第八章图论第节

第八章图论1第一节图的基本知识第二节欧拉图与中国邮路问题第三节树第四节最短路（链）问题第五节网络最大流问题第六节最小费用流问题21.图论的产生图论是运筹学应用十分广泛的一个分支。瑞士数学家欧拉（EEuler）于1736年发表了一篇题为“依据几何位置的解题方法”的论文，有效地解决了哥尼斯堡七桥难题（欧拉证明了每个点都只与奇数条线相关联，所以从某一点开始，不重复地走过7座桥，最后回到出发点是不可能的），这是有记载的第一篇图论论文，欧拉被公认为图论的创始人。3ACBD42.图论的发展1736年——1936年：匈牙利数学家O.KÖnig于1936年出版了名为《有限图与无限图的理论》，为图论研究的第一本专著。从1736年欧拉的第一篇论文，到这本专著的出版，前后经历200年之久，这一时期图论的发展是缓慢的。51936年——20世纪中期：电子计算机和离散数学问题的发展，使得作为提供离散数学模型的图论得以迅速发展。目前图论被广泛应用到管理科学、计算机科学、信息论、控制论等各个领域，并取得了丰硕的成果。6第一节图的基本知识

一、图的基本概念1.图由一些点和一些点之间的连线所组成的二元组，称为图。2.顶点图中点集V={vi}中的元素vi称为顶点。73.边和弧图中，两顶点之间的连线为无向的（不带箭头），称为边，记为E={ei}。一条连接顶点vi和vj的边记为[vi,vj]。eivivj8图中，两顶点之间的连线为有向的（带箭头），称为弧，弧为A={ai}。一条由顶点vi指向顶点vj的弧记为(vi,vj)。aivjvi94.有向图和无向图由点和边所构成的图，称为无向图，记为G=(V,E)，式中V是无向图G的点集合；E是无向图G的边集合。由点和弧所构成的图，称为有向图，记为D=(V,A)，式中V

是有向图的点集合G；A

是有向图G

的弧集合。10无向图有向图115.无向图中顶点数、边数的表示方式顶点数：p(G)，简记为p。边数：q(G)，简记为q。6.有向图中顶点数、弧数的表示方式顶点数：p(D)，简记为p。边数：q(D)，简记为q。12二、图的引申概念1.端点、始点、终点无向图G=(V,E)中，边e=[u,v]∈E，称顶点u和v是边e的端点，也称顶点u和v是相邻的。euv13有向图D=(V,A)中，弧a=(u,v)∈A，称顶点u是弧a的始点，称顶点v是弧a的终点。uv142.关联边（弧）无向图G=(V,E)中，边e=[u,v]∈E，称边e

是顶点u

的关联边，也称边e

是顶点v

的关联边。euv15有向固图D=仙(V,A)中，奶弧a=茂(u,v)酱∈A，称划弧a是始絮点u的关控联弧馋，也袍称弧a是终贸点v的关师联弧丸。auv163.多重狭边（裙弧）无向氏图G=总(V,E)中，拆边e1=[u,v]、e2=[u,v]、…、ek=[u,v]∈E，即脉两个趟端点u和v之间行的边栽多于蹦一条合，称直这些柏边为厉多重册边。eiuve1ek17有向菠图D=贡(V,A)中，碍弧a1=(u,v)、a2=(u,v)、…、ak=(u,v)∈A，即矩由始茧点u指向琴终点v的弧辞多于垃一条如，称疑这些洗弧为讽多重叔弧。aiuva1akuva1a2184.环无向矛图G=谜(V,E)中，合边e=弦[u,u]，即米边的球两个列端点热相同你，称障该边旨为环妈。ue19有向番图D=(V,A)中，萝弧a=宋(u,u)，即引弧的栏始点或和终无点相归同，样称该宾弧为毛环。ue205.简单姿图无向汁图中柳，一重个无甩多重组边、早无环曲的无妈向图剥，称育为简脖单图贝。有向元图中伸，一谜个无盖多重武弧、境无环驴的有新向图偷，称衔为简酬单图悲。216.多重肆图无向柏图中贱，一锅个有涂多重雪边，湖但无救环的疏无向屯图，才称为务多重凳图。有向绿图中放，一西个有躁多重回弧，初但无骨环的除有向别图，胁称为况多重寄图。22简单当图多重伴图例：23三、学顶点差的次1.顶点淋的次在无接向图炮中，服以顶库点v为端葵点的听边的押个数铸称为躬顶点v的次箱，记勒为d(v)。在有哈向图悠中，速以顶贴点v为始长点的玩弧数材，称帆为顶旨点v的出夸次，卸记为d+(v)。在有呀向图敢中，废以顶啦点v为终晒点的范弧数剪，称哭为顶详点v的入安次，游记为d-(v)。在有崭向图抵中，炕以顶灶点v的出触次和蜜入次按之和奖，称女为顶老点v的次跌，记屠为d(v)。24v1v2v3v4v5v7v6e1e2e4e5e6e3e9e8e7d(v1)=肃2，d(v2)=未2，d(v3)=醉4d(v4)=摊3，d(v5)=令3，d(v6)=为2d(v7)=车225注：闪环的键顶点笋的次准数为2次。d(v1)=安4，d(v2)=颂2，d(v2)=3，d(v4)=革1，d(v5)=贯0e2e1e3e4v1v2v3v4e5v5例：262.悬挂窑点、遵悬挂巷边、啄悬挂世弧次数懒为1的顶故点称移为悬亚挂点炎。如上困例中册的顶牢点v4。无向躬图中忍，连论接悬傻挂点腥的边喊称为喂悬挂确边。如上蝴例中徒的边e5。有向窜图中内，连午接悬称挂点荣的弧钢称为豪悬挂多弧。27d(v4)=旅1e2e1e3e4v1v2v3v4e5v5例：283.孤立畜点次数耐为0的顶猪点称乞为孤剥立点蔑。如上谱例中跨的顶庭点v5。4.奇点次数混为奇奏数的背顶点撕称为龙奇点笨。如上尼例中撞的顶庙点v3和v4。5.偶点次数锤为偶秤数的棉顶点弄称为择偶点居。如上棋例中告的顶仙点v1和v2。29d(v5)=咬0e2e1e3e4v1v2v3v4e5v5例：d(v3)=矮3d(v4)=竿1d(v1)=眉4d(v2)=倾2306.三个初定理定理1任何邀图中砍，顶阿点次阿数的堡总和叛等于刮边数慌（弧姐数）湾的2倍，恐即证明回：计改算各雁顶点绸的次蹦数时攻，每关条边球都被讨它的烂端点围各用止了一致次。31证明9个工桶厂之厘间，贞不可洪能每朽个工待厂只拴与其士他3个工私厂有悼业务昏联系原。（P2宫78页习烧题8.铜1）证：江如果9个工忌厂均他是与返其他3个工岩厂有态业务盾联系历，则纸顶点识的次哑数总筋和为27，是遣奇数痛而不窄是偶悦数，妈同定肤理1矛盾较。32定理2任何更图中猜，奇急点的个个数见为偶停数。证明祝：设V1和V2分别尝是G中奇塔点和桐偶点柴的集耗合，督由定手理1可得332q和均为药偶数2q-为偶记数故也为端偶数又因饿为d(v)（v∈V1）的移值为终奇数厉，所涝以d(v)（v∈V1）的举个数满为偶危数。34证明9个工盒厂之虾间，剃不可酸能只殃有4个工勇厂只丝式与偶乏数个拘工厂轨有业循务联丝式系。攀（P2狱78页习罢题8.钳1）证：赠如果股只有4个工磁厂与道偶数桃个工陆厂有透业务料联系市，则遥另外5个工毅厂与杀奇数海个工赢厂有柏业务寺联系甘。这5个工沸厂均渔为奇档点，居与定锡理2矛盾菌。35定理3有向遣图中棕，所敞有顶鼻点的星入次胜之和郑等于取所有怀顶点伴的出茶次之造和，掀即证明紫：计榜算各钻顶点危的出拨次和偿入次筐时，邻每条庙弧都僻被它蒸的端文点各械用了睬一次匠。36四、倾连通吉图1.链和香路在无向图G=(V,E)中，一个点、边交错序列如果满足，则称为连接和的一条链。37在有始向图D=舌(V,A)中，淡一个钥点、两弧交炕错序贝列如果熟满足，则只称为猾从到的一明条路姻。称为点为链的中间点。38v1v5v2v3v4a5a4a1a2a3例：(v1,a1,v2,a2,v3,a3,v4)不是莫一条催路，尸因为究弧a1≠(v1,v2)，a3≠(v3,v4)。392.初等蕉链和从初等恋路若链中，膀点均不号相同脖，则惧称之康为初锦等链灵。注：宋初等籍链中画点无面相同粘的，絮边也兽无相光同的昌。40注：泽初等犹路中光点无巷相同搏的，掠弧也忌无相钥同的责。中，槽点均不龟相同破，则暑称之穴为初罢等路交。若路41v1v5v2v3v4a5a4a1a2a3例：(v1,a1,v2,a2,v3,a6,v1,a4,v5,a5,v4)不是牺一条斧初等隐路。a6423.简单对链和侦简单启路若链中，界边均不各相同关，则装称之干为简喝单链收。注：清简单佩链中呜边无膊相同槽的，问但可缩慧有相讽同的摊点。43注：挨简单术路中缓弧无弓相同撒的，勾但可绞有相农同的拦点。中，莲弧均不渗相同途，则料称之雨为简摊单路春。若路44v1v5v2v3v4a5a4a1a2a3例：(v1,a1,v2,a2,v3,a6,v1,a4,v5,a5,v4)不是既一条牙初等陈路，骑但是程一条筹简单塘路。a6454.圈和晨回路在无锈向图G=秃(V,E)中，是一个乌点、凶边交偷错序节列，如位果满饭足，且为同钓一个馆点，衫则称著此链摆为圈怀。46v1v5v2v3v4a5a4a1a2a3例：(v1,a1,v2,a2,v3,a6,v1)是一袍个圈墨。a647，如凳果满洒足，且为同至一个紫点，门则称娘此路暴为回魔路。在有原向图D=扮(V,A)中，批一个蛾点、闹弧交看错序梦列48v1v5v2v3v4a5a4a1a2a3(v1,a1,v2,a2,v3,a6,v1)是一遇个回统路。a6例：49v1v5v2v3v4a5a4a1a2a3(v1,a1,v2,a2,v3,a6,v1)不是桐一个侵回路拥。a6505.初等罗圈和毒初等寄回路若圈中，市点都不辅相同童，则非称之须为初芳等圈侧。若回路中，点都不相同，则称之为初等回路。51初等坑圈：(v1,v2,v3,v4,v1)v1v2v3v4v5v7v6e1e2e4e5e6e3e9e8e752(v4,v1,v2,v3,v5,v7,v6,v3,v4)不是黎一个雕初等薪圈。v1v2v3v4v5v7v6e1e2e4e5e6e3e9e8e7536.简单料圈和愉简单糟回路若圈中，镰边均不蒙相同餐，则瞧称之咱为简慎单圈舞。若回给路中，扎弧都不案相同喜，则榆称之夺为简各单回睛路。54(v4,v1,v2,v3,v5,v7,v6,v3,v4)不是甩一个理初等汇圈，鸭但是致一个孔简单殿圈。v1v2v3v4v5v7v6e1e2e4e5e6e3e9e8e7557.连通自图和太不连农通图在无赴向图G=辈(V,E)中，田若任特意两探个点乌之间繁，至思少有即一条第链，扎则称G是连服通图吵，否闯则称多为不呢连通荒图。56在有霉向图D=炎(V,A)中，粗若任僚意两条个点造之间叙，至存少有晚一条穗路，肆则称D是连宝通图畅，否污则称吐为不盈连通祸图。578.连通贷图分搏图若G或D是不珍连通现图，是则它靠的每冈个连赞通部简分，金称为G的一刊个连包通分仍图，救简称狗分图犁。58v1v2v3v4v5v7v6e1e2e4e5e6e3e9e8e7v8v9e10上图妨中是烫一个脏不连讨通图境，但逼它有丧两个弦连通智分图称。例：599.生成历（支姑撑）案子图给一第个无悄向图G=爪(V,E)，如保图，使身得，则所称是G的一晴个生推成（疲支撑速）子帝图。60给一缎个无燥向图D=义(V,A)，如度图，使璃得，则岩称是D的一左个生价成（滩支撑新）子匠图。61例：v1v3v5v4v2v1v5v4v3v2图G图图为图G的一糠个生吵成（竟支撑肝）子掘图6210缘瑞.G-v图或D-v图D-v：表示偶图D中去盒掉点v及v的关元联弧鉴后得员到的催一个刮图。G-v：表示竭图G中去洒掉点v及v的关棵联边太后得注到的蔬一个饶图。63v1v3v5v4v2v2v1v4v5图G图G-v3例：6411械.基础晴图给一被个有酿向图D=(V,A)，从D中去锣掉所脏有弧比上的歉箭头惧（方练向）到，从役而得锁到一解个无值向图G=弯(V,E)，称坦之为D的基摆础图廊，记覆为G(D)。65五、劲图的脂矩阵荐表示用矩售阵表宿示图肚对研弃究图耍的性己质及忧应用浇常常困比较葵方便兄。图仅的矩请阵表跟示方吐法主纵要有趋：权矩王阵邻接很矩阵661.权矩畏阵网络慨赋权飘图G=(V，E)，其苏边(vi，vj)有权wij，构狐造矩遗阵A=(aij)n×n，其您中称矩礼阵A=(aij)n×n，为杂图G的权感矩阵负。67对角富线上诵元素热值为0v1v5v4v3v2742438569682.邻接侨矩阵对于粥图G=(V，E)，构斤造矩焦阵A=(aij)m×n，其倚中称矩决阵A=(aij)n×n，为验图G的邻静接矩盟阵。69v3v1v2v5v6v470一、择欧拉累图欧拉务路：连通卖图G中，侨若存殿在一辟条路唇，经联过G中的缎所有轰边，宜且每书边仅佛经过度一次饲，则吃称这恢条路菌为欧经拉路慢。欧拉本回路后：连通蚊图G中若博存在仍一条租回路敌，经含过G中的旷所有尸边，弄且每熄边仅盛经过皂一次星，则命称这寇条回岛路为宁欧拉榴回路糠。欧拉谎图：具有漠欧拉蚕回路文的图亡称为预欧拉浅图。第二贿节奥欧拉负图与耐中国骂邮路载问题71欧拉证路经过俩所有貌边的农简单醒路欧拉技回路经过裹所有白边的芽简单午回路72定理1无向大连通台图G是欧妈拉图陡，当雄且仅规当G中无爹奇点奥。证明课：（1）充池分性馋：连羊通图G为欧耍拉图味→G中无夏奇点奏。因为G为欧秀拉图借，则口必然翁存在墓一条撒回路鹊，经胀过G中所有慨的边灿，且宾只经菊过一虾次。鞠对于G中的眉任一博顶点vi，只锣要回漠路中仆出现效一次劝，必魂关联鲜两条隐边，双即一笛条边姿进入盏这点涌，再谦沿另孝一边毫离开腹这点披。所抽以点vi虽然耐可以吼在回洪路中菜重复型出现过，但睡次数畅必为漏偶数的。73（2）必孔要性愈：连芒通图G中无江奇点头→G为欧辽拉图温。因为泥连通分图G中全扇部都指是偶胜点，登则从回任一仿顶点v1出发跑，经定关联南边e1进入v2，由临于v2也是尘偶点倾，则挑必然霞可由v2经另涂外一誉条不栏同的股关联员边e2进入射另外寇一个理顶点v3，如钉此进臣行下库去，房诚每边呼仅取检一次表。由升于连董通图G中点单数是授有限和的，息所以单这条茂路不秀能无冻休止阀地走静下去槐，必丛然可血以回零到初瓣始顶耍点v1，从缓而得智到一香个回盗路c1。回灵路c1是否彻为欧愧拉回员路只竟需验槽证c1是否词包含饱连通似图G中的悠所有谷边即剧可。74①若回益路c1经过G的所饲有边赔，则c1就是师欧拉钻回路颜，必爹要性捎得以勇证明革。②若回柜路c1只经公过G中的喇一部夏分边主，则c1尚不氧是欧糟拉回验路。i）街从G中去莲掉c1后得吨到子差图G’，则G’中每残个顶嫌点的爽次数拾仍为厚偶数梯。Ii）在G’中，善重复弟前面c1的方躬法，那得到续回路c2。75ii呆i）把c1与c2组合虫在一处起，胡如果宴恰是勿图G，则沫得到鸦欧拉镰回路贺，否虫则重话复上分述步既骤，岗得到果回路c3。iv）依腹次类悄推。由于插图G中边举数有应限，浮最终床可得弹一条诸经过族图G所有迟边的挪回路膜，即且欧拉变回路坟。76该图顷无奇爽点，标现在黎按照风上述炒方法瞎寻找山欧拉果回路咱。c1c2c3将c1、c2、c3组合进起来弓，从宝而形木成欧坐拉回耻路。为欧晓拉图77欧拉样图中扒欧拉五回路息的构座造方橡法：①苏从图G中任丝式一点v1出发况，寻增找一铁个初映等回贵路c1。②答从图G中去悠掉初驰等回坟路c1。③帐在剩燥余的龙图中青再寻欺找初稼等回宣路c2。④从图G中去叫掉初萍等回遥路c2。⑤按此花方法右进行议下去颈，直揪到图威中所嚼有边膊都包皮含在纸这些够初等愧回路兴中。⑥把紫这些胸回路巷连接冻起来鹿，从外而得渐到即木为欧终拉回窑路。78ACBDd(A)=塑3d(C)=隶5d(B)=亡3d(D)=谱3该连亚通图存有4个奇姥点，巾不是们欧拉远图。判断清哥尼坑斯堡莫七桥上难题79下图牺能否菊一笔戒画出诵？可以衡一笔锦画出雹，因葵为该师图为爹欧拉萍图。c1c2c380推论1无向辞连通档图G是欧拐拉图晶，当拜且仅筹当G的边窄集可京划分旧为若拜干个齿初等纱回路怪。（伴由定剃理1的必副要性晶证明盏过程厚可知帜。）推论2无向承连通泰图G中存抹在欧骗拉路歌，当挖且仅艰当G中恰沿有两珠个奇奏点。81定理2有向劣连通阀图G是欧获拉图痕，当皮且仅辣当G中每床个顶激点的期出次命等于凭入次奔。推论有向斯连通这图G有欧墓拉路晋，当有且仅卸当这洪个图长中除阅去两跃个顶骡点外湾，其地余每盐一个卷顶点离的出衔次等趣于入捞次，铲且这冒两个碧顶点纯中，回一个先顶点猪的入失次比构出次还多1，另娱一个纤顶点用的入狂次比败出次拳少1。82二、绳中国愿邮路近问题19兽62年我夜国著泥名运拆筹数背学家胆管梅磁谷教还授提慎出中凡国邮深路问淘题：一个坐邮递港员，丈负责类某一塌地区瘦的信咸件投壳递。菌每天茎要从闲邮局像出发什，走围遍该角地区尘所有引街道东再返朴回邮距局，专问应窗如何榨安排勾送信注的路剖线，死可以绕使所汪走的梁总路咏程最胶短？83中国蜡邮路纪问题皱的图柔论描罚述：给定办一个壮连通言图G，每馆边有纵非负学权l(e)，要阻求一哲条回腾路过秆每边久至少呼一次贼，且割满足泡总权残最小嘉。84分析串：如果G中没喂有奇戚点，现则是叛一个透欧拉宴图，毅按欧析拉回忍路走把就是具最短壤路；如果G中有融奇点胶，要睁求连戚续走猜过每柱边至起少一丛次，鸭必然领有些街边不巨止走形一次欠。85第三浩节网树一、服树的刻概念敲和性狡质树是拉图论押中结速构最厉简单掘但又辟十分私重要村的一芬种图惯。1.定义连通班且不音含圈继的无幕向图叫称为县无向黑树。在任君一图G中，升当点侵集V确定另后，塑树是G中边驶数最粪少的糟连通周图。862.定理图G=腾(V,E)是一搏个树型，p(G)≥翅2，则G中至样少有划两个庭悬挂资点。证明脏：在G中找秘出边唤数最顷多的姿一条若初等寸链(v1,v2,…库,vk)。87现在超来证搂明边钥数最肯多的肉初等徐链(v1,v2,径…搏,vk)的两狐个端哥点均蚀为悬劝挂点笛。如果v1不是葵悬挂啊点，志则至仿少存止在边[v1,vm]（vm≠v2）。88若点vm不在愉链(v1,v2,…存,vk)中，徒那么(vm,v1,v2,…励,vk)比(v1,v2,…猾,vk)长，数矛盾笛；若点vm在链(v1,v2,…碍,vk)中，兄那么(v1,v2,…峡,vm,v1)为圈艳，矛铜盾；从而讯可知v1为悬俗挂点孔。同理持可证vk也为良悬挂皮点。893.树的钟充要杏条件图G=杏(V,E)，图G是一见个树疮的充趁要条秀件为荡：（1）G无圈慎，且q(G)飘=p(G)像-1（边翁数=点数-组1）。（2）G连通羊，且q(G)很=p(G)木-1（边桥数=点数-槽1）。（3）G中任咳意两净点之竖间有骗唯一月一条央链相忙连。（4）G无圈英，但乔每加晒一新否边即轨得唯妈一一拍个圈本。（5）G连通橡，但践每舍乱去一汤边就喝不连旱通。90必要懒性：饶图G是一渐个树范→G无圈猛，且q(G)活=p(G)-截1析→q(G)泳=p(G)-浓1用数矿学归托纳法未证明柴。p(G1)=蠢1时，q(G1)=吗0，结详论显器然成巩立；p(G2)=屋2时，q(G1)=驼1，结优论显承然成销立；假设p(Gn)椅=n时，q(Gn)稀=n-1，即贫结论析成立伤。（1）图G是一琴个树G无圈稻，且q(G)迅=p(G)冻-1。证明却：91下面苦来证楼明p(Gn+1)赤=n+1时，q(Gn+1)=n。Gn+1是一驱个树浑，且p(Gn+1)捡=n+1江≥2由定瞧理可遗知，Gn+1中至逗少有筛两个反悬挂卸点。设v是Gn+1的一界个悬协挂点捧，考战虑图Gn+1-v（图Gn+1中去使掉点v及v的关浙联边叙后得雄到的楼图）峡为一修个顶糟点数欣量为n的树激，则92又从而膜证明愿了p(Gn+1)宗=n+1时，q(Gn+1)弄=n，结尖论也惑成立摆。必要陪性得命证。q(Gn+1)=q(Gn+1-v)+核1=n-1抱+1萍=np(Gn+1-v)=n，q(Gn+1-v)垒=p(Gn+1-v)杰–纠1疼=n-台193充分殖性：掘图G无圈袍，且q(G)耳=p(G)址-1侄→图G是一舰个树位→弹图G是连够通的用反郊证法栗证明扛。设G是无躁圈的哪不连歌通图帜。G可分境为s个无井圈的姥连通柱分图G1，G2，……，Gs（s≥2）G1，G2，……，Gs均为豆无圈杯的连遣通图94G1，G2，……，Gs均为宅树由必练要性隔可知第：q(Gi)论=p(Gi)储-1（i=1果,…浆,s,s≥2）又G={G1，G2，……，Gs}95≤p(G)-禽2南<p(G)-池1同已船知条但件q(G)闲=p(G)露-1矛盾具，故鸟假设稠错误挺。充分逗性得港证。96必要耻性：氧图G是一斧个树街→G连通呼，且q(G)=p(G)-视1径→q(G)烧=p(G)吊-宰1略（动同上抵，已六证毕支）充分秩性：烈图G连通静，且q(G)=p(G)-潜1雀→图G是一仿个树学→筋图G中不燥含圈（2）图G是一贵个树G连通丢，且q(G)合=p(G)源-1。97①盾先来幼证明席：图G连通盆，且q(G)振=p(G)-胶1新→图G中必彻有悬冤挂点用反俱证法俯证明亩。设G中无解悬挂穴点。则G中所田有点补的次骄数都乘大于书等于2，即d(vi)≥作2，从晶而可哨得98（任驾何图风中，测顶点恳次数简的总般和等鹿于边绍数的2倍，峡即）99从而纱可知监：关系呼式q(G)鲁≥p(G)和已孤知条致件q(G)君=p(G)-储1相互宣矛盾宾。从而黄可知G中必己有悬炒挂点渐。10博0②盐用数就学归挤纳法总证明绸：图G连通慕，且q(G)抖=p(G)-香1猫→图G中不项含圈p(G1)=嫩1，q(G1)=谨0时，G1显然践不含汤圈，矮结论魄显然灯成立脖；p(G2)=车2，q(G1)=希1时，G2显然老不含巴圈，玩结论绞显然脸成立鸽；假设p(Gn)=n，q(Gn)=n-1时，Gn中不岸含圈满，即滨结论扒成立找。10盘1下面婶来证摸明p(Gn+1)=n+1，q(Gn+1)=n时，Gn+1中也却不含虹圈。Gn+服1中含环有悬辽挂点设v为Gn+1中的芒悬挂乐点，借考虑房诚图Gn+1-v（图Gn+1中去烂掉点v及v的关阅联边骗后得名到的档图）旅为一黎个顶播点数董量为n的连悠通图羡，且舒满足p(Gn+1-v)体=p(Gn+1)融-1窗=n，q(Gn+1-v)=q(Gn+1)受-1抱=n-1。10芒2从而朋可知慌图Gn+1-v中不讯含圈Gn+1中也旷不含眼圈命题处得证10外3（3）图G是一较个树G中任挖意两估点之每间有而唯一董一条构链相常连必要斤性：酬图G是一垦个树蜓→G中任趟意两固点之预间有布唯一控一条响链相走连。因G是连赔通的没：任邻两个晚点之络间，枝至少援有一汁条链弃；因G是无发圈的骨：任英两个环点之勾间，府只能挡有一封条链禾，否物则则步形成朴了圈恢。10施4充分用性：G中任毙意两晋点之与间有阀唯一委一条浴链相拳连毕→夏图G是一骂个树G中任木意两多点之响间有递唯一表一条原链：G是连浇通的甚。再来恭证明G是无备圈的杂。反证惭法。设G中有带圈，铺则这估个圈臭上的季两个震顶点费之间想有两熟条链旗，与愁“G中任醉意两阶点之尾间有继唯一霉一条苍链”待相矛埋盾。喉故G中是针无圈昏的。命题探得证遍。10毅5（4）图G是一访个树G无圈饱，但勾每加训一新祸边即去得唯从一一伤个圈命题就得证搏。G中任杨意两斯点之挑间有衰唯一宾一条么链相煮连G无圈喘，但看每加沫一新郊边即茄得唯焰一一边个圈10马6图G是一累个树G连通狸，但讯每舍满去一闯边就贪不连背通（5）命题稻得证很。G中任姻意两阔点之畜间有拾唯一砖一条光链相选连G连通持，但命每舍由去一仿边就捏不连东通10巾7二、闯图的源生成激树（窗支撑战树）1.定义（1）生惜成树设图是图G=刊(V,E)的生胖成子兆图是一谋个树夫，则殖称T是G的如果帝图一个值生成寇树。10铜8例：v1v3v5v4v2v1v5v4v3v2是上鸭图的凯生成岛图，软但不贝是生极成树蓄。10妖9v1v5v4v3v2是上妹图的挎生成踩图，揭而且燥是生巧成树军。v1v3v5v2v411有0（2）树亡枝图G中，芒属于雅生成宿树的咬边称愿为树万枝。（3）弦图G中，卫不属武于生因成树伍的边伙称为仇弦。11授1v1v5v4v3v2是上扭图的争生成帮图，雷而且柔是生握成树币。v1v3v5v2v4弦树枝11披2（4）性僻质①p(T)探=p(G)②q(T)趣=p(T)是-1蹈=p(G)勤-1（树店枝数=点数-1）；③裤弦戏数（G中不回属于号树T的边奥数）=q(G)–q(T)=q(G)御-亦[p(G)-甲1]膊=q(G)柏-p(G)油+傻1（弦萝数=边数-点数+溪1）11嫩3v1v5v4v3v2v1v3v5v2v4弦树枝树枝文数=点数-1艇=全5碌–反1菠=捏4弦数=边数-点数+弊1=拖7筋-岔5沫+娃1踏=穷311谢42.定理图G有生形成树盯的充福分必懒要条娃件是顾图G是连究通的顿。证明辞：必要玩性：担图G有生辆成树烫→摧图G是连世通的图G有生卧成树T，生篮成树T必是擦连通尊，从辆而图G也必鞋是连倚通的伟。11郊5充分缝性：蠢图G是连钞通的恐→庙图G有生裂成树如果理图G是连尊通的患、且穗无圈森，则拥图G本身修就是竞一个珠树，灵从而驴图G是它域自身丘的一呢个生帅成树弱。如果晒图G是连挨通的题、且质含有麻圈（泻破圈闲法）钥：（1）则裙任取扩一个提圈，诉从圈危中任午意去群掉一涌条边击，得蹲到图G的一步个生宪成子坐图G1，如买果G1不含摔圈，凤那么G1就是G的一飞个生雨成树绞；11足6（2）如贺果G1仍含缺圈，葵那么茅从G1中任骨取一参个圈甘，从冰圈中磁任意高去掉当一条顾边，廊得到访图G1的一位个生歪成子隶图G2，如报果G2不含镰圈，炉那么G2就是G的一奶个生楼成树跪；（3）如斯此重愁复，乒最终阴可以注得到G的一方个生瘦成子欢图Gk，使Gk中不堆含圈莲，于周是Gk是G的一冶个生钻成树喂。11换73.寻找材生成斗树的摔方法（1）破央圈法从图G中任袖取一穗个圈滚，从敲圈中毯去掉离一边封，对煌余下缸的图询重复足这个遣步骤牵，直娇到不塑含圈侦为止亏，即饺得到弱一个匆生成提树。“破鼠圈法再”中永去掉坏的边雪数=q(G)照–p(G)派+幼111坡8（2）避兴圈法思路精：在言已给炼出的皮图G中，尖每步汇选出算一条飘边，脉使它划与已右选边屡不构尊成圈纠，直眠到选滋购p(G)页-醉1条边默为止墙。下面且介绍虹两种墨方法也。11脖9①鸟深探殿法步骤1在点东集V中任绢取一兆点v0，给v0标号0；步骤2若某鞭点vi已标鲜号i，则怖检查如以vi为端碗点的驶所有仍关联程边（vi,v），管寻找耐这些肾关联委边中朋另一闻端点v未标宅号的敏关联依边。12寸0步骤3若有蹲未标膜号的拍，则寒任选低一个做未标掘号的辆端点v，给汽以标齐号i+1，令揉其为vi+1，检晋查以vi+1为端寺点的厚所有钥关联舌边（vi+1,v），湖寻找皂这些淘关联麦边中再另一就端点v未标畜号的寇关联找边。12过1步骤4若无蹲未标钱号的息，则企退到启标号护为i-1的点vi-1，检宾查以vi-1为端泽点的含所有峰关联静边（vi-1,v），浙寻找额这些抢关联播边中糊另一揭端点v未标脸号的胞关联孤边。步骤5重复殃步骤2、3和4，直坛到全头部点泥得到跌标号损为止状。12百2例：01234567891011121312活3②炎广探蠢法步骤1在点饲集V中任爪取一月点v0，给v0标号0；步骤2令所离有标约号为i的点衡集为Vi=纳{vi}，检运查以vi为端参点的宰所有抬关联毕边（vi,v），旬寻找躁这些眼关联猛边中有另一种端点v未标针号的悔关联别边。12洲4步骤3若有品未标高号的气，则献对所基有未喝标号踪蝶的端总点v，给偶以标片号i+1，令股其为vi+1，检种查以vi+1为端盘点的疼所有每关联功边（vi,v），辅寻找臭这些觉关联独边中呀另一友端点v未标暖号的晨关联还边。步骤4重复镇步骤2和3，直厌到全贝部点扣得到字标号墙为止拖。12别5例：0123213323344412义6三、堵最小立生成巧树问矩题1.权和乓赋权跪图的染基本魔概念（1）定剖义给图G=崖(V，E)，对G中的货每一间条边[vi，vj]，相胀应地洽给一矮个数wij，称wij为边[vi，vj]上的牧权，机称这季样的经图G为赋恢权图阅。12印7（2）权宜的含朱义权是区与边态有关转的数精量指史标，衰根据匙实际宪问题递的需箱要，茂可以棋赋予焦不同钥的含少义，崖如距滚离、际时间多、费致用等宴。12焦8（3）赋主权图驱的意鸽义赋权说图不下仅指慢出了贺各顶壳点之错间的思相邻吸关系户，而明且也圆表示硬出了刑各点贪之间态的数蛾量关赢系，武所以要赋权悠图被停广泛责地应沾用于帮解决苹工程释技术称及科蓄学生置产管肉理等僵领域似的最悔优化杨问题兼。赋权形图在版图论航及其奔应用酸方面胃有着寻重要脆的地高位。最小英生成苏树问锹题就惕是赋速权图斥上的爬最优叉化问厅题之凉一。12链92.最小神生成枪树的纳基本忆概念（1）生成树的权连通图G=(V，E)，每条边e=[vi，vj]上有一个非负权w(e)=wij（wij≥0）。如果是G=(V，E)的一个生成树，称的权之和为生成树T的权，记为w(T)，即。中所有边13链0（2）最圈小生驰成树如果翁生成村树T*的权w(T*)是G的所有有生纯成树芒的权傅中最鹅小者句，则予称T*是G的最阻小生凳成树兴，简屈称最杠小树方。即w(T*)陪=13桑1（3）最窑小生顾成树疼的应驼用许多盐网络胃问题蚁都可绪以归舰结为芳最小耳生成懒树问攻题。如设未计长返度最顽小的粒公路逐网，咽把若搂干城锯市联州系起右来；饱设计臣用料垂最省饺的电带话线押网，骑把有郑关单誉位联遥系起治来。13悬23.寻找扑最小品生成兄树的修算法（1）避难圈法鼻，Kr小us丘ka口l算法思路贺：开豪始选偿一条率最小垂权的全边，酱以后腥每一狮步中猾，总左从未泰被选胆取的桶边中恳选一畏条权猜最小巧的边脏，并丛使之模与已推选取埋的边沸不构柔成圈马。如漠果有辩两条府或两饰条以众上的梳边都埋是权液最小吼的边石，则刮从中坐任选蜡一条柄。13往3步骤1对赋嫂权图G=欣(V，E)中的逝所有京边按资照权六值从艳小到暂大的厨顺序沙排序披，记勒为{e1,e2,…尿,en}；步骤2令E0={常Ø}；步骤3从E\E0={e1,…芳,en}中选父取权拾最小直的边e1，如养果e1同E0中的撤边不名构成傍圈，蔑令E1=作{e1}；13停4步骤4从E\E1={e2,…品,en}中选针取权裤最小颜的边e2，如雄果e2同E1中的纲边不仪构成询圈，漫令E2=依{e1,e2}；步骤5从E\Ei-1={ei,…负,en}中选括取权香最小装的边ei，如摇果ei同Ei-1中的骡边不仍构成身圈，变令Ei=乌{e1,e2,…次,ei}；13拦5步骤6从E\Ei={ei+1,…均,en}中选娱取权葱最小派的边ei+1，如迷果ei+1同Ei中的联边不塑构成勒圈，槐令Ei+1={e1,e2,…床,ei,ei+1}；步骤7重复仅上述盟步骤端，直归到集撞合Ei中的蜓边数排等于p(G)种-1为止赤。13仙6例v165524v3v5v6v4v24173某工假厂内旋联结挪六个详车间脊的道押路网结如上济图所顷示。笑已知静每条塔道路揪的长压，要乏求道繁路架而设联兆结六口个车融间的墨电话遵线网筝，使嚼电话龟线的快总长兆最小追。13狠7解：（1）把忆边按梦权值颈从小防到大链的顺最序排沸列：[v2,v3]=喷1，[v2,v4]=粗2，[v4,v5]=连3，[v5,v6]=倾4，[v4,v6]=否4，[v3,v5]=浇5，[v1,v2]=铜5，[v1,v3]=党6，[v2,v5]=负7，（2）E1={灵[v2,v3]}；E2={遣[v2,v3]，[v2,v4]}；E3={撇[v2,v3]，[v2,v4]，[v4,v5]}；13屿8E4={摄[v2,v3]，[v2,v4]，[v4,v5]，[v5,v6]}或E4={絮[v2,v3]，[v2,v4]，[v4,v5]，[v4,v6]}；因为[v3,v5]同E4构成莲圈，萄所以烘只能恨选[v1,v2]，从维而可已得：E5={禽[v2,v3]，[v2,v4]，[v4,v5]，[v5,v6]，[v1,v2]}或E5={替[v2,v3]，[v2,v4]，[v4,v5]，[v4,v6]，[v1,v2]}。因为挺边数趟等于5，从坚而停亭止寻境找。13纠9v165524v3v5v6v4v24173不能选，构成圈不能投选，谈构成美圈14奸0v165524v3v5v6v4v24173不能选，构成圈不能博选，驴构成设圈14陕1v1524v3v5v6v4v213v152v3v5v6v4v241314射2（2）破料圈法定理盐：图G的生穷成树T为最滋小树棕，当僚且仅度当对召任一奶弦e来说忽，e是T+e中与指之对乔应的庙圈中第的最快大权升边。14要3步骤1从图G中任矛找一她个树T1；步骤2加上仙一条兽弦e1，T1+e1中立孝即生捎成一树个圈接，去剖掉该捡圈中册最大卧权的泛边，爸得到豆新树T2，以T2替代T1；步骤3重复挎步骤2，检盾查剩嘱余的晒弦，药直到往全部桥弦（协共有q(G)蓄-p(G)讨+穷1条弦检）检郑查完鸟毕为黎止。14启4例v165524v3v5v6v4v24173某工秩厂内梳联结互六个肢车间饥的道抛路网端如上解图所话示。垦已知黄每条坛道路琴的长拜，要闭求道日路架涛设联劈燕结六眠个车集间的宵电话跪线网叔，使滔电话貌线的傻总长揪最小估。14冬5v165524v3v5v6v4v24173解：灭（1）利侧用广尚探法延寻找隔一个装树：（2）弦春数=q(G)-p(G)+室1=丛9-真6+孔1=改4；弦=鼻{拣[v2,v3],榴[v2,v5],辅[v4,v5],慎[v4,v6]泡}14机6（3）加仗弦[v2,v3]，得捧圈（v2,v3,v1），姻去掉关最大艘权边[v1,v3]；（4）加州弦[v2,v5]，得荷圈（v2,v5,v3），地去掉放最大惭权边[v2,v5]；（5）加伞弦[v4,v5]，得烫圈（v4,v5,v3,v2），系去掉冷最大香权边[v3,v5]；（6）加千弦[v4,v6]，得特圈（v4,v6,v5），野去掉葛最大召权边[v4,v6]或[v5,v6]。（7）所走有弦阻检查使完毕杠，从絮而得汉出最记小树龙。14始7v165524v3v5v6v4v2417314选8v165524v3v5v6v4v2417314吉9例海已知芽六大石城市A、B、C、D、E、F之间难的距宋离如南下表翁所示积，求涂联结篇六大会城市董的道伏路网略，使津道路回网的螺总长龄度最爆短。城市ABCDEFA×1351776850B13×60706759C5160×57362D777057×2055E68673620×34F505925534×15堆0解：冤利用遭避圈难法，旦将各跳城市递之间身的距骡离按龙照从编近到膏远的惜顺序铁排列魂，依梦次选挠择，绝直到纺边数工的5条停悔止。135023420BCDEFA36边数走已到竟达5，停秀止。15缺1四、聚根树郊及其掀应用1.定义（1）有灯向树若有次一个亲有向的图在冻不考载虑边棚的方兽向时蒜是一览个树舍，则尚称这波个有忠向图秀为有女向树定。（2）根偷树（幸外向念树）有向纪树T，恰除有一容个节促点入跌次为0，其助余各牛点入乖次均盼为1，则态称T为根慨树，牵又称风外向困树。15削2（3）根根树雷中，肉入次耗为0的顶敲点称其为根水。（4）叶根树肉中，涛出次犯为0的顶听点称帝为叶携。（5）分宋枝点根树扶中，盐除了醒根和杏叶之痒外的蚕其他赢顶点坐称为盒分枝缓点。（6）层裂次根树演中，派设所制有弧碎的权伸值均秀为1，则糕由根蒸到某祸一顶将点vi的路网的长圆度，得称为vi点的种层次袍。15络3例：v1v2v3v4v5v6v7v8v9v10v11v1215闭4v1为根沈；v2、v3、v4、v8为分独枝点论；v5、v6、v7、v9、v10、v11、v12为叶雀；v2、v3、v4的层捷次为1；v12的层蚊次为3。15肺5（7）m叉树根树别中，句若每庙个顶园点的赔出次籍均等酿于m或小嫂于m，称垃这样的的根取树为m叉树知。（8）完津全m叉树根树械中，岛若每尖个顶勾点的被出次溪均等给于m或等祥于0，称财这样很的根舞树为功完全m叉树盟。15夫6例：棋下图轰为一追个三依叉树侨，但鹅不是油完全莫三叉散树。v1v2v3v4v5v6v7v