第八章假设检验

第八章假设检验生活中的统计检验的例子生活中可谓无处不在、无时不有：买件日常用品要检验它的长度、重量；产品出厂要检验它的性能、质量；升学要检验学习成绩的优劣、功底的深厚……等等。与参数估计不同的是，对检验的对象我们并不是事先一无所知，而是已经得到过一些“宣称”，我们的工作是对此“宣称”进行核实，这便是“检验”的由来。检验过程开始后，首先需要抽取一定大小的样本，算出对应统计量大小然后加以判断，但众所周知，样本并非总体的严格反映，不少情况下会发生总体“合格”而样本“不合格”或者总体“不合格”而样本“合格”的矛盾现象，如何从往往只能一次试验中进行判断，这便是“假设检验”的任务。

重点：假设检验的基本思路、工作原理、方法特点；难点：检验时所用的繁杂公式以及公式之间的细微差别

现实中的统计案例一：时下不少大学生在一边学习的同时也不断寻找一些机会打些零工以赚点钱弥补学习和生活之需，这已经是学生们之间人所共知的事情。这没有丝毫的让人好奇之处，让人好奇的是这些打工的学生究竟一个月平均能赚多少钱？假设有人说：这个数据是500元，你觉得信不信它呢？当然，你首先需要收集证据，没有证据是肯定说明不了任何问题的。又假设有人通过组织调查取得过如下数据（调查到一共30人，单位：元）：350500900100100200240300100320450260650380290400800400250400290870540320140160300400500340第八章假设检验

这时你该做何结论？就算是你得到以上数据的平均数等于423元，你是否就可以作出“是”或“不是”的回答？因为你要作出的回答是针对整个总体的，根据却又只是来自部分总体——即样本，所以事实上不论你最终作出的是“是”还是“不是”的回答，其实都存在犯错误的可能。那么，如何以样本的数据去对总体参数下结论才最科学？才最不容易犯错误呢？这就是一个属于单个总体参数假设检验的问题了，是本章需要解决的问题。第八章假设检验一、基本概念

1、假设检验是统计推断的另一种方式，它与区间估计的差别主要在于：区间估计是用给定的大概率推断出总体参数的范围，而假设检验是以小概率为标准，对总体的状况所做出的假设进行判断。假设检验与区间估计结合起来，构成完整的统计推断内容。假设检验分为两类：一类是参数假设检验，另一类是非参数假设检验。第一节假设检验的基本思想对于随机变量X的分布参数，可以提出如下一些假设：

等等，其中和是已知数，而和是未知常数。特别地，如果已知X服从伯努利分布，参数p（0<p<1）未知，则可以提出如下假设：

H：p＝p0；

H：p≤p0；如：在对一批产品的质量验收过程中，若用p表示这批产品的不合格品率，而p0表示不合格品率的最大允许值。当假设H：p≤p0成立时，这批产品被接收，否则被拒收。以上各例中，统计假设可能成立也可能不成立。2、假设检验（也称显著性检验），就是根据对随机变量进行实际观察的结果（即样本取值）来判定事先给定的统计假设H是否成立的一种推断过程。例如，验收一大批产品，就是要检验假设H：p≤p0。假设检验在理论研究和实际应用中都占有重要地位。但在这里只能介绍假设检验的基本概念和思想，作为例子介绍一些常用的统计检验方法。

二、统计假设分类以后把关于随机变量（的分布、特征、相互关系等）的每一种论断都叫做统计假设。前面已经列举了一些统计假设的例子。一般地，根据问题的着眼点、条件和特点不同，统计假设有参数假设和非参数假设、简单假设和复合假设、零假设和备择假设之分。

（一）参数假设和非参数假设假设X是所研究的随机变量。那么，在X的分布函数F（x,θ）的数学形式已知的情形下，关于参数的各种统计假设称作“参数假设”；在X的分布函数的形式不确知（或完全未知）的情况下，与分布函数相关的各种一般性论断则称作“非参数假设”。例如，已知X～N（μ，σ2

），但是其参数μ和σ2

未知，那么H：μ＝0，σ2

＝1或μ≤0，σ2>0都是参数假设。而诸如：H：X的分布是正态的H：X服从普阿松分布H：X和Y相互独立H：X1，X2，…，Xn服从相同的分布等，则都是非参数假设。（二）简单假设和复合假设如果一个统计假设完全决定随机变量的概率分布，或者说假设只针对参数在某一单点取值而作，称之为“简单假设”，否则便是“复合假设”。比如X～N（μ，1），则假设H：μ＝0是简单假设，而H：μ≤0则是复合假设。（三）零假设和备择假设假定关于X有两个统计假设H0和H1，并且已知H0和H1中要么H0真实H1不真，要么H1真实H0不真，称这样的两个假设为二者必居其一的。例如，对于X～（μ，1），H0：μ≤0和H1：μ>0就是二者必居其一的两个假设。对于两个二者必居其一的假设，习惯上称其中一个为“零假设”（或者称为“基本假设”），而另一个为它的“备择假设”（或者“对立假设”）。以后永远以H0表示“零假设”，而H1表示H0

的“备择假设”。尽管二者的划分并不是绝对的，但是在处理具体问题时，通常把那些需要着重考察且不允许或不应该轻易被否定的假设视为“零假设”。例如，往往称“H0：X服从正态分布”为“零假设”，而把“H1：X不服从正态分布”叫做“备择假设”。这是因为，随机变量服从正态分布的场合占大多数情况，所以不应该轻易被否定。三、统计假设的检验考虑关于某个总体的统计假设H0，并以H1表示它的“备择假设”。所谓对假设H0的检验，就是根据随机取样的结果（即来自该总体的随机样本），按照一定的规则来判断假设H0的真伪以决定它的取舍，即是“拒绝”还是“接受”假设H0。以后，把用来判断所作假设真伪性的规则叫做检验准则，简称之为“检验”。检验的准则以拒绝域的形式给出。为此，按一定的规则把整个样本空间分割成不相交的两部分和。检验按如下规则进行：当样本点x＝（x1，x2，…，xn）落在区域中[1][2]时，认为所作假设H0不真实，从而拒绝它（这时，自然接受它的备择假设H1）；相反，当样本点x＝（x1，x2，…，xn）落在中时，认为H0真实，从而接受它（这时，自然拒绝H1）。这里叫做H0的拒绝域，而叫做H0的接受域。然而，由于“样本值落入拒绝域”和“样本值落入接受域”都是随机事件，故这里可能出现两种类型的错误：

接受拒绝真实判断正确弃真错误(第一类错误或α错误)

不真实取伪错误(第二类错误或β错误)

判断正确两种类型的错误第一类错误：拒绝了真实假设。即H0本来真实，却被拒绝了，叫做“弃真”；第二类错误：接受了不真实假设。即H0本来不真实，却被接受了，叫做“纳伪”。以上两类错误至少要出现一类。但在样本容量n固定的条件下选定检验准则时，不可能追求得到使两类错误的概率都最小，因为这种要求是矛盾的。习惯上处理这个问题是选定第一类错误概率（记为“α”）的一个上界，然后使第二类错误的概率尽可能小。在犯第一类错误概率得到控制的条件下，犯取伪错误的概率也要尽可能地小，或者说，不取伪的概率1-β应尽可能增大。1-β越大，意味着当原假设不真实时，检验判断出原假设不真实的概率越大，检验的判别能力就越好；1-β越小，意味着当原假设不真实时，检验结论判断出原假设不真实的概率越小，检验的判别能力就越差。可见1-β是反映统计检验判别能力大小的重要标志，我们称之为检验功效或检验力。检验功效“小汇概率秘事件沃不发钩生”闯原则莫与显叙著性胸水平根据咽大数蓄定律灯，在得大量馆重复摘试验堤中事兵件出探现的哪频率怒会越叠来越赢接近开于它够们的公概率取。倘垒若某隐事件A出现积的概微率α甚小毯，则饱它在霜大量妻重复与试验逢中出拐现的凡频率欲也应届该很似小。例如妙，若α＝0.毫00削1，则洲大体棒上10淋00次试丘验中A才出范现一返次。泊因此拒，概影率很挡小的驳事件侮在一填次试霉验中俭实际劝上不挥大可裂能出专现。巴在概嫌率论衣的应谅用中浓，称汁这样唇的事蔬件为却“小耻概率蓄事件糠”。在应乏用统报计的插每一庭个具弱体的压领域驾，人偏们总时是根膝据所月研究誓的具脊体问瘦题，傅规定秀一个问界限α（0<箩α<荒1）；玻当一族事件扯的概吗率P≤陈α时，私就认活为该凑事件奶是一森小概花率事恶件，漆而且宇概率和小到馋可以左认为押它实享际上挺不会派发生庄的地糊步，怕这就絮是所灿谓“湖小概遭率事除件不哗发生栗”原雷则。屿事实洲上，滔生活峰中我腊们也叨在无付意识诱的情溜况下上不断立地使购用这码一原拿则。嫁如一勒般情伶况下舒人们我都敢翅于乘请火车蓄而不永担心滩火车卖颠覆嗽、敢恩于搭孝飞机刷而不透担心充飞机胶坠毁导、敢明于坐绍轮船炊而不泛担心绿轮船寸沉没霜等等杆，就粥是因举为所炼对应北的事恩件很可少发志生，依我们早实际悄上就够把它芬当成蠢不发驰生对沟待的姑缘故嚷。然而愿事实若上，恨根据栏“小吩概率澡事件画不发航生”兆原则农所作寻的判疼断也启可能塑是错遵误的趣，因抛为小辛概率情事件心毕竟努不是恢零概道率事候件，衫还是厉可能碎发生券，只颤不过习发生诸的概岭率非冤常小抓而已吸。但诵，我堆们却强可以疯控制佳它，逢这种誓错误般发生齿的概针率最榜多也览就α这么缝大，肢而α是个傻“很浆小”寺的正换数。终这样霜的界季限α在假客设检轻验中评叫做贝“显批著性身水平堪”。α的选昂择要钳根据糟实际购情况昨而定妇：对廉于某门些重宿要场掉合，瓦事件膝的出菜现会杯引起沟严重妙的后涂果，店如上痕述撞高车、隙坠机省、沉凉船等充等，α就应孕选得毅小一丙些，忽否则影应该砍选得盲大一特些。捞在一驻般应浸用中掩，也比象参财数估尖计中漆选择认置信迎水平贝一样开，常窜选α＝0.磨01，0.摇05和0.调10等这修样一始些比薯较整渔的值次以便纪于造蓄表。统计史假设坐显著本性检肾验遵赵循“踢小概霜率事卫件不阳发生管”原斩则，节其理津论依愁据是背大数掘定律荒。四、样统计副假设数显著元性检摔验的甘一般总步骤进：假设张随机积变量X的分泼布函晋数F（x，θ）依壶赖于籍未知醉参数θ，以x1，x2，…，xn表示稍来自飞总体X的简骆单随救机样左本。守统计莫假设雁的显少著性灵检验蜓大致市可分杰以下怒几步型进行榆：第一牧步：车提出凝零假笑设H0和备电择假施设H1。零系假设挤和备馋择假聋设一确般可王以表蒸示为车：H0：θ满足荐某某馅条件傍；H1:θ不满犹足上顾述条炭件。第二宵步：奇规定芒检验午的显错著性筒水平α（0<驼α<载1）。第三森步：向建立理零假秧设H0的拒进绝域骨。是螺样本结空间储的一垦个特酬定区中域，别满足蛋条件辫：当暖零假今设成披立时傍，样健本点池落入没其中狗的概缩慧率不妖大于α。检但验的竿拒绝端域常毕借助强一统弃计量T＝T（x1茅,x弃2,继…,丧xn）颂来构浑造，慈而T的分候布是绝完全界已知掉的。第四佛步：墙对假雕设H0作出乖推断训。如芒果样慕本点呜（x1翁,x厉2,坝…,唱xn）集落入依中，貌则认余为H0不真疑，从拜而拒旧绝它境，否圆则便息不拒质绝假蝇设H0。上述肃推断驰的依翠据是送“小倘概率湖事件疤不发差生”龄原则墓：由蚂于样睛本点鸟落入响拒绝乳域的武概率α“很小弄”，垃故认狼为实共际不绢可能适落入企中。篮因此报，一刺旦确币实落叼入则付说明绑实际淡观测炼结果李与所胆作假我设H0严重范不符陕，所姐以理绸应拒热绝假艘设H0。必须苏强调佳指出形：当欢样本津点未粱落入说拒绝护域中栏，即厌当（x1,x2,…惊,xn）落妖入时揭，并讽没有沸理由蔑认定H0是真母实的赏，只拴能说归“未斯发现若所作祝假设靠与观内测结杨果有乎显著奇矛盾魂”，盐确切待些说顺只是博不能国拒绝静假设H0而已舍，并恭不是拌说已但经“帖接受杜”了H0。这呢时，骆事实久上需且要对X进行体进一愁步的善观测库才能背下进什一步桂的结握论。允所以侄从这净一意船义看坑正如不前面兆所说误，假傍设检颜验有扁一个丽显著鲜特点倚，即域“含辆含糊资糊地词接受症，信渡心十屠足地芹拒绝怪”。我们台开始吼讨论麻具体临的假勿设检仅验问呢题。鼓由于截正态捎分布废的特士殊性贺及其眼应用杯的广穴泛性欲，讨挣论在蜡没有捞特别情说明遇的条测件下赢都默娇认为影是就醒正态芽分布巩总体年进行榨的。吐所讨早论的暂检验动方法昏同时削也是悔实践逗中常机用的仇统计腰检验穴方法伴。对于奇一个氧正态驱总体堡，我责们考繁虑其揪数学考期望源和方春差是丢否为咽某一存特定舰值的挪检验拢问题水；对攻于两展个正途态总钓体，换则考不虑两队者数偏学期德望或棕方差饭是否叠相等拆的检呢验问竟题。假设位随机躲变量X服从卧正态殿分布N（μ，σ2），姿而（x1订,x烟2,叼…,桥xn）芹是来聪自X的简言单随晚机样巡寿本。彩检验催均值偏时，兴按标术准差盖已知辱和未解知两止种不慨同情续况来赢考虑锤；检道验标降准差丘时，宪则按慌均值盐已知评和未原知两受种不推同情甲况来弃考虑挎。第二及节超单个留总体彼的检翠验一、论单个夕总体训均值沉的检嫩验（一也）总零体标停准差附已知——ｚ检咽验（基标准缸正态闸分布曾检验宜法）遭法在已悔知标沈准差σ＝σ0时，胁检验假假设μ＝μ0，使盈用ｚ枕检验比：零假取设H0：μ＝μ0（已陆知σ＝σ0）；备择民假设H1：μ≠织μ0（已懒知σ＝σ0）；显著刮性水餐平：α（0<抗α<演1）；检验脖统计英量：其中存，X是样导本均改值。指由概奖率论杂理论症得知闷：在仗假设H0：μ＝μ0（已停知σ＝σ0）下豆样本露平均围数服泳从正斜态分恶布N（μ0,σ02/n）灶，从座而统透计量班ｚ服犬从标坏准正附态分数布N（0，1）。拒绝战零假散设的香条件往：对蹄于给盒定的α，必够可从佩标准趁正态设分布永表中菊查出桃一个扰正数华（称销之为俩标准凯正态皆分布脉的α水平笔双侧肚分位岂数）掉，使稳下式监成立考：P0{|ｚ|≥混}＝α上式吐的意钓思是熟：在H0确实殊成立料的条诊件下|ｚ|超过芽临界忆值的厅概率尊只有α这么堆大。因此乘，如怒下不初等式乡丰成立雪时，逼拒绝狐零假坑设H0：或伪。再用资反证压法的填思想写来检酿验H0：既胖然假催设H0为真服，即μ＝μ0，而飞我们介已经柜知道烤：σ＝σ0，所衫以理秩应服敌从分误布：N（μ0,σ02／n），棚从而妖ｚ应押服从筐标准脖正态否分布N（0，1），爪从而脾应遵贤循规脏律：P0坚{|ｚ|≥侍}＝α例1中，甩按历侨史资俯料，汁总体方的标旗准差放是4毫升猛。我笛们通槽过检借验总拨体均寄值是糕否等简于25梳0毫升算，来卧判断节饮料坊厂商羽是否歉欺骗供了消枪费者鞠。程辜序如苹下：第一叮步：悟确定姐原假镇设与锻备选董假设朱。：=2社50；仙：<2俗50以上寺的备王选假棵设是派总体元均值掀小于25悔0毫升只，因劫为消乖费者托协会氧希望右通过迈样本炊数据顶推断卸出厂追商的边欺骗牵行为(大于25候0毫升础一般辆不会宿发生)。因纱此使奏用左蛇侧检界验。第二胁步：群构造哲出检警验统白计量亮。我们倒知道者，如懂果总果体的引标准袍差已孩知，砍则正研态总艰体(正常怕情况凝下，悄生产抖饮料堤的容核量服罢从正疲态分少布)的抽捕样平腿均数城，也悠服从主正态霜分布子，对封它进巴行标凶准化喉变换岁，可趟得到漏：可用z作为齐检验贱统计妈量。第三彩步：桃确定乓显著帜性水描平，武确定零拒绝反域。通常聚显著垄水平忽由实程际问皮题确丛定，陕我们族这里肯取α=胶0.拐05，左蹲侧检现验，堪拒绝糊域安蚂排在村左边客，查匠标准卡正态粪分布原表得涉临界晴值：Zα=-务1.网64蹦5，拒阳绝域吵是z<碍-1侮.6滔45。第四棵步：并计算挂检验冤统计啄量的至数值著。样本鹊平均削数恼，n=霉50堆,代入猾检验罪统计驾量得膀：第五陡步：注判断葵。检验待统计准量的苦样本雕取值币落入铁拒绝茫域。挪拒绝车原假兽设，帅接受浮备选向假设较，认谊为有润足够咳的证少据说袍明该珠种纸债包饮项料的最平均旨容量眠小于源包装笑盒上倦注明乳的25卸0毫升踢，厂锦商有跨欺诈写之嫌殃。例：设捕总体邻服从数标准皂差为50的正骄态分泄布，贼从该册总体订中随趴机抽大出容检量为25的随惕机样纺本，屈得出爸样本庆平均总值为70，试狡以α＝0.鸦05的显戴著性枪水平伪检验慰假设H0：μ0＝90。解：断建立律假设H0：μ＝μ0；H1：μ≠淹μ0因为σ已知打，该祖检验映的统谱计量抄为：钞ｚ＝将x＝70，μ0＝90，σ＝50，n＝25代入隔，得顷：ｚ锤＝热＝－2；另一必方面示，通灿过查螺正态饶分布简表得哨临界兔值Zα/坏2＝1.退96。|ｚ|≥Zα/赔2，故模拒绝寺零假眨设H0，即柴有95％的权把握僚认为逐，μ不等控于90。（二镇）总谋体标席准差责未知—炕t检验自法总体胖标准责差未艰知时脚对总钥体均掀值检姿验经够常用t统计传量：但是通，在盲大样蜻本场歼合(样本储容量n大于30时)，t-统计睬量与存标准河正态喘分布损统计省量近翻似，搏通常侮用z检验耻代替t检验尖。零假粱设H0:μ＝μ0，0<疑σ<旦∞；备筝择假肿设H1:μ站≠μ万0，0<序σ<阵∞。显皱著性年水平啊：α（0<伪α<敌1）；检验听统计疫量：第八嫩章假设束检验由于拔在假杂设H0下，嘉尽管穴知道猪的分珍布是钩正态职分布N（μ0，σ2/n），渴但因田为σ未知寻，丙已不谣是统输计量翅。改虾用σ无偏掩估计s代替推，然不后再牲进行脉检验跪。不妙过，墨替代快后的饿新统停计量解不再迈服从泡正态叠分布飞而服镜从t分布乡丰，t分布盾的自虫由度脊（参药数）版为n-餐1。拒绝慨零假包设的窗条件词：对躬于给油定的σ和n，有其中预是自盛由度元为n－1的t分布李的α水平点双侧狂分位威数，浑查t分布帖表可苦得该烈数值然。因乘此，镜如下款不等粱式成惕立时鲜拒绝房诚零假贞设：或榜，其盟中第八锁章假设削检验P0{|贸t|根≥}＝α例：雷某制能造厂踪蝶生产乏某装彩置的嫂平均蕉工作哲温度尤是19疤0℃，今狐从一抢个由16台装确置所魔构成太的随励机样肚本中欲求得轻的工电作温膝度的燥平均丢数和要标准何差分持别是19恶4℃和8℃，能点否说尘明平饱均工申作温朵度与帽制造曲厂规堂定的倡温度呆不一慎致呢?（设α＝0.酬05，并涌假定饱工作志温度中服从例正态策分布术）解：忘建立女假设H0:μ＝19德0℃；H1:μ谈≠1蜡90史℃因方锹差未杀知，窑选取裕统计册量。则t～tα/史2(1惊5)，tα/杰2(1盏5)＝2.赛13。将跟＝19忌4，μ0＝19桶0，s＝8，n＝16代人袭计算贱得:因|t续|<穗tα/奴2(1奶5)，故碧接受就零假驳设，盼即没存有95％的笛把握芝认为恢，μ≠普19暴0℃。第八当章假设宋检验总结炭：单势个总虹体的怀假设现检验总体章均值拾的检众验条件检验限条件辰量拒绝百域H0、H1(1盆)H0：H1：z(2劝)H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