当而前最经优解樱距真贿正的飞最优庄解距湿离较难大，侧作为朝“界怀”所洞起到敏的剪化枝作让用很肌有限鸣，不姐能有惨效提挑高搜轻索速丘度。26作业实现践旅行封商问欣题的劈燕分支挂限界FI筛FO、优