第十二章：能量法

◆外力功：在外力作用下，固体的变形将引起外力的作用点沿其作用方向产生位移，便引起外力做功

。◆变形能或应变能：弹性固体因变形将具有作功的本领

，即能量

。◆能量法：根据能量守恒原理，外力功w应等于弹性体的应变能

Vε。§12-1

引言本章主要研究能量法的以下问题：1.外力功与杆件应变能的计算；2.能量法的卡式定理

；3.能量法的单位载荷法与莫尔积分；4.能量法的力法求解超静定结构。一、外力功的计算

线弹性结构上的外力功的计算。b)在线弹性范围内，F′与Δ′成正比a)§12-2

外力功与应变能的计算1、F为一个集中力

，

Δ就是沿F作用方向的线位移

1、轴向拉压杆

◆需要指出：F与Δ均为广义量2、F为一个集中力偶，Δ就是角位移

3、F为一对等值、反向的集中力或集中力偶

，Δ就是相对线位移或相对角位移

二、杆件应变能的计算

轴向变形

轴力在d△l上作的功

整根杆的应变能

当FN/EA为常量时

2、圆轴扭转扭转圆轴的应变能

当T/GIp为常量时

3、对称弯曲梁对称弯曲梁的应变能

◆由于刚架同样也是主要承受弯曲变形的结构，所以，上式亦适用于刚架。

4、组合变形杆例12-1悬臂梁如图所示，试计算其应变能以及B截面的转角。已知梁的抗弯刚度为常量。

解：（1）梁的应变能

梁任一横截面上的弯矩

（2）截面的转角

梁上外力的功为

MexBAl即得梁的应变能

由

于是

旋向与外力偶矩的旋向一致，为顺时针。

例12-2试求下图所示结构的应变能。已知梁的抗弯刚度为EI，杆的拉压刚度为EA。解（1）CB杆的轴力

（2）由截面法，得梁的弯矩方程为

得梁的应变能

即得CB杆的应变能

所以，整个结构的应变能

ClABxqa例12-3在下图所示三角支架中，若两杆的拉压刚度均为EA，试计算结点的竖直位移ΔBV。

解（1）计算外力功

（2）计算应变能由截面法，得AB、CB两杆的轴力分别为

三角支架上外力的功为

三角支架的应变能

21l45°FACB（3）计算ΔBV

由

得

卡氏定理：应变能对任一载荷Fi的一阶偏导数，就等于的作用点沿Fi作用方向的位移Δi。◆适用于梁和刚架的卡式定理的表达形式说明：1、卡式定理中的载荷Fi与位移Δi都是广义的；2、卡式定理仅适用于线弹性结构。

◆适用于桁架结构的卡式定理的表达形式§12-3

卡氏定理例12-4如图，试用卡式定理计算三角支架结点的竖直位移ΔBV。解（1）分析由于待求位移ΔBV就是外力F的作用点沿作用方向的位移，因此，可直接运用卡式定理计算。（2）求得两杆轴力及其对的一阶偏导数分别为

即得

21l45°FACB例12-5一受均布载荷作用的悬臂梁如图所示，试求自由端B截面的转角θB。解（1）分析由于在B截面处没有与转角θB对应的外力偶作用，因此不能直接利用卡式定理。（2）在截面处添加一个力偶矩Me

令Me=0，即得lAqB可得在载荷q和Me的共同作用下，梁B截面的转角与附加力偶矩的旋向相同，为顺时针。

lAqBMex例12-6一平面刚架如图所示，若各段杆的抗弯刚度均为EI，试求其自由端C截面的竖直位移ΔCV与水平位移ΔCH

。

解（1）在这种情况下，可分别记竖直方向的力F为F1、水平方向的力F为F2，在符号上将两者区分开来。

（2）在替换力的符号后，BC段、AB段的弯矩方程及其偏导数分别为

即得C截面的竖直位移ΔVC

FAlFlBCa)F2AlF1x1x2lBCb)水平位移ΔHC

令F1=F2=F，最终即得C截面的竖直位移

C截面的水平位移例12-7

如图a)所示，一小曲率圆弧形曲梁承受力偶矩Me的作用，若其抗弯刚度EI为常量，试求自由端B截面的水平位移

ΔBH

。

解（1）需要在B截面添加一个水平力F

(见b图)则

a)b)

（2）取φ角表示任一横截面的位置，由截面法得曲梁的弯矩方程

将dx代换为Rdφ，并令F=0，即得截面的水平位移

一、资单位繁载荷管法是凡一种刻适用午性广遗泛的博计算信结构牌位移搁的方慎法。如a)图所斯示，俗欲求C截面趴的竖沿直位肯移ΔCBAFna)F1F2CBA1b)xx若设旗想在腔梁的C截面惠沿竖岛直方桐向施板加一浴单位登载荷洲（见b图）即可译证明式中干，M(x)—栏—实际清载荷讲引起队的弯直矩；——虚加著的单处位载哨荷引尖起的防弯矩宰。§1竹2-熊4单位鸣载荷酿法单位土载荷杏法，又袋称为莫尔苏积分适用顽于主奏要承穷受弯取曲变锡形的许梁和浸刚架大。1、对扭于桁突架结彼构式中仗，FN——实际损载荷袭引起士的轴民力；——单位爪载荷傻引起盾的轴测力。2、对滚于扭抓转轴式中垫，T(x)—理—实际深载荷剂引起渣的扭论矩；——单位制载荷汁引起食的轴解力。3、组觉合变线形杆守件注意公事项练：◆单位袖载荷膛是广孤义的川，必擦须与前待求径位移膜相对烧应。◆以上晚公式旁，仅齿仅适永用于桨线弹承性结翅构。二、单位弹载荷罪法的恭应用在用编单位甘载荷镰法计淹算结醉构位利移时葡，应济遵循也下列郊步骤窝：1.在结恒构上属单独企添加肺与待助求位忍移相钟对应合的单跳位载卫荷；2.分别洲计算沾单位纳载荷胞与实伙际载误荷各贯自单循独作绝用时桑所引校起的俊内力肚；3.将内魄力结告果代日入相略应公尽式，扫计算柱位移船。例12征-8试用爷单位身载荷讲法计雄算图a所示浅悬臂哗梁自睁由端B截面凶的挠屯度ΔBV和转它角θB。已泥知梁偶的抗更弯刚困度为EI。解（1）计拆算ΔBV，需钻要在B截面复添加呜一个假竖直体方向湾单位载力(见b图)在实面际载香荷作芹用下忌，梁帜的弯术矩方装程为即得B截面逗的挠改度lAqBa)xlABxb)1在单方位力愚作用眠下，补梁的籍弯矩场方程孝为（2）计仙算B截面砖的转筒角θB在梁讽的B截面绍施加致一单币位力有偶（帅见图c）在实蓝际载恨荷作右用下课，梁枣的弯理矩方摩程为即得B截面阻的转绢角lAB1xc)在单应位力争偶作征用下敏，梁宇的弯蒜矩方颤程为例12陵-9一正储方形断桁架棵结构托如图扰所示茎，已选知5根杆绣的拉煌压刚顾度EA相同鼻，正召方形诉的边牵长为l，试拴计算A、C两结轻点之凝间的超相对比水平蔬位移ΔA-敲CH。解（1）在A、C两结残点沿瞎水平侧方向皱施加颗一对等反向社单位杆力(见b图)在实腊际载冶荷作塞用下独，各兼杆的颗轴力泻分别粒为得A、C两结宝点之牵间的岸相对诱水平没位移在单裤位载吼荷作爱用下赶，各酸杆的袋轴力康分别际为a)AFFBCD12345b)A11BCD12345例12亮-1诉0一平必面刚禾架如a图所功示，蔑若各译段杆育的抗闸弯刚致度均按为EI，试烈求其棍自由渗端C截面睡的水净平位筐移ΔCH。解（1）在自虏由端C截面皆处施景加一穴个水塔平单阵位力(见b图)在实唯际载条荷作喷用下通，刚怜架BC段、AB段的隆弯矩山方程贫分别劣为即得C截面衫的水迅平位货移在单恐位载锣荷作蹲用下然，刚塑架BC段、AB段的搞弯矩乌方程屿分别流为AlFlBCa)x1x21Alx1x2lBCb)例12系-1芦1图a所示咬结构爱，已题知AC杆的酿抗弯移刚度EI为，BD杆的策拉压哀刚度顽为EA，试栗求C截面帜的竖牛直位栋移ΔCV。解（1）在C截面掌处施辉加一杰个竖师直单励位力(见b图)在实想际载圆荷作碎用下流，AC杆的DC段的辉弯矩教方程瞎与BD杆的绪轴力歪分别脸为即得C截面想的竖当直位夏移在单椅位载臂荷作双用下幅，AC杆的DC段的范弯矩要方程衔与BD杆的歉轴力群分别美为45°FllABCDxxa)b)45°1llABCDxx一、坡超静前定结竞构简栏介超静劣定结荒构：勒结构塔的未闯知约辩束反狂力和献未知鸡内力凶的数本目超恋过了按独立狂的静肉力平车衡方菌程的椒数目镇。分类畅：1、外力溉超静案定结赔构（约字束反立力仅豆凭平冰衡方鞭程显议然无天法求局出）见a图2、内力泛超静换定结够构（约束竹反力鸟可以刷由平叙衡方侨程求野出，窗但其愤内力山却无亏法单栋凭平某衡方活程确抽定）见b图lAqBa)CBFDb)超静球定次禾数啄：静华定结君构中巩，未童知力零超出劝平衡尽方程洗的数猛目多余与约束：多筒余约旋束的躬数目留一定旬等于台超静仁定次技数。§1疏2-这5力法痰简介二、培力法力法湾是求击解超蓄静定哑结构欺的一鹊种基惩本方松法以a图为健例X1称为多余缸未知珍力力法：以穗多余妹未知忽力作雪为基税本未同知量秒，并蜓根据低多余项约束舱处的估位移单条件废，求纸出多域余未窑知力辉。多条余未与知力性一旦械求出木，超挖静定挤问题罗即成泽为静摔定问疫题。lAqBa)qABX1撤除毁多余值约束基本梁静定畏结构或基本源静定述体系由叠兴加法又用Δ1表示X1的作锡用点B沿X1作用障方向今的位胸移，掌即应侨有根据伪前面而所学苏知识ABX1qABAB1δ11得到式中贩，力法灵应用:一次阁超静听定问妥题，仙力法险的典型烘方程或正则膏方程应为二次程超静颗定问世题，唉力法梳的典读型方震程或国正则欢方程疲应为δij——Xj与同辅方向的的单椅位力老单独蜘作用川于基武本静小定结鲁构上互，所里引起未的Xi的作惰用点匆沿Xi作用绸方向户的位写移，于称为石力法戏典型赠方程雀中的欧系数迹，可敌以证既明，抓其中稼的δij=δji；ΔiF——实际苦载荷嫁单独茅作用叙于基奶本静坦定结酿构上疤，所忧引起惕的Xi的作佩用点穗沿Xi作用嫂方向管的位稠移，讨称为请力法柿典型否方程夕中的惯自由沈项。1.解除侮多余拐约束恒，得越基本岸静定霸结构类，并律以相汪应的誓多余厉未知讯力来抽代替尽多余约束故的作梅用；2.根据土多余倍约束郊处的这位移踪蝶条件繁，由民叠加弱法，萍建立犯力法盛典型哈方程位；3.通过测计算姑基本裙静定符结构佩的位抬移，乡丰确定诵力法混典型尼方程梦中的蚁系数攻和自育由项筹；4.解力桶法典井型方建程，危求出企多余阳未知盗力，归即成似为静强定问猴题。例12纱-1桌2试作净出图a所示甘超静壁定梁踪蝶的弯惊矩图档。已弯知梁胖的抗暖弯刚稍度为EI。解（1）解除侄多余孔约束(见b图)在单初位载甜荷作乎用下百（见c图）被，基僵本静矮定刚裤架的产弯矩妻方程膝为l/2ABFl/2Ca)ABFCX1b)（2）建茧立力派法典淡型方会程（3）计早算δ11与Δ1FAB1ABFCc)d)xxδ11Δ1F在单抛位载贱荷作庸用下汁（见c图）成，基璃本静择定刚障架的明弯矩纷方程遥为AB1ABFCc)d)xxδ11Δ1F在实劝际载哀荷作野用下觉（见d图）酸，基愁本静丝式定刚楚架的若弯矩链方程耗为BC段（0≤x≤l/2）：AB段（l/2≤x≤l）：即得（4）解耽方程如，求沙多余朵未知炭力将求饰出的δ11与Δ1F代入储力法巨典型心方程熟，即器解得点多余碰未知燃力X1既得煤，即伴可作马出梁遥的弯动矩图xMe)例12斗-1织3超静城定刚接架如踪蝶图a所示忙，已遥知载飘荷q=1询0K啄N/杏m，各斤段杆迫的抗美弯刚迅度均拾为EI，试挎计算棉各支烛座处写的约年束反谜力。解（1）解除邀多余撇约束(见b图)（2）建逆立力也法典溪型方昌程（3）计拳算δ11与Δ1F2m4mqCABa)CABX1b)qδ11Δ1F在单肢位载忆荷作规用下汁（见c图）勇，基坐本静窜定刚钩架的扶弯矩闸方程谁为BC段：AB段：在实伪际载傲荷作称用下酷（见d图）云，基水本静举定刚师架的贯弯矩惭方程腊为BC段：AB段：δ11Δ1F（4）解株方程胞，求倘多余照未知陵力将求迷出的δ11与Δ1F代入谎力法层典型堆方程柿，即感解得设多余管未知来力此即C支座烂的约精束反凤力，欲再由贿平衡块方程稻，即羊得支伸座的戚约束恐反力（逆李时针孝）即得例12押-1约4试计置算图a所示畜超静卵定平贞面桁君架中匆各杆务内力设，已往知各址杆拉外压刚溪度均占为EA。解（1）解除匠多余委约束(见b图)（2）建雁立力贱法典震型方恨程（3）计塔算δ11与Δ1F在单往位载决荷作仆用下紧（见d图）成，基稍本静巨定桁对架中穗各杆即轴力铃分别滴为在实裕际载盘荷作洒用下继（见c图）茎，基嫁本静炊定桁基架中暂各杆霞轴力捐分别暗为（4）解袄方程写，求企多余敌未知寇力将求击出的δ11与Δ1F代入蛋力法扑典型级方程肢，即扭解得授多余引未知养力再由酷平衡屈方程蔬，即睡可求屋得该相超静舅定桁剪架的拌其余召各杆满轴力霞分别红为即得例12允-1东5图a所示店梁，A端固艰定，B端用偿一刚味度系乓数为k的弹衡簧支拒撑，惠其上召受到