第01讲平面向量的概念与运算（6.1平面向量的概念+6.2平面向量的运算）(解析版)

第01讲平面向量的概念与运算目录高频考点1：向量平行与共线定义高频考点2：向量加法（减法）及其几何意义高频考点3：平面向量共线定理高频考点4：三点共线充要条件高频考点5：向量的数乘运算高频考点6：平面向量的数量积①平面向量的数量积（定义法）②求模③求夹角④投影高频考点1：向量平行与共线定义典型例题例题1．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学高一期中）命题：若，则，则命题为_______（填写：真命题或假命题）【答案】假命题当向量时，若，可得；当向量时，若，则与不一定共线，所以命题为假命题.故答案为：假命题例题2．（2022·全国·高一专题练习）设是的相反向量，则下列说法错误的是（）A．与的长度必相等 B．C．与一定不相等 D．是的相反向量【答案】C根据相反向量的定义可知，与的长度必相等，相反向量为共线向量，故A，B正确；当与都为零向量时，它们是相反向量，此时相等，故C错误，是的相反向量，则是的相反向量，D正确，故选：C.核心知识点（1）方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（又称平行向量）.（2）规定：与任何向量共线.在遇到平行（共线）向量时特别注意，考试容易忽略而导致错误.变式训练1．（2022·湖北·高一期中）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B时一定有，必要的，但时，两个向量不一定平行，如零向量与任意向量都平行．不充分．应为必要不充分条件，故选：B．2．（2022·全国·高一课时练习）已知命题“若，，则”是假命题，则__________.【答案】若，，则是假命题，则，，当时，，，当时，，，所以命题“若，，则”是假命题，则故答案为：高频考点2：向量加法（减法）及其几何意义典型例题例题1．（2022·内蒙古包头·高三期末（文））已知分别是的边､､的中点，且，，，则下列结论中错误的是（

）A． B．C． D．【答案】B解：对于A选项，，A正确.对于B选项，，B错误对于C选项，，C正确.对于D选项，，D正确.故选：B例题2．（2022·湖南·长郡中学高一期中）如图为正八边形，其中为正八边形的中心，则（

）A． B． C． D．【答案】A因为，所以，故选:A.核心知识点（向量的加减，注意向量的指向）（1）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.（2）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.（3）向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量变式训练1．（2022·四川省科学城第一中学高一阶段练习）如图，正六边形中，则（

）A． B． C． D．【答案】D由已知，ABCDEF为正六边形，所以，,所以.故选：D.2．（2022·江西宜春·模拟预测（文））如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C在平行四边形中，，所以.故选：C3．（2022·全国·高三专题练习（理））如右图，在平行四边形中，是中点，为与的交点，若则用表示（

）A． B．C． D．【答案】B在平行四边形ABCD中，,故,所以,即,,故，故选：B高频考点3：平面向量共线定理典型例题例题1．（2022·广东·华南师大附中高一阶段练习）如图，在平行四边形中，，为的中点，为上的一点，且，则实数的值为________.【答案】由题意，，，又，，三点共线，则且，所以，又，所以，解得，.故答案为：.例题2．（2022·全国·高一课时练习）如图，经过的重心的直线与分别交于点，，设，，则的值为________．【答案】3解：设，由题意知，，由P，G，Q三点共线，得存在实数使得，即，从而消去，得．故答案为：3核心知识点（1）向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.（2）设是同一平面内的两个不共线的向量，若，则.（3）、、三点共线规律：已知三向量起点相同，则终点共线系数和为1.(4)、、三点共线(是直线外任意一点）()变式训练1．（2022·山西·高一期中）在平行四边形中，为的中点，若，，则______．【答案】2如图所示延长AD，BE交于点P，∵，，E为CD中点，，又P，B，F三点共线，则，∴．故答案为：22．（2022·广西玉林·高一期中）已知、、三点共线，对该直线外任意一点，都有，则的最小值为_______【答案】16由题意，A、B、C三点共线∴存在实数λ使得从而有而所以则当且仅当,即时取等号．因此的最小值为16．故答案为：16．高频考点4：三点共线充要条件典型例题1．（2022·全国·高一单元测试）在中，，，若与线段交于点，且满足，，则的最大值为_________．【答案】2∵线段与线段交于点，设（），则，即，又∵、、三点共线，则，即，∵，∴当为中点时最小，此时最大，又，故此时，∴，即，即的最大值为，故答案为：2．2．（2022·全国·高三专题练习（文））在中，点为线段上任一点（不含端点），若，则的最小值为___________.【答案】12解：∵，且点F在线段上，则，且，则，当且仅当时等号成立.所以的最小值为12.故答案为：12核心知识点（1）、、三点共线规律：已知三向量起点相同，则终点共线系数和为1.(2)、、三点共线(是直线外任意一点）()变式训练1．（2022·全国·高三专题练习）中，为上的一点，满足若为上的一点，满足，的最小值为______.【答案】由，所以，，又因为三点共线，所以，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为，故答案为：.2．（2022·全国·高三专题练习）在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交直线于点，且，，若的最小值为，则正数的值为___________【答案】因为点是的三等分点，则，又由点三点共线，所以，所以，可得，所以，当且仅当时，等号成立，即的最小值为，则有，即，所以，因为，所以，故答案为：.3．（2022·湖南·长沙一中高一期中）如图，中点是线段上两个动点，且，则的最小值为______．【答案】8设，，，，，共线，，．，则，点，是线段上两个动点，，．则的最小值为．故答案为：．高频考点5：向量的数乘运算典型例题例题1．（2022·上海交大附中高一期中）正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示的正五角星中，、、、、是正五边形的五个顶点，且，若，则______．【答案】由题意可知，，，即，，，又，所以，所以.故答案为：.例题2．（2022·河南·濮阳一高高一阶段练习）在中，点满足，若存在点，使得，且，则______．【答案】，∴，，可得，∵∴则.故答案为：.核心知识点（1）向量数乘的定义一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：①②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.（2）向量数乘的几何意义对于：①从代数角度看，是实数，是向量，它们的积仍然是向量．的条件是或．②从几何的角度看，对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方向或反方向上缩短了倍．实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如，都无意义．变式训练1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在中，点是上的点，且，且是的中点，与的交点为，又，则实数________.【答案】因为三点共线，所以存在一个实数，使得，所以，所以，又，，所以，根据平面向量基本定理可得，解得.故答案为:2．（2022·湖南·高一课时练习）已知和点满足.若存在实数使得成立，则＝__________.【答案】3由条件知是的重心，设是边的中点，则，而，所以.高频考点6：平面向量的数量积①平面向量的数量积（定义法）典型例题例题1．（2022·四川成都·高三阶段练习（文））在菱形中，若，则等于_______.【答案】2如图所示：由图象知：，因为，所以，所以，故答案为：2例题2．（2022·全国·高一单元测试）在中，，其面积为，设点在内，且满足，则________.【答案】∵，∴，同理可得、，即点为的垂心，∵，且面积为，则，，又∵，∴，，设，边上的高线为,则.故答案为：6例题3．（2022·陕西·长安一中模拟预测（理））在中，，，，，则___________.【答案】##在中，因，，则，，又，，所以.故答案为：核心知识点向量的数量积：(1)定义法(2)几何意义法(3)坐标法（4）用基底表示向量变式训练1．（2022·山东淄博·高一期中）如图，，则_________【答案】解：因为，所以，即，所以，故答案为：2．（2022·江苏南京·模拟预测）在中，，，，为的重心，在边上，且，则______．【答案】解：因为为的重心，所以，因为，所以，则，因为，所以，即，所以，在中，．方法一：因为，，所以，．方法二：以坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则，，由方法一可知，，所以．3．（2022·河北·模拟预测）在平行四边形中，，则___________.【答案】7因为，所以，两边平方得：①又，两边平方得：②两式相减得：，所以，因为，所以，，故答案为：7②求模典型例题例题1．（2022·天津南开·高二学业考试）已知，则__________．【答案】解：因为，所以，即，即，所以，解得；所以故答案为：例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，且，则_______.【答案】解：因为，，，所以，即，解得.所以，所以故答案为：例题3．（2022·全国·高一专题练习）已知向量，向量，则的最大值为______．【答案】##2＝(2cosθ－，2sinθ)，＝，当且仅当cosθ＝－1时，取最大值.故答案为：.核心知识点向量求模(1)，.(2)坐标法，变式训练1．（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知向量的夹角为，，，则___________．【答案】，则，则．故答案为：2．（2022·广东广州·三模）已知为单位向量，若，则__________.【答案】由可得，则，又，则.故答案为：.3．（2022·山东德州·高一期中）已知，，，则______．【答案】解：因为，，且，所以，解得，所以，故答案为：4．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一期中）已知向量，则的最大值为_________．【答案】##，所以当时，的最大值为：.故答案为：.5．（2022·广西柳州·三模（理））已知平面向量，，若，则___________.【答案】由题设，，即，则，所以，故.故答案为：.③求夹角典型例题例题1．（2022·山东·夏津第一中学高三阶段练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C解：因为，，，所以，，因此，．故选：C．例题2．（2022·贵州黔东南·一模（文））在四边形中，，，且，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】D因为，所以四边形ABCD为平行四边形.因为，所以四边形ABCD的对角线相等，综上，四边形ABCD为矩形.因为，所以，得，故与的夹角为.故选：D例题3．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知向量，向量，且，则向量的夹角为___________.【答案】##因为，所以因为，所以，又，所以，所以，向量的夹角为,则所以，则.故答案为：.核心知识点计算向量数量积的三种方法（1）定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即（是与的夹角）．（2）基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．（3）坐标法：若向量用坐标形式表示，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．变式训练1．（2022·河南·模拟预测（文））若向量满足，则与的夹角为__________．【答案】##设与的夹角为，由题意可知，所以，故，故答案为：2．（2022·全国·模拟预测）已知平面向量，的夹角为，且，，则与夹角的余弦值为______．【答案】依题意，，，故．故答案为：.3．（2022·湖南永州·三模）已知非零向量，满足，，则与夹角为__________．【答案】##因为，所以，设与夹角为，则，①，因为，所以.又因为，所以，则，则，所以②，①代入②得：，，因为，所以.因为，所以.故答案为：.4．（2022·全国·高一课时练习）已知向量的夹角为30°，且，求向量与的夹角的余弦值________【答案】##如图：设，∠AOB＝30°.，以为邻边作平行四边形OACB，连接OC，AB交于点D，则，∠ADC＝θ.在中，由余弦定理得，，，所以AB＝1，同理在中，求得：，在中，，CD＝，，由余弦定理得，所以cosθ＝cos(180°－∠BDC)＝.故答案为：④投影典型例题例题1．（2022·山东滨州·高一期中）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】C依题意三角形的外接圆圆心为，且，所以是的中点，即是圆的直径，且，由于，所以三角形是等边三角形，设圆的半径为，则，所以向量在向量上的投影向量为.故选：C.例题2．（2022·辽宁沈阳·高一期中）在函数的图象对称中心中，与原点最近的为点，定点，则在上投影的数量是_