2023学年完整公开课版随机模拟

一、知识回顾

大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)大数定律阐述了随着试验次教估计概率P(A).

用频率估计概率,需要做大量的重复试验.有没有其他方法可以替代试验呢?二、探究新知

随机教与伪随机数例如我们要产生0～9之间的随机整数,像彩票摇奖那样,把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中，充分搅拌后摇出一个球，这个球上的号码就称为随机数.计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质.因此，计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数.

我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数.实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.二、探究新知

又如，一个袋中装有2个红球和3个白球,这些球除颜色不同外没有其他差别.对于从袋中摸出一个球的试验,我们可以让计算器或计算机产生取值于集合{1，2，3，4，5}的随机数，用1、2表示红球，用3、4、5表示白球.这样不断产生1～5之间的整数随机数，相当于不断地做从袋中摸球的试验.

例如，对于抛掷一枚质地均匀硬币的试验，我们可以让计算器或计算机产生取值于集合{0，1}的随机数，用0表示反面朝上，用1表示正面朝上.这样不断产生0、1两个随机数，相当于不断地做抛掷硬币的试验.

蒙特卡洛方法是在第二次世界大战期间兴起和发展起来的，它的奠基人是冯•诺依曼.这种方法.在应用物理、原子能、国体物理、化学、生物、生态学、社会学以及经济行为等领城中都得到了广泛的应用.三、蒙特卡洛方法

下表是用电子表格软件模拟上述摸球试验的结果，其中n为试验次数，nA为摸到红球的频数，fn(A)为摸到红球的频率.n102050100150200250300nA6720456677104116fn(A)0.60.350.40.450.440.3850.4160.39

利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.fnn102050100150200250300例1从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生在一月，二月，…，十二月是等可能的.设事件A=“至少有两人出生月份相同”，设计一种试验方法，模拟20次，估计事件A发生的概率.四、典型例题解：方法1

根据假设，每个人的出生月份在12个月中是等可能的，而且相互之间没有影响，所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验.因此，可以构建如下有放回摸球试验进行模拟：在袋子中装入编号为1，2，…，12的12个球，这些球除编号外没有什么差别.有放回地随机从袋中摸6次球，得到6个数代表6个人的出生月份，这就完成了一次模拟试验.如果这6个数中至少有2个相同，表示事件A发生了.重复以上模拟试验20次，就可以统计出事件A发生的频率.方法2

利用电子表格软件模拟试验.在A1、B1、C1、D1、E1、F1单元格分别输人“=RANDBETWEEN(1,12)”，得到6个数，代表6个人的出生月份，完成一次模拟试验.选中A1、B1、C1、D1、E1、F1单元格，将鼠标指向右下角的黑点，按住鼠标左键拖动到第20行，相当于做20次重复试验.统计其中有相同数的频率，得到事件A的概率的估计值.

下表是20次模拟试验的结果.事件A发生了14次，事件A的概率估计值为0.75，与事件A的概率(约0.78)相差不大.例2

在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中,运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4.利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率.解:四、典型例题设事件A=“甲获得冠军”，事件B=“单局比赛甲胜”，则P(B)=0.6.

用计算器或计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1、2或3时,表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6.由于要比赛3局,所以每3个随机数为一组.例如，产生20组随机数:

用随机模拟的方法得到的是20次试验中事件A发生的频率,它是概率的近似值事件A的概率的精确值为0.648.423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354相当于做了20次重复试验.其中事件A发生了13次,对应的数组分别是423,123,423,114,332,152,342,512,125,432,334,151,314,用频率估计事件A的概率的近似为=