管理运筹学Chaer线性规划问题的数学模型及相关概念

线性规划ChapterTwo：LP第一节线性规划的数学模型及相关概念现实中的线性规划问题及数学模型线性规划的标准形式线性规划的几何解释线性规划的基及基本可行解一

现实中的线性规划问题及模型例2-1

生产计划问题某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙、丙、丁四种产品。每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的时数如表2-1所示，试用线性规划制订使总利润最大的生产计划。产品甲产品乙产品丙产品丁1.51.01.5200080005000设备A设备B设备C单位产品消耗的机时数产品设备能力（小时）利润（元/件）

5.247.308.344.181.05.03.02.41.03.51.03.51.0一

现实中的线性规划问题及模型z产品甲产品乙产品丙产品丁1.51.01.5200080005000设备A设备B设备C单位产品消耗的机时数产品设备能力（小时）利润（元/件）

5.247.308.344.181.05.03.02.41.03.51.03.51.0决策变量目标函数函数约束非负性约束

x1

x2x3x4z=5.24x1

+7.30x2+8.34x3+4.18x4max01.5x1

+1.0x2+2.4x3+1.0x4

≤2000①s.t.1.0x1

+5.0x2+1.0x3+3.5x4

≤8000②1.5x1

+3.0x2+3.5x3+1.0x4

≤8000③x1，

x2，

x3，

x4≥0④一

现实中的线性规划问题及模型5求解这个线性规划，可以得到最优解为：

x1=294.12（件）x2=1500（件） x3=0 （件） x4=58.82（件）

最大利润为

z=12737.06（元）

请注意最优解中利润率最高的产品丙在最优生产计划中不安排生产。说明按产品利润率大小为优先次序来安排生产计划的方法有很大局限性。尤其当产品品种很多，设备类型很多的情况下，用手工方法安排生产计划很难获得满意的结果。一

现实中的线性规划问题及模型6例2-2

配料问题某工厂要用四种合金T1，T2，T3和T4为原料，经熔炼成为一种新的不锈钢G。这四种原料含元素铬（Cr），锰（Mn）和镍（Ni）的含量（%），这四种原料的单价以及新的不锈钢材料G所要求的Cr，Mn和Ni的最低含量（%）如下表所示：设熔炼时重量没有损耗，要熔炼成100公斤不锈钢G，应选用原料T1，T2，T3和T4各多少公斤，使成本最小。T1

T2

T3

T43.212.045.823.202.104.30CrMnNiG单价（元/公斤）

1159782764.531.123.062.193.574.271.764.332.73

x1

x2x3x4一

现实中的线性规划问题及模型z=115x1

+97x2+82x3+76x4min0.0321x1

+0.0453x2+0.0219x3+0.0176x4

≥3.20s.t.x1，

x2，

x3，

x4≥00.0204x1

+0.0112x2+0.0357x3+0.0433x4

≥2.100.0582x1

+0.0306x2+0.0427x3+0.0273x4

≥4.30

x1

+

x2+

x3+

x4

=100求解这个线性规划，可以得到最优解为：

x1=26.58x2=31.57x3=41.84x4=0

最大利润为

z=9549.87（元）一

现实中的线性规划问题及模型8例2-3

背包问题一只背包最大装载重量为50公斤。现有三种物品，每种物品数量无限。每种物品每件的重量、价值如下表所示：

要在背包中装入这三种物品各多少件，使背包中的物品价值最高。物品1物品2物品3

1017重量（公斤/件）价值（元/件）41722035

x1

x2x3一

现实中的线性规划问题及模型9z=17x1

+72x2+35x3max10x1

+41x2+20x3

≤50s.t.x1，

x2，

x3≥0且为整数求解这个线性规划，可以得到最优解为：

x1=1x2=0x3=2

最高价值为

z=87（元）一

现实中的线性规划问题及模型10例2-4最小费用流问题

某公司下设两个分工厂，两个仓库及一个配送中心。其中F1和F2是两个工厂，W1和W2是两个仓库。D是一个分销中心。由工厂生产的产品经由图所示的运输网络运往仓库。每一条路线运输的单位成本在线段上给出，其中，F1→F2与D→W2路线由于受到路线中的桥梁承重上限的要求，因此有最大运输量限制。其他路线有足够的运输能力来运输两个工厂生产的货物。需要制订的决策是关于每一条路线应该运输多少，目标是总体的运输成本最小化。一

现实中的线性规划问题及模型11例2-4最小费用流问题

900元/单位x6100元/单位x7最多80单位x4x5x2x3x1300元/单位300元/单位F1需求30单位W1生产40单位F2需求60单位W2200元/单位D最多10单位200元/单位400元/单位图2-1公司的配送网络生产50单位一

现实中的线性规划问题及模型12z=200x1

+400x2+900x3+300x4+100x5+3x6+200x7minx1

+

x2+

x3=50s.t.x1，…，x7≥0-x1

+x4=40-x2-x4+x5=0-x3+

x6

–x7

=-30求解这个线性规划，可以得到最优解为：（x1

，x2，x3，x4，x5，x6，x7

）=（0，40，10，40，80，0，20）

z=49000（元）-x5-

x6+x7

=-60x1

≤10，x5

≤80一

现实中的线性规划问题及模型可用一些变量表示这类问题的待定方案，这些变量的一组定值就代表一个具体方案这些变量称为决策变量，并往往要求它们非负有一个期望达到的目标，这个目标能以某种确定的数量指标刻画出来，而这种指标可表示为关于决策变量的线性函数，按所考虑的问题不同，要求该函数值最大化或最小化存在一定的约束条件，这些约束条件都能用关于决策变量的线性不等式或等式来表示一

现实中的线性规划问题及模型线性规划模型的三要素：决策变量：指模型中要求解的未知量，简称变量。目标函数：指模型中要达到的目标的数学表达式。约束条件：指模型中的变量取值所需要满足的一切限制条件。一

现实中的线性规划问题及模型线性规划的一般形式

一般LP模型的三类参数：价值系数c

j，消耗系数a

ij，右端常数b

i.s.t.max(min)

z=c1x1+c2x2+c3x3+…+cnxn

a11x1

+a12x2+…+a1nxn

≤(=≥)

b1a21x1

+a22x2+…+a2nxn

≤(=≥)

b2

…

am1x1+am2x2+…+amnxn

≤(=≥)

bm

xj≥(或≤)0,

或自由,j=1,2,…,n一现实睁中的线性角规划耳问题丑及模吴型16线性规划的向量和矩阵的表达形式记向量和矩阵则线性规划问题可以表示为：max（min)z=CX

s.t.AX≤(=≥)bX≥0二、墓线性骗规划咱的标竖准形凉式称以下线性规划的形式为标准形式max

z=c1x1+c2x2+c3x3+…+cnxns.t.a11x1

+a12x2+

…+a1nxn

=

b1(≥0)a21x1

+a22x2+

…+a2nxn

=b2(≥0)

…

…

…am1x1+am2x2+…+amnxn

=

bm(≥0)x1

,

x2,…

,xn≥0简记为：maxz=CX

s.t.AX=bX≥0(M1):

(M2):

二、猾线性历规划鼻的标辫准形溪式标准形式非标准形式目标函数maxmins.t.Xj≥0;bj≥0Xj<0,X无约束;bj<0约束方程为等式约束方程为不等式二、过线性谷规划揪的标贝准形对式非标莲准形LP问题竭的标单准化一、岸极小稼化目狮标函托数的新问题mi完n件z=CX令z′=－zma颠x尾z′=－CX例：mi著n铲z=3x1＋2x2ma柜x卵z′=－3x1－2x2二、控约束输条件洽不是期等式旗的问回题⑴bi<0两边救同时前乘以-1⑵约束遣为≤急形式挥加释上松弛梨变量⑶晃约赞束为霸≥形煌式想减去剩余训变量三、迎变量盗符号内无限两制或执小于横等于漠零的吵问题若xk为自由漫变量,令xk=xk′－xk〞且xk′,xk〞≥卡0若xk≤穴0,令xk=－xk′,则xk′≥荒0xzzzmi践nz=意-君zzma仅xx*二、柔线性尼规划逢的标醒准形抗式minz=2x1－

3x2＋x3

x1－

x2

＋2

x3

≤32x1＋

3x2

－

x3≥5x1

＋x2

＋

x3=4

x1

≥0,

x2

无约束，

x3

≤

0s.t.例2-5将下述LP问题化成标准形式解：令z′=-z

，x2=

x2′－

x2〞，x3′=

-x3

maxz′=

－

2

x1＋3

x2′-

3x2〞＋x3′

x1－

x2′+

x2〞－2

x3′+

x4

=3

2x1+3x2′－

3x2〞+

x3′

－

x5

=5

x1

+

x2′

－

x2〞

－

x3′

=4

x1

,

x2′,

x2〞,

x3′,

x4

,

x5

≥0s.t.二、辽线性崭规划泳的标音准形讯式21minz=

x1＋

2x2

－

3x3

x1＋

2x2

－

x3

≤52x1＋

3x2

－

x3≥6

－

x1

－

x2

＋

x3≥－

2

x1

≥0,

x3

≤

0s.t.解:ma准xz′=－x1－2x2＋3x3s.妥t.x1＋2x2－x3+x4=52x1＋3x2－x3-x5=6x1＋x2－x3+x6=2x1,x4,x5,x6≥狱0,x3≤0练习佩：将下漠述LP问题逐化成止标准棉形二、栗线性冤规划皱的标舍准形林式22令x2=x2′－x2〞，且x2′，x2〞≥誓0x3=-x3′代入必上式燃中，著得

maxz′=

－

x1－

2

x2′+

2

x2〞－

3x3′

x1+2x2′－

2x2〞+

x3′+

x4

=5

2x1+3x2′－

3x2〞+

x3′

－

x5

=6

x1

+

x2′

－

x2〞

+

x3′

+x6

=2

x1

,

x2′,

x2〞,

x3′,

x4

,

x5

,

x6

≥0s.t.三、淘线性济规划建的几惕何解渔释23只有数两个遮变量妹的线快性规鬼划问衣题X*=(4,6)Tz*=421°画出庙可行倘域图殖形2°画出钻目标脾函数庆的等值修线及潮其法百线3°确定维最优衡点例

max

z=3x1+5x2

x1

≤

8

2

x2≤

123x1+

4

x2≤

36

x1,

x2

≥0s.t.x1x2O(0,0)x1=狭8A(跑8,0)2x2=疯12D(死0,6)3x1+4x2=顶36O(0,0)x1x2RD(0,6)C(4,6)B(8,3)A(8,0)z汁=镜15z副=撕30z法向z*谢=匀4耳2边界住方程三、虹线性速规划蔬的几钉何解件释几点说蓬明实际研运用株时还陡须注锯意以勉下几酒点:(1绩)若函很数约保束原角型就柔是等俱式,则其搞代表学的区芒域仅动为一优直线,而且送问题的瞧整个就可行践域R(若存债在的裂话)也必吹然在蒙此直倘线上驶。(2释)在画岔目标业函数络等值砌线时浩只须降画两经条就梦能确梨定其直法线乘方向,为此,只须份赋给z两个叉适当绩的值章。(3抹)在找膜出最侍优点面后,关于绪其坐帅标值酷有两姓种确层定方献法:①在图转上观朝测最企优点半坐标去值②通过莫解方谅程组僵得出芹最优浊点坐会标值24三、盐线性伏规划架的几必何解却释几种可能以结果一、贼唯一饶解如例1、例2都只演有一林个最优橡点，盒属于捏唯一隙解的滩情形。25s.t.max

z=3x1+4x2

x1≤82x2≤123x1+4x2≤

36

x1，x2≥0

二、多重快解z枪=齿12z*曾=羡3窄6线段BC上无届穷多御个点均地为最昏优解腐。O(0,0)x1x2RD(0,6)C(4,6)B(8,3)A(8,0)三、被线性鸽规划这的几海何解捡释26x1x2z*三、是无界遇解3694812x1x2R2R1∩R2=Ø四、艺无可治行解+∞R1三、隙线性栋规划疼的几千何解吓释相关沫定义定义2-制1可行雷域在n维空慢间中计，满丽足条孩件ai1x1+ai2x2+…+ainxn≤(=胜≥悼)bi且xj≥熔0的点阀集。27O(0,0)x1x2RD(0,6)C(4,6)B(8,3)A(8,0)三、罩线性兔规划燥的几气何解董释28定义2-芬2凸集设S是n维空骄间中休的一母个点抖集。偿若对宿任意n维向痰量X1S，X2S，且X1X2，以向及任甲意实胜数（0丙1），洋有X=X1+(现1-)X2S则称S为n维空姑间中钩的一吩个凸糖集（Co留nv者ex斩S推et）。启点X称为帆点X1和X2的凸更组合。凸集黄：非凸尾集：三、服线性协规划偶的几齐何解具释29定义2-台3凸集申的极服点设S为一赵凸集参，且XS，若X不能轰用不窜同的宴两点X1S，X2S的线冤性组注合表额示为X=X1+(育1-)X2（0弟1）则称X为S的一基个极傍点。运用役以上福的定俭义，沟线性热规划隔的可爽行域辛以及狂最优缓解有廊以下轰性质雅：（1）若敞线性表规划鄙的可初行域功非空耐，则度可行庄域必岔定为担一凸县集。（2）若使线性复规划森有最闭优解翼，则转最优陈解一嚷定可屋以在蚁凸集幅的极愤点中四找到曲。这样虚，求尖线性擦规划美最优艳解的隔问题卫，从砌在可群行域曾内无轨限个稼可行老解中娃搜索签的问掘题转敞化为卖在其才可行很域的伍有限跌个极葵点上致搜索透的问叮题。四、接线性枣规划宇的基懒、基导本可莲行解可行券解满足雅线性惑规划至问题矿所有汉约束橡条件既的一兼组变任量的鸭取值胀，称活为线棍性规饶划问表题的钞可行途解。庙可行蚀解的洲集合施称为长可行粮域。最优惯解使线主性规亡划问连题的坚目标撞函数复达到鞭最优俱的可李行解葵称为密最优片解。四、宇线性丘规划销的基迹、基技本可森行解定义2-近4线性绒规划只的基设A为约养束方浊程组蛛的m×n阶系潮数矩壁阵（n>孤m），体其秩统为m，B是A矩阵贯中的劫一个非奇退异的m×涝m阶（拔满秩璃）子促矩阵禽，则缺称B为线械性规产划的框一个基。与其驳中的忆列向窝量所受对应茂的变士量叫牵做基变锣量，除瞒基变不量之拖外的孩变量洞称为非基灿变量。四、版线性室规划恢的基乏、基项本可劫行解定义2-问5基本页解令所婚有的橡非基涉变量巧等于洞零，班根据Cr哀am终er束R脂ul明e，将盗得到恒唯一傲解，矮称为扶线性盏规划顾的基芒本解跳。基本嘉可行吸解满足弊非负忍约束典条件冶（XB=B-1b0）的基酬本解扭称为构基本脂可行妨解。印相应榆地，段基本完可行稼解对券应的茧基称伍为可行深基。-33-Ma臣x笔z需=2询x1+3会x2st碍.志x1+x23禁x1+2问x24语x1,x20Ma笨x膝z朴=2漂x1+3麦x2+0问x3+0欣x4st蓝.拘x1+x2+x3=3副x1+2姐x2+x4=4乓x1,荣x2,攻x3,凑x40A=x1x2x3x41震1植1殊01矩2辈0消1可行嘴解：X=殿(0，0)T，X=素(0，1)T，X=倦(1吹/2，1/而3)T等。设B=1跑00植1，令，则|良B欢|=徒1≠0,令x1=x2=0，则x3=3粉,纯x4=4，X=孩(0焰,0狂,3慕,4孔)T例：x3x4——基变奏量令B=1搁11广0x1x3，则令x2=x4=0，则x3=-物1,紧x1=4，X=那(4夕,0条,-朝1,芹0)T|满B躺|=态-1≠0,——非基费本可筑行解——基本骡可行取解标准欺化四、共线性手规划温的基刚、基燃本可怠行解四、旱线性肌规划窃的基先、基垒本可迅行解定理2-番1线性赏规划愁的基碑本可穷行解嚼就是弦可行岭域的浸极点当。34Ma当x做z算=2死x1+3娇x2s.秧t.封x1+x23当x1+2捏x24悄x1,x20Ma罢x冷z对=2