第二讲：主观概率

第二讲：主观概率

主要内容：1.概率的基本概念2.先验分布及其设定3.设定主观概率案例1.概率的基本概念1）概率（1）频率与概率为了描述随机事件发生的可能性大小，人们通常进行随机试验并观察试验结果。在相同条件下进行了n次试验，其中事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数，比值称为事件A发生的频率，记作。

即古典的概率（probability）的定义如下：（2）Laplace的概率定义Laplace（1812）把事件A发生的概率定义为：其中，k为事件A中所包含的基本事件数量，n为基本事件的总数。显然，上述定义的适用条件是：①基本事件的数量有限，即试验的样本空间；②每个基本事件都是等可能的，即

（3）概率的公理化定义Kormogorov在1930年的著作中给出的概率的公理化定义。

定义2.1E是随机试验，S是E的样本空间，对E的每一事件A，对应有确定的实数p(A),若p(A)满足：①非负性：0≤p(A)≤1;②规范性：p(S)=1;③可列可加性：对两两不相容事件(两两不相容是指)，有

则称为事件A发生的概率。以上所述的几种概率的定义中有一个共同的特点，这就是概率是在多次重复试验中，随机事件A发生的可能性的大小的度量。而在实际的决策问题中，自然状态的概率往往无法通过重复试验求得，通常也并不包含等可能的基本事件。例如，在出门是否带伞的决策问题中可能会遇到明天是否下雨，项目申请问题中的中标可能性，以及在实际决策中经常遇到的明年国民经济增长率的分布、战争中对敌方下一步行动的估计等等这样广义的自然状态，这些状态或事件显然是无法重复试验的，其中也没有所谓的基本事件。有些问题虽然不是完全不能重复试验，但由于种种原因，实际上不能施行。例如洲际导弹的命中率，虽然在原则上可以通过相同条件下的重复试验获得，但是每次试验费用过于昂贵、代价过大，实际上不可能多次重复试验。在以上各种情况下，前面提到的三种概率的定义均不适用。由于上述原因，需要有一种能在频率观点不适用、实际上无法进行随机试验时设定概率的方法，这就是主观概率（subjectiveprobability）；与此同时，把上面三种定义所规定的概率称为客观概率（objectiveprobability）。2）主朗观概挽率根据Sa爽va很ge（19射54）的呜观点银，主观穿概率厘是一隆种见押解，拖是合窑理的旷信念冤的测异度。它炭是某人信对特两定事饮件会辟发生豆的可其能性罚的信威念（输或意碌见、偏看法压）的拉度量植，即伟他相驾信或恒认为碑事件制将会查发生译的可源能性弊的大喘小。这种弯相信于的程塞度是赢一种圈信念尝，是主握观的，但又是项根据克经验单、各职方面套的知款识以愈及对美客观详情况裙的了得解，类利用由相关姐信息交进行谁分析明、推划理、历综合夏判断而设定（As财si缎gn悦me飞nt）的欺，与眨主观魂臆测穴不同雾。例如冬，一麻个即蠢将毕岔业的纲硕士瞎生考争虑下月一步饲去向绍的时花候，让面临盈着就蹄业还泥是继大续深泊造（蜻考博秃士生绒）的惨选择覆。而膜是否环考博夏士生会在很屡大程乔度上齐取决酿于被怒录取胳的可鸭能性藏大小伏。这矿种考惹博被红录取穿概率帆的设梅定显块然是值主观膛的，铲但也丢不是旗随意收的、农毫无跟根据瞎的，橡获得砌的相奖关信且息越写多、幅越准掏确，绣设定光概率司也越马可信雾。又比楼如掷岔硬币慌，稍兼有常找识的比人都鹅知道终，只忠要硬拍币是爽均匀巾的，弟无需钥多次耽重复俱试验棋，也桨能判筐断正掘面朝花上的辆概率笔是二毙分之庭一。布又如破，抛怀一枚牵图钉侄，它泉落地篇并最哭终静草止时月可能农针尖孝朝上颗，也君可能园针尖倾朝下糟。要求伐一群赌学生匆估计元针尖拐朝上般的概乎率，得虽然骄这些火学生半事先舟都没测有抛但过图科钉，船但是择大部款分学咳生都界认为族针尖威朝上刺的概假率大节于二口分之摘一，渡众数致在0.秤55俭~0告.7之间帽。许本多人矿是凭初直觉木判断述的。绕试验谷（抛练掷10食00次以杯上）指的结驶果是幼针尖营朝上藏的概昌率略爷大于0.岂6，也梁就是恶说，欧即使恭凭直盛觉也惯可以亦作出骡相当寸不错难的概两率估不计。3）概添率的灭数学挂定义定义2.文2对非咬空集Ω=｛ω｝，F是Ω的子废集A所构勇成的σ-域，臭即F满足创如下趋条件扎：①Ω∈F；②讲若拦则麻；③稻若柳则岁。若艳是定定在F上的词实值况集函呜数，鲜它满只足：①枕非负更性界；②断规范璃性插；③楚可列妥可加跨性齿，若微为两闪两不储相容顷事件租，则则淘称为熊事件A的（深主观吃或客见观）督概率拒测度彩，简谷称概屋率。上述屯定义始中，ω为基饰本事厦件，A为事张件，潮三元鸟总体证（Ω，F，P）则围称为扇概率扁空间令。需要垄注意摸的是更，定义2.泻2既适肿用于踢客观仗概率容，也忽完全脚可用贪于主技观概休率，云即两创者有梦着完车全相狮同的械数学甜定义。因扯此，由客违观概浆率论磁者发害展起犁来的吨概率授论的灶整套杠推理嫌和计概算方葛法，拾也都添完全腿适用歉于主下观概赤率。4）主露客观沉概率骆的比籍较（1）基本测属性客观达概率魂论者灯（以威下简他记为O）认围为：概率经是系暖统的兆固有邮的客把观性梁质，狡是在插相同雪条件泊下重干复试响验时梢频率带的极急限。主观郊概率榜论者乔（以匪下简馅记为S）认换为：概率因是观食察者堵而非唤系统塌的性涂质，家是观遗察者漫对系巾统处英于某臂状态王的信选任程简度。（2）抛硬帜币：正面岭向上防概率叫为1/犹2。O：只要旱硬币很均匀苏，抛慕法类徐似，夹次数惧足够舒多，讯正面桑向上彻的概拳率就睛会是1/符2，这济是简朋单的油定义。S：这确禾是定造义，蓬决策掌人认倾为硬膜币是迷均匀歪的，萍正、朝反面盗出现废的可奔能性(似然猴率)相同橡，是泉个主牲观的雨量。（3）下次猾抛硬爸币出佣现正泥面的反概率标是1/符2。O：这种节说法摔不对守，不毙重复鼠试验踩就谈晓不上项概率。S：对决热策人丹来说肃，下悉次出搅现正当、反纲是等陕可能隐的。专但这甜不是详说硬吃币本坡身是兆公正挨的，偏它可香能会罗有偏砍差，渐只是巡寿就他势现有习知识陕而言旗，没舱有理氏由预眼言一扶面出迎现的坏可能苗会大韵于另沙一面征，但微多次狮抛掷茎的观豪察结检果可段以改跌变他鱼的信针念。O、S：下次之抛硬直币出映现正乓面还证是反子面不京能确磁定，沟但知汤道：抛要么貌是正怎面，瓦要么昏是反腥面。由于柄历史末原因声，客夏观概庆率论弃者习顷惯使脸用概率（pr祖ob悲ab万il来it辱y）一青词，滥采用兵记号食表示烈自然剃状态络的概榆率；婚而主积观概饰率论翅者习半惯用似然适率（li般ke阴li祖ho啦od），宣采用峡记号贿表示罩自然尼状态毁的的聋似然舟率。2.先验瞒分布念及其泛设定在决拜策分兰析中芹，尚未缠通过别试验暗收集露自然誉状态系信息时所纲具有嫂的信血息叫拥先验亩信息格，由哀先验川信息祸所确释定的淡概率奔分布方叫先鸣验分塔布（Pr谊io话r炭di逢st袜ri呼bu鞭ti帆on）。设定忠先验写分布舅是贝羞叶斯册分析才（Ba庙ye出se励anan距al树ys单is）的棋需要税。1）设定呈先验里分布更时的犬几点餐假设对许姻多领谦域的呆实际眠问题愉，设跟定在相关例的域谨上的立事件映的概钻率分玩布对于颤这些鸭领域嚷的专业俯人员来说缸已经届是常规锈性和狐标准跑化的奴工作。这果种赋竹值通或常是模型眯与经绣验相半结合，而貌且许多宋典型叉的问泉题有长其相馆应的世概率寇模型，如超二项许分布戚、正发态分串布、安泊松等分布宗等可报以使雹用。在概摄率论如教材冤中，匠对丛于一夕定类扇型问破题应塞该采钉用哪登种特歌定的消概率炼分布竟，有咏着广潮泛的趣一致叨意见群，因的此有棋许多盯问题粒可以浩迅速验而客钟观地惕赋以长适当格概率斜。而昂对那促些不具溉备典顽型特芹征的缓事件，要支让两吗个人造就同代一个锈特定张的概银率分茧布的递适用膛性取柜得一尘致意稳见通节常都男十分垃困难贿，这涉时概柴率的准设定坦就有高度拉的主均观性。由于在实挺际的饮决策馅问题粗中所灿遇到厨的概洽率的泻设定脆大部缎分属听于后肾者，这轮里主驻要讨摇论在屋这种肾情况伐下如渠何设誓定概庙率（权即似皱然率堤），脱并在砖设定堵似然刺率时卵充分骡反映分决策黎人拥依有的像信息释和信偏念。为了夺讨论替方便猜，我胜们先免引入饶几个辞记号镜：箩、拿和厉。读作这“事件A发生骨的似后然率李大于骄事件B发生咐的似枯然率”；读作型“事件A发生单的似虏然率凤与事构件B发生维的似布然率钓相当”；读作犹“事件A发生旅的似渔然率茧不小电于事烤件B发生撕的似井然率”。假设2.网1（连通谅性(c食on诸ne路ct荣iv继it购y)假设腹，又妖称可晃比性(c较om倍pa扫ra朴bi键li旦ty杀)假设）是休指事归件A和B发生惨的似意然率浆是可煤以比尸较的轻，即肯或或傻必有丙一种曾也仅娘有一棉种成蜘立。假设2.已2（传递汁性(T淘ra桨ns掀it滨iv说it毕y)假设）若会对事引件A、B和C，背，爹，索则假设2.吃3（部分炎小于惑全体）若弃事件A是事碌件B的一睁部分鸟，即B包含A，记球作游，则义事件B发生西的可捎能性牙不会示小于甜事件A，即假设2.秋4若犯是离止散的畏事件劳序列役，B是某颤个固姜定事斥件，据且对僵任意i有悦，伴则假设2.永5在[0，1]区间顷存在拖均匀需分布丢的随舟机变船量。Sa矮va场ge（19栏54）指旗出满驻足：假设2.晒1~铅2.醒5就可宫以保非证概层率分宿布的已惟一垃存在收性。在晕实际香设定恋先验吵分布幕的时逼候，追注意满足陷前三睛条假余设就裕可以了，糕分析邪人员沫的注醒意力障应该兰放在项量化熟决策饶人的涂“信确念”蒙的准册确性恭上。2）离价散型抛随机贵变量澡先验壶分布密的设帖定（1）对各激事件巷加以众比较炒确定柱相对押似然同率。示例1某人印考博枝士生常被录例取的币概率。示例2某个恳农民郊为了诊确定究当年迅种植持作物挂的适晨宜品视种，岸需要锤判断群当年其的气旷候状扇况。（2）打赌件法设事件E发生耕时收撕入，其销中的1代表邀某个言适当徒的数丹值的批钱，领例如10章00元或10径0元，佣不同便的决台策人垫可以旁取不禾同的脖值，匪这一思数值锋与决推策人阿的财鹊产相更比是树一个叨小数击目，循以保证臂在此名范围膨内对掀决策族人的宗实际凡价值酸接近婆于线毒性；设E不发避生即辰发生何时收领入为海。调调整p值，奥使决皱策人芬感到选两者撑无差奴异为稍止，踩则为了熔帮助浙决策节人量化随机菜事件站的主让观概抱率，牌可以戚借助振于概况率盘椒，其号形状哑如下众图。主观予概率族待定肺的抽葡奖概率耍盘正留面概率谋盘正厘面分揭为红彼、兰蕉两个凳扇形千区，狮扇形舞区的告面积毙可任满意调务整；朝反面命有刻相度指立示红毙色扇它形区处占整薯个圆爸盘面帐积的拐百分内比。牲使用忘时调粗整红咳色扇誓形区服域的励大小赤，直缝到决宜策人逢认为慢它与废右图饺抽奖掘中后这果E发生为的概忆率相支等为亡止，狂这时针概率更盘反德面的砌刻度广值就接是决趴策人茎心目钟中后吓果E发生榜的概牙率。2）连身续型跟随机箭变量洁先验士分布教的设痒定（1）直方腥图法。这种裙方法个适用顶于自爪然状蛮态的汤取武值是棚实轴餐的某豆个区虫间的刻情况科。具寇体步剂骤是忧：①秧将区稳间离堂散化框即把余的煎取值尝范围拒划分序为若脊干个瓣子区庸间萝；②蓝赋值些：设订定每婶个子员区间邻的似负然率并根限据恩作出庙直方佣图；③祸变换闪：把陆直方反图变粱换成倚概率绵密度鸽函数驴曲线匠。示例3明年笑国民品经济挖的增筛长率霸的设市定。直方危图法抖的主眨要缺筛点是奖：①瘦子区吩间的达划分店没有匆标准剥，可听以只近分成秒两三穗个子槽区间瞎，也促可以穿分成腾十多鼻个子咏区间袭；子唤区间赏划分吧的数甘量不泻同，桶最后军拟合眠所得进到的磁概率五密度蛛函数睬曲线叨往往舱会有梨比较杰大的摊差异见；②羡确定胆每个课子区司间的亲似然猛率很尝不容女易，监在子臭区间蛾数量堵较多漂时尤筝其困苗难；③方拟合痕所得女的概补率密撇度函挣数通董常尾逗部误往差很犁大。（2）相对洽似然葡率法该方劲法是病为了京克服赔直方柏图法犹的缺额点之捞②而柱提出桥的，狐它的孙适用父范围败与直音方图煤法相些同。搞具体震步骤浊为：①离散宫化与直年方图挑法的偶第一恐步相辰同，他将随万机变饥量的捷取值所范围婶划分打为若钩干个众子区旨间，态但是司由于爷其赋筝值比浑直方鸽图法铃容易筛，子魄区间翻可以袜多些嚷；②赋值为各斜子区爆间赋税值的颜方法稳有两怠种：a）选灭定一幅个似程然率战最大季的子取区间弓作为掘基准服，设宴基准攻区间循的相君对似秧然率瞎为（或锦者取1、10举0等，议视决蛋策人瘦的习临惯而烤定）壳，然靠后给溜出其深他各摔区间福似然阻率与例基准勾区间羽似然饲率的拉相对废比值庙，咏即b）由崇决策谨者给社出每很二个殿子区搂间似嫂然率箭的比元例关牛系：③规范肠化对赋守值法a)：(2虚.4预)对赋梢值法b)将糠记叶作唱，很则若决朵策人循所给稳出的坏准轻确无压误，炊则应有(2其.5裤)(2盒.6嘴)在上娘述条盈件满蒙足时念，令则(2代.7换)如果禽决策棉人所企给出拨的有喉误差瞧，式(2约.6硬)不成粗立，店可用液最小奔二乘吹法估括计决释策人喂心目县中真林正的拢主观随概率位分布误。为害此需厘要求枣下面欣的规美划问借题的密解。(2旗.8始)示例4明年慢国民趴经济淘的增椅长率碰的设酒定。（3）区间商对分论法区间拾对分午法的援适用彻范围输比前帮面介覆绍的怎两种夺方法其要广岁，它现可以洁用于械随机犁变量罚的取楼值范次围是查开区尼间的贩情况谷。具铲体步肯骤是蔬：①俱求中位度数②缓确定吊上、康下四分馆位点(q财ua啄rt愁il田efr版ac峰ti贸le)③由于您误差手积累,最多萍确定八分械位点(E述ig险ht叨hfr剃ac啊ti齿le)这种扇方法锹的优糕点是救简单加易行姓，对恐决策片人的读要求休不高朱；主许要缺塘点是鸟精度吨差。（4）与给瓣定形糠式的街分布男函数皮相匹构配选择扮一个土与先愈验信损息匹天配得搬最好冶的分励布函若数，慎如均西匀分说布、冤二项鼓分布真、正椒态分的布、恨泊松倚分布废、-分布烛、指先数分计布、墓柯西渠分布榜等等帖。常用成的分肢布函俯数选最择方狱法有仙：①浑在单计位时劫间以恒常撒的平睁均比榨率出映现，则系在时蹈间长痕度单跳位内张该事折件出糊现的芳次数木服从Po惨is驶so控n分布；②眠若影响马某一短随机激变量拼的因称素很虹多且每一惩因素奏的作沟用均蝴不显朋著，则魄该变渣量服受从正态倍分布。例掏如，辫测量诵误差伐，弹润着点白，人卫的生候理特悉征的寻度量废，农愿作物茎产量沟等均将服从近正态繁分布轨；③使每次榨随机凶试验讨中事玩件A出现护的概痰率为p，n次独振立试叉验中羞事件钱出现r次的叼概率负服从二项丸分布，即剧；④同如果平随机买变量肢落在艰在某语个区奥间中塘任意炒等长自度的滤子区下间内休的可扑能性丙相同报，则辆它服唐从均匀屈分布；…在根郊据随北机变侄量的定特征磨选定淡适当旱的分纳布函岩数后云，重荐要的蛾工作熊是估计假参数。例呢如对披正态婆分布杯，只跃要估拐计先意验均时值(一阶叨矩)和先风验方僵差(二阶蹲矩)。但群是估斥计这齿些参鹿数是饮一项满不确贿定性奏很大翅的任阔务，孤关键旺在于轨概率胁密度父函数疫的尾壮部估阅计不液易准郊确，此而尾铅部的篇很小欣的误称差会灶对矩脉产生历很大复影响轻。其够他典摇型的色分布间函数救也有燃类似编的问走题，舟在处叮理无土界的检或很凶大的后参数豆区间桂时，蛙这一撕问题校尤其甩严重泊。对概苹率密普度函仪数的胜尾部装即小列概率举事件击的似镇然率匠的估窗计，经一般宏不宜坏让决裂策人零直接附赋值赞，而劈燕是要探采用离适当毫的措畏施。爱比如恢，选择桌某个国概率砌已知懂的小姿概率赤事件班作为荒基准。抛翁掷硬蜜币连正续10次出桶现正卖面的石概率涛约为泪千分壮之一北，以造此作由为基画准，射让决腹策人跃比较兆待设袜定的雄事件但的似玩然率潜与这怖一基废准事嫩件的刘概率钱，再芬根据宗决策眼人的结判断洗计算乔出待计设定绵的事凤件的苦似然演率。用这葱种方失法所烧得的抬结果群比直迈接赋遇值要锁准确插得多兴。有汤时小铃概率曲事件底是在贪其他避一系齿列事征件发卫生的偿条件朽下才圆会发撤生，就如果述这一挖系列耻中间拐事件政并不痕是小妇概率窑事件糟，则谣可以旅由决誉策人街估计守这一朵系列厦中间钞事件文发生术的似农然率仇，再沙通过水计算币获得姻小概洞率事导件发泰生的壁似然枯率。确定柿先验保概率具密度宴函数叼的参播数的闷比较圈好的伪方法躺是分俩位点干法，劫由决鱼策人俊主观娃地估交计先肿验分娱布的男几个著分位恼点，食再选状择适子当的纽奉分布豪函数善形式肺使所熟得到佣的概宴率密买度函初数与苍这些济分位缎点尽趟可能框匹配厨。由口于只凯要主麦观地节估计献若干窑个不躁同区友间的死概率装，并摆有许孩多现侨成的惹概率云密度酷函数翼分位旧数表瓶可供搜利用尸，因故此这拨种方收法比堂矩法湿容易喊使用膊。需要糠注意辽的是歌，自具然状宰态的辉概率希或概蜡率分使布不品是也档不应沿当由夕决策渔分析尽人员梦来设谋定，侦而应登当由泊决策佛人和咬有关饮问题帅