第八章决策论和关于风险概念的进一步讨论

第八章决策论

8.1决策的基本概念8.1.1决策的概念“决策”一词简单来说就是做出决定，它是人们在工作和生活中的一种综合活动，是为了达到特定的目标，运用科学的理论方法，分析主客观条件后，提出各种不同的方案，并从中选择最优方案的一种过程。

8DecisionTheoryDecisionTheoryDecisiontheorytreatsdecisionsagainstnature.Thisreferstoasituationwheretheresult(return)fromadecisiondependsonactionofanotherplayer(nature).Forexample,ifthedecisionistocarryanumbrellaornot,thereturn(getwetornot)dependsonwhatactionnaturetakes.Itisimportanttonotethat,inthismodel,thereturnsaccrueonlytothedecisionmaker.Naturedoesnotcarewhattheoutcomeis.Thefundamentalpieceofdatafordecisiontheoryproblemsisapayofftable:Theentriesrijarethepayoffsforeachpossiblecombinationofdecisionandstateofnature.Thedecisionprocessisthefollowing.

Thedecisionmakerselectsoneofthepossibledecisionsdi.Afterthisdecisionismade,astateofnatureoccurs.Saystatej.Thereturnreceivedbythedecisionmakerisrij.Thequestionfacedbythedecisionmakeris:whichdecisiontoselect?Thedecisionwilldependonthedecisionmaker'sbeliefconcerningwhatnaturewilldo,thatis,whichstateofnaturewilloccur.Ifwebelievestatejwilloccur,weselectthedecisiondiassociatedwiththelargestnumberrijincolumnjofthepayofftable.Differentassumptionsaboutnature'sbehaviorleadtodifferentproceduresforselecting‘thebest’decision.虽然决策以完整的理论作为管理科学的一个重要部分，还仅仅是四十年来的事，然而，它在政治、经济、技术、经营管理等领域的作用是举足轻重的。在一切失误中，决策的失误是最大的失误。诺贝尔奖金获得者著名经济学家西蒙（H.Simon）有一句名言“管理就是决策”。这就是说管理的核心是决策。西蒙教授曾说过：“决策包括三个步骤：找出决策所需要的条件；找出所有可能的行动方案；从所有可行的方案中选择一个最优方案。”实际上，决策论（DecisionTheory）主要研究西蒙所说的最后一步，即从所有可行方案中选择最优方案。作为决策者，在受到各种不同类型的不确定因素影响下的可行方案中，如何选出最优方案；在对待风险的态度上，是敢于冒险还是偏于求稳；对有助于正确决策的信息资源的价值如何评价等问题，则正是我们在本章所要研究的主要问题。8.1.2决策的分类

8.1.3决策模型的基本要素例1:已知某企业选择生产方案的决策所需资料如下表所示，从中选择最优策略。表中效益值的单位为万元。(参见表8-1)生产方案选择相关资料表表8-1

自然状态Sj概率pj

S1(产品销路好)

P(S1)=0.3

S2(产品销路一般)

P(S2)=0.5

S3(产品销路差)P(S3)=0.2

d1选甲方案40

2615

d2选乙方案353020

d3选丙方案302420策略di效益值

aij

从以上的例子可看出，一般的决策模型都包括四个最基本的要素。1.

自然状态Sj

是指研究对象、系统所处的各种可能的状态。例如上例中产品销路的好、中、差都是自然状态，这是决策者无法控制的因素。假设共有n个可能的状态：S1，S2，…，Sn，则状态集合S（也称为状态空间）为：

S={S1，S2，…，Sn}2.

概率pj

是指各自然状态Sj发生的概率。3.

策略di

是指决策者可采用的方案。若所有可能的策略为d1，d2，…，dm，则策略集合S（也称为策略空间）为：

D={d1，d2，…，dm}4.

益损值aij

是指在不同的自然状态Sj下，采取不同的策略di的收益或损失值aij。益损值aij是策略和自然状态的函数。8.2

风险型决策DecisionsUnderRisk8.2.1最优期望益损值决策 由于已知各自然状态Sj发生的概率pj，故当采用某一策略di时，可算出相应期望益损值如下：

式中aij是在自然状态Sj下，采取策略di的收益或损失值。 计算后，比较各策略的期望益损值，以最大期望收益或最小期望损失值相对应的策略为选定策略，这一准则即最优期望益损值决策准则。



如上节中例1，先计算出各方案的效益的期望值，即

E(d1)=40×0.3+26×0.5+15×0.2=28

E(d2)=35×0.3+30×0.5+20×0.2=29.5

E(d3)=30×0.3+24×0.5+20×0.2=25然后选择效益期望值最大的方案d2（最优方案）。8.2.2决策树法DecisionTrees决策树是一种树状图，它实质上是期望益损值决策的另一种形式：图形解法。由于它形象直观，因此是决策分析最常使用的方法之一。─表示结果节点，它位于概率分枝的末梢，将每一策略在相应状态下的益损值标注在结果节点右方。─表示策略节点，它位于策略（方案）分枝的末端，从它引出的分枝叫做概率分枝，每个分枝上面标注所处的自然状态及其出现的概率，分枝数反映可能出现的自然状态数，将该策略的期望益损值标注在策略节点上方；─表示决策节点，从它引出的分枝叫做策略（方案）分枝，分枝数反映可能采取的策略数，决策者需要在此做出决策，将选中方案的期望益损值标注在决策节点上方，其余的方案要“剪枝”，即在相应的方案分枝划上“∥”；1.

1.决策树的构成要素402615

353020302420决策d1d2d3决策d1d2d3甲方案销路好P(S1)=0.3乙方案丙方案销路一般P(S2)=0.5销路差P(S3)=0.2销路好P(S1)=0.3销路一般P(S2)=0.5销路差P(S3)=0.2销路好P(S1)=0.3销路一般P(S2)=0.5销路差P(S3)=0.229.5282529.52.单级决策3.多级决策

P1188.2.3完全情报及其价值

正确的决策基于可靠的情报或信息。能完全确定某一自然状态发生的情报称为完全情报。否则，称为不完全情报。有了完全情报，决策者可把风险型决策化为确定型决策。由于获得完全情报非常困难，实际上大多数情报属于不完全情报。为了获取情报，必须付出人力、物力等代价，或者直接购买。因此，在获得完全情报之前，必须先估计出该情报的价值。完全情报的价值，等于因获得这项情报使决策者期望收益增加的数值。因此，完全情报的价值给出了支付情报费用上限。例3考虑例1中的问题，若支付0.7万元可买到关于产品销路好坏的完全情报，问是否值得购买？解：可这样考虑，假如完全情报确定产品销路好，就选策略d1，可获40万元；假如完全情报确定产品销路一般，就选策略d2，可获30万元；假如完全情报确定产品销路差，就选策略d3，可获20万元。该问题的决策树如图8-3。1423403530263024162020销路好0.3销路差0.2销路一般0.5d1d2d3d1d2d3d1d2d32030403141图8-3获取完全情报下的决策树这时可根据各自然状态出现的概率计算出期望效益值：0.3×40+0.5×30+0.2×20=31由于得到完全情报使期望效益值增加了31－29.5=1.5(万元)，即该完全情报的价值为1.5万元。因此，支付0.7万元买关于产品销路好坏的完全情报是合算的。8.2.4贝叶斯（Bayes）决策

1.先验概率和后验概率在风险型决策中，许多时候不可能得到完全情报，或者获取完全情报的代价太高而不能接受。这种情况下，可设法采集不完全情报作为补充情报，以此来修正原来的估计。通常，把获取补充情报之前对各自然状态的概率估计称为先验概率；而把根据补充情报修正之后的各自然状态的概率估计称为后验概率。后验概率要比先验概率更加准确可靠，类似于完全情报，获取不完全情报也要付出一定代价，也有一个是否合算的问题。2.

贝叶斯公式概率论中的贝叶斯公式为式中：p(Bi)

是自然状态Bi出现的概率，即先验概率；

p(A│Bi)

是状态Bi出现情况下，事件A发生的条件概率；

p(Bi│A)

是事件A发生的情况下，自然状态Bi出现的条件概率，即后验概率。这里将“发生了一次事件A”作为补充情报，据此对先验概率加以修正，以得到后验概率。显然，贝叶斯公式就是根据补充情报，由先验概率计算后验概率的公式。在风险型决策中，利用贝叶斯公式进行概率修正的决策方法，称为贝叶斯决策。

例:有朋友自远方来。自然状态概率B1

乘火车B2

乘船B3

乘汽车B4

乘飞机

P（Bi）3/101/51/102/5P(A│Bi)1/41/31/120他迟到了（以事件A表示“迟到”），问：他乘各种交通工具的概率？P(B2│A)=4/9；P(B3│A)=1/18；P(B4│A)=0

3

应用举例例4:某野外工程项目是否按期完工，主要受天气影响。假定天气好，项目可按期完工，施工单位可获取收益5万元；天气不好，项目将要拖延完工，施工单位将损失2万元；又假定，若暂不组织施工，施工单位将损失2千元。根据过去的经验，计划施工期天气好的可能性为30%，为了更好地掌握天气情况，施工单位拟从气象台获取该地区同期气象资料，假定资料较可靠，对好天气预报的正确率为80%，对坏天气预报的正确率为90%，问应如何决策？解：设A1表示天气好的状态，A2表示天气坏的状态；B1表示预报天气好，B2表示预报天气坏。根据题意已知： 天气好的概率：P（A1）=0.3

天气坏的概率：P（A2）=0.7

天气好预报好的概率：P（B1│A1）=0.8

天气好预报坏的概率：P（B2│A1）=0.2

天气坏预报坏的概率：P（B2│A2）=0.9天气坏预报好的概率：P（B1│A2）=0.1根据全概率公式，可以算出：预报天气好的概率：P（B1）=P（A1）P（B1│A1）+P（A2）P（B1│A2）=0.3×0.8+0.7×0.1=0.31预报天气坏的概率：P（B2）=1－P（B1）=1－0.31=0.69根据贝叶斯公式，可以算出：预报天气好而天气确实好的概率： 预报天气好而实际天气坏的概率：P（A2│B1）=1－P（A1│B1）=1－0.77=0.23

预报天气坏而天气确实坏的概率：

预报天气坏而实际天气好的概率：

P（A1│B2）=1－P（A2│B2）=1－0.91=0.09

此问题的决策树如图8-4所示：3

12453678

5－1－0.25－1－0.25－1－0.2不要气象资料组织施工天气好

0.98天气坏

0.7暂不施工要气象资料报天气好0.31报天气坏0.69

0.98组织施工天气好

0.77天气坏

0.233.623.62暂不施工-0.2-0.46天气好

0.09天气坏

0.91暂不施工组织施工图8-4工程项目决策树8.2.5效用理论以上决策方法，是以最优期望益损值作为决策准则，对于只进行一次或很少几次决策的情况，不同决策者对风险的态度也可能大不相同，用这一准则就不一定合理了。例5某单位空运一件价值100万元的仪器。如支付1000元保险费，一旦毁坏，保险公司将赔偿全部损失，否则，单位将自己承担全部损失。已知飞机发生事故的概率为0.0002。问这种情况下，是否应参加保险？解：我们用最小期望损失值准则进行决策：参加保险的期望损失值：－1000元不参加保险的期望损失值：－1,000,000×0.0002+0×0.9992=－200元从上可见，按最小期望损失值准则决策，应选择不参加保险。然而大多数人会选择参加保险，尽管出事故的可能性极小，也很少有人愿意为节省1000元，而冒损失100万元的风险（除非这类运输是经常性重复进行）。这种情况下，应根据效用理论进行分析。当然另一方面，保险公司可参照期望损失值大小制定保费标准。效用及效用曲线由贝努利(D.Berneulli)提出的。他认为人们对其钱财的真实价值的考虑与他的财产拥有量之间呈现对数关系。这就是贝努利的货币效用函数。经济管理学家将效用作为指标，用它来衡量人们对某些事物的主观价值、态度、偏爱和倾向等。效用值是一个相对的指标值，一般规定，对于决策者最愿意、最倾向于的事物的效用值赋予1，而最不愿意、最不爱好的事物效用值赋0。效用值是无量纲指标。图8-5贝努利的货币效用曲线通过效用指标可将某些难于量化，有质的差别的事物给予量化。效用U0

货币M效用曲线的确定确定效用曲线的基本方法一种是直接提问，另一种是对比提问。1.

直接提问法直接提问法是向决策者提出一系列问题，要求决策者进行主观衡量并做出回答。经若干次问答后，可绘出该决策者的获利效用曲线。由于这种提问和回答较难于确切，因此应用较少。2.

对比提问法设决策者面临两种可选方案D1，D2。D1表示他可无风险的得到500元；D2表示可以概率p=0.5得到1000元，以概率（1－p）=0.5损失300元。用U(x)表示金额x的效用值，若该决策者认为两种方案等价时，可表示为0.5U(1000)+0.5U(－300)=U(500)（1）上式的一般形式为

pU(x1)+(1－p)U(x3)=U(x2)式中：p一般取0.5，且x1＞x2＞x3。一般是将决策者认为可能得到的最大收益相应的效用值定为1，而把可能得到的最小收益（或最大损失）相应的效用值定为0。例子中有：U(1000)=1，U(－300)=0

利用两种方案的效用期望值相等，可计算出无风险得到500元的效用值:

U(500)=0.5U(1000)+0.5U(－300)=0.5×1+0.5×0=0.5然后，可向决策者提出一系列对比询问，从而绘制出效用曲线。将上式中的－300换成500，再向决策者提问：以50%的概率得到1000元和以50%的概率得到500元，与确定收益多少元等效？如回答相当于800元的收益，则可计算出收益为800元相应的效用值：

U(800)=0.5U(1000)+0.5U(500)=0.5×1+0.5×0.5=0.75

类似地将式（1）中的1000换成500，再向决策者提问：以50%概率得到500元和以50%的概率损失300元，与确定收益多少等效？如回答相当于300元的收益，则可计算出收益300元相应效用值：

U(300)=0.5U(500)+0.5U(－300)=0.5×0.5+0.5×0=0.25在此基础上，可以收益值为横坐标，以效用值为纵坐标，根据已算出的效用值进行曲线拟合，画出效用曲线。例如本例的效用曲线如图8-6所示。*****最小收益值最大收益值效用值U1.0甲

乙丙

－30003005008001000益损值图8-6效用曲线

一般来说效用曲线有三种基本类型：向下凹、向上凹和直线型。曲线甲保守型决策者；曲线丙对损失较迟缓，这是一种谋求大利、敢冒风险的冒险型决策者。效用值U1图8-7效用曲线三种基本类型2.5.3效用曲线的应用以期望效用值最大作为优选方案的准则。例6某公司欲购买一批汽车，主要考查两项指标：功率和价格。决策者认为最合适的功率为70KW，若低于60KW则不宜采用；而最满意的价格为5万元，若高于6万元则不能接受。目前市场上能满足上述基本要求的汽车有A、B两种型号。A型车的功率为70KW，价格为5.8万元；B型车的功率为65KW，价格为5.3万元。问决策者应如何选择？解：这是一个简化的多目标决策问题。这种情况下，可应用效用理论，把各方案的指标折算成效用值，然后加权平均，得出每个方案总的效用值，便可进行方案比较。首先绘出决策者的功率效用曲线U1(x1)(如图8-8)和价格效用曲线U2(x2)(如图8-9)。这里假设决策人为中间型决策者，功率的权系数W1=0.6，价格的权系数W2=0.4。

U1U21.01.0

0.5 0.5

606570 x1(kw)56x2(万元)

图8-8功率效用曲线图8-9价格效用曲线

由图8-8可知，U1(60KW)=0，U1(70KW)=1，可得U1(65KW)=0.5由图8-9可知，U2(6万元)=0，U2(5万元)=1，得U2(5.3万元)=0.7，U2(5.8万元)=0.2分别计算A、B型车的综合效用值如下：

UA=U1(70KW)×W1+U2(5.8万元)×W2=1.0×0.6+0.2×0.4=0.68UB=U1(65KW)×W1+U2(5.3万元)×W2=0.5×0.6+0.7×0.4=0.58若用各方案综合效用值最大作为决策的准则，应购买A型汽车。8.3不确定型决策

8.3.1等可能性准则8.3.2乐观（maxmax）准则按照乐观准则决策时，对客观状态的估计总是非常乐观的。比较各方案的最大效益值，从中选出最大值，其对应的方案即为所选方案。因此，乐观准则又称为“大中取大”准则。例1方案选择有关数据如表8-3所示，试以乐观准则确定最优方案。

状态

效益方案S1S2S3

d1365

d2274

d3445

d4355

方案选择的有关数据表表8-3解：首先从4个方案中各选取一个最大效益值：d1:max(3,6,5)=6；d2:max(2,7,4)=7；d3:max(4,4,5)=5；d4:max(3,5,5)=5而其中的最大值为：max(6,7,5,5)=7故最优方案为d2。按乐观准则决策，实际上就是瞄准效益值中的最大者，这当然不会丧失获得最好结果机会，但未避免可能落入较坏结局。比如例题中，选择d2，如自然状态S1发生，则将落入最坏的结局。8.3.3悲观（maxmin）准则

按照悲观准则决策时，决策者是非常谨慎保守的，他总是从每个方案的最坏情况出发，从各方案的最坏结果中选择一个相对最好的结果。因此，悲观准则又称为max--min准则。

仍以表8-3中数据为例：min(3,6,5)=3；min(2,7,4)=2；min(4,4,5)=4；min(3,5,5)=3而其中的最大值为：max(3,2,4,3)=4故最优方案为d3。按照悲观准则决策，可能丧失掉获得最好结果的机会，但它能避免落入最坏的结局。8.3.4折中准则（Hurwicz）

指在乐观准则与悲观准则之间的折衷。用乐观系数α表示乐观的程度，有0≤α≤1，而（1－α）就是悲观系数，它表示悲观的程度。上例，令α=0.6，先求每个方案di的折衷效益值Hi，据Hi=α（1－α）(i=1,2,3,4)可得H1=0.6×6+0.4×3=4.8

H2=0.6×7+0.4×2=5.0H3=0.6×5+0.4×4=4.6H4=0.6×5+0.4×3=4.2故最优方案为d2

当α为1时，折衷准则即为乐观准则；当α为0时，折衷准则成为悲观准则。8.3.5后悔值（minmax）准则

后悔值准则就是把每一个自然状态（每列）对应的最大效益值视为理想目标，把它与该状态下的其它效益值之差作为未达到理想目标的后悔值，这样可列出一个后悔值表。再把表中每行的最大值求出来，这些最大值中的最小者所对应的方案即为所求。后状态悔方案值S1S2S3最大后悔值d11101d22012d30303d41202表8-3所对应的后悔值表如表8-4所示。

后悔值表表8-4因各方案最大后悔值的最小者为1，所以d1为最优方案。8.4层次分析法

TheAnalyticHierarchyProcess(AHP)层次分析法(AnalyticHierarchyProcess)是二十世纪七十年代初由美国运筹学家，匹兹堡大学教授，萨坦(T.L.Saaty)提出来的，简称AHP法。这是一种简明实用的定性与定量相结合的多目标决策分析方法。特别是将决策者的经验给予量化，这对系统目标结构复杂，且缺乏必要的数据的情况下更为实用，因此，近年来层次分析法在我国的应用发展较快。8.4TheAnalyticHierarchyProcess(AHP)TheAnalyticHierarchyProcess(AHP),adecision-makingmethodbasedupondivisionofproblemspacesintohierarchies,isvisualizedthroughtheuseoftreemaps,whichpacklargeamountsofhierarchicalinformationintosmallscreenspaces.AHPwasdevelopedtopromoteimproveddecision-makingforaspecificclassofproblemsthatinvolveprioritizationofpotentialalternatesolutionsthroughevaluationofasetofcriteriaelements.Theseelementsmaybedividedintosub-elementsandsoon,thusformingahierarchicaldecisiontree.Oncethehierarchicalproblemdefinitionhasbeenestablished,thesecriteriaareweightedindividuallyateverylevelrelativetoeachother;prioritizationofthealternatesolutionscanthenbeobtainedviaevaluationoftheseweights.Treemapsaregeneratedusingastraightforwardalgorithmknownas"slice-and-dice."Therootnodeofahierarchyisrepresentedbytheentirescreenarea.Fortherootnode'schildren,thescreenareaissliced(eitherhorizontallyorvertically)tocreatesmallerrectangleswithareadependentuponthevalueofaparticularweightingattribute.8.4.1层次分析法的基本思路现代社会中，人们对社会、经济、管理等系统进行分析研究和决策时，存在两种倾向：其一，强调采用数学模型和计算机技术相结合来解决复杂决策问题，愈期望对系统定量精确分析，愈追求大而复杂的数学模型，其结果往往无法反映人们的判断、经验起作用的决策因素，使数学模型中的最优解无法对应现实中的最优；其二，则是另一种偏向，即侧重于行为逻辑、推理方面的分析研究，而忽视了把那些在决断中起重要作用的因素定量地反映到系统中来。萨坦教授在七十年代初，研究如何根据各工业部门对国家利益的贡献大小而进行电力分配时，提出了AHP理论。他认为，研究大系统都可以在空间和时间上进行逐级分解，从而把整个系统分解为一个金字塔式的树状层次结构。层次分析法解决问题的基本思路是，把系统各因素之间的隶属关系由高到低排成若干层次，并建立不同层次元素之间的相互关系，根据对一定客观现实的判断，利用数学方法，确定每一层次全部元素相对重要性次序的权值，通过排序结果，对问题进行分析和决策。把多目标、多准则的决策问题化为多层次、单目标的两两对比，然后只需进行简单的数学运算。具体应用在：1.

经济管理和规划；2.

能源、资源、交通运输的开发利用和政策分析；3.

人才预测，规划和评选；4.

资源分配，方案评选和计划等。以上范畴许多问题可归结为层次决策问题。层次分析法作为系统工程一个重要分支，应用前景广阔。8.4.2层次分析法的基本原理决策对象往往是十分复杂，混乱不清的大系统，常牵涉到社会问题、政治因素、经济环境和人的因素等，这就对系统辨识增加了困难。层次分析法正是辨识这类问题的有效方法。它首先提出了递阶层次结构理论，用来解析这类系统；然后，得出满足系统总目标要求的各个方案的优先顺序。因此，层次分析法的基本原理可归纳为：递阶层次结构原理，两两比较标度和判断原理及层次排序原理。

递阶层次结构原理递阶层次结构假设：系统中所有元素可划分成若干层，其中任一层中的元素只对另一特定层中的元素发生影响，同时也只受到另外一层中元素的影响。各层内的元素彼此之间独立。根据分析，将其所包含的因素分层，按最高层、若干中间层和最低层的形式排列。如决策问题可分为：最高层：解决问题目的，要达到目标，称为目标层。中间层：衡量目标是否能够实现标准，称为准则层。最低层：解决问题方案、方法、手段，称为措施层。应用层次分析法分析的系统，其递阶结构有下述三种类型：1.

完全相关性结构这种结构的特点是，上一个层次每一个要素与下一个层次的所有要素完全相关。例如图8-10中，交通建设投资决策时，有三种投资方案，1.

完全独立性结构如图8-11所示，即为一个完全独立的递阶层次结构。其特点是：上一层次要素都有各自独立的、完全不同的下一分层的要素。3.混合结构是介于上述两者之间的一种情况，是一种非完全相关又非完全独立的递阶层次结构。交通工程项目投资经济效益社会效益方便可靠环境污染公路运输铁路运输水路运输目标层

准则层

措施层图8-10完全相关性结构减少交通事故损失防止事故发生减少事故损失促进康复提高司机安全责任感提高车辆操作性能改善道路设施提高车辆安全性能加强路口交通管理增设急救医疗设施健全伤残医疗体制增设伤残人康复设施目标层

准则层

措施层

图8-11完全独立性结构两两比较的标度和判断原理上述层次化递阶结构的中心问题是：对递阶结构中任一元素的影响进行测度，每一个元素对总目标的影响有多大。

1.

判断──两两比较方法从最上层要素开始，依次以上一层某要素Ak作为判断准则，对下一层要素两两比较，建立判断矩阵。记判断矩阵为B=（bij），其形式如下：

判断矩阵B中的元素bij表示以Ak为判断准则，要素Bi对要素Bj的相对重要度，即式中：wi，wj分别表示要素Bi，Bj的重要性量度值。

…………………………1.

标度─两两比较的赋值层次分析法提供了将抽象逻辑思维判断转化为定量分析的方法。提出了1到9的比率标度。即元素bij通常可取值1，3，5，7，9及它们倒数。其含义：1─表示Bi和Bj两者的重要性相同；3─表示Bi比Bj稍重要；5─表示Bi比Bj较重要；7─表示Bi比Bj非常重要；9─表示Bi比Bj绝对重要；2，4，6，8及它们的倒数有相应类似的意义。层次排序原理需找到求解某一层次上不同元素对相邻上一层次上的各元素所产生影响的方法，从而能最终计算出最低层次上的各元素对总目标的影响程度。这包括层次单排序和层次总排序，层次单排序表示某一层次各元素对相邻上一层次上的各元素所产生影响效能的排序；层次总排序表示最低层次上的各元素对总目标的影响程度的排序。另外还有一致性检验。1.

层次单排序通常采用一种近似计算方法，方根法。其计算步骤为：第一步，求判断矩阵B每行元素之积Mi

第二步，计算Mi的n次方根第三步，对向量归一化，求得向量归一化的结果就是Bi关于Ak的相对重要度（权重）Wi，即1.

层次总排序利用同一层次中所有元素单排序的结果，就可计算针对上一层次而言，本层次所有元素重要性的权值，依此下去，就可得层次总排序结果：层次总排序表

层次B

层次AA1A2……Ama1a2……am

B1

B2

┆Bn

b11b12…… b1m

b21b22……

b2m………………

bn1

bn2

……

bnm

B层总排序表中a1，a2，…，am表示A层各元素对目标层O的单排序结果，表示最低层元素Bj针对上一层元素Ai所得层次单排序结果。教师业务能力考评教学水平A1科研能力A2教师甲B1教师乙B2教师丙B3例1某教学单位对三位教师的业务能力进行综合考评，所构造的层次结构图（图8-12）和判断矩阵如下，试进行综合排序。图8-12业务能力综合考评层次结构图各层次的判断矩阵：方根法归一化解：从下往上逐层计算，计算判断矩阵A1─B的层次单排序结果：（0.63,0.28,0.09）T为最低层元素Bi针对A1所得层次单排序结果。同理可得A2─B的层次单排序结果：而O─A的层次单排序结果为：有了以上各层的单排序结果，即可计算底层各元素B1，B2，B3对总目标O的优劣权值，即总排序结果：总排序结果表

层次AA1A2

0.60.4

B1B2Bn

0.630.14

0.280.14

0.090.720.6×0.63+0.4×0.14=0.4340.6×0.28+0.4×0.14=0.2250.6×0.09+0.4×0.72=0.341层次总排序结果

层次B从表中得到O─B的层次总排序：（0.434,0.225,0.341）T，即各位教师的综合业务能力按降序排列为：甲，丙，乙。

1.

一致性检验必须明确，对于所依据的判断矩阵要进行一致性检验。误差如在允许范围内，则排序在技术上有效，否则需重新调整判断矩阵。

那末，什么叫判断矩阵的一致性呢？我们假设有n件物体，重量分别为W1,W2,…,Wn，则可以构造一个阶矩阵A：…矩阵A有如下性质：若用向量右乘矩阵A，则

即由矩阵理论，W为特征向量，n为特征值。矩阵A具以下特点：1）

aii=1；2）

aij=1/aji(i，j=1，2，…，n)；3）

aij=aik/ajk。该矩阵具有唯一非零的最大特征值λmax=n。…………若判断矩阵A具有上述特性，则称该矩阵具有完全一致性。一般情况下，构造的判断矩阵A/基本满意时，λmax

稍大于n，所以，λmax是判断一致性的测度。可用度量一致性（或称为相容性）的指标C.I.来进行判断：

若C.I.≤0.1，就可认为判断矩阵A/具有相容性，据此计算的W/值可以接受。当判断矩阵具有完全一致性时，λmax=AW/W。下面检查例1的判断矩阵的相容性。先检查判断矩阵A1─B：解得：，即可得

因此，该判断矩阵的误差是在允许范围内的。用同样的方法也可判断其它矩阵的相容性，从而判断排序在技术上是否有效。8.5

马尔柯夫分析马尔柯夫分析（MarkovAnalysis）是指这样一类决策问题，虽采取的行动已定，但付诸实施又分为几个时期。不同的时期，系统处于不同的状态，该状态受前面时期所处状态及所采取的行动的影响。一个时期多长，可据具体问题而定。例如，把某种商品的销售情况分为畅销、一般、滞销三种，一个季度为一个时期。显然，某时期的销售状况与前一期的销售状况有关。可根据某时期所处的状况，决定采取何种措施。这是一种多阶段的序列决策问题。其中最简单、基本的情况是，每一时期状态参数的概率分布只与前一时期实际所处的状态有关，而与更早时期的状态无关，这种状态的转移过程称为齐次马尔柯夫链。它的理论是随机过程理论的重要组成部分。8.5.1马尔柯夫过程的基本概念下面举例说明马尔柯夫过程的一些基本概念。例如，市场上有商标为A、B、C的三种同类商品相互竞争。目前它们的市场占有率分别为：从统计资料分析，任一个月购买A商品的顾客中有90%下个月仍买A，而各有5%去买B和C；购买B商品的顾客中有80%下个月仍买B，而各有10%去买A和C；购买C商品的顾客中有75%下个月仍买C，转而去买A、B的分别占10%和15%。根据以上资料可构造初始状态概率向量和概率转移矩阵如下。初始状态概率向量：概率转移矩阵：则一个月后各商品的市场占有率状态概率向量

两个月后，类似可计算S（3），S（4），…，但变化越来越小。当n→∞时，市场占有率趋于稳定。这种现象在随机过程论中叫做遍历性。ABC1)2)两步概率转移矩阵：P（2）=P2n步概率转移矩阵：P（n）=Pn状态概率向量(StateProbabilitiesVector)：S(n)=(S1(n),S2(n),…,Ss(n))，为第n个时期的状态概率向量。一般地有，概率转移矩阵(TransitionMatrix)：矩阵中的元素有如下性质：状态概率向量的性质：1）2）…………初始阶段的S(0)称为初始状态概率向量（InitialStateProbabilitiesVector）。稳定状态概率（SteadyStateProbabilities）记作：πj，j=1,2,…,Sπ=（π1,π2,…,πS）由πp=π，可解出π。例如，对于上面的例子，由解联立方程：，可得：π1=0.50,π2=0.2857,π3=0.21438.5.2马尔柯夫决策分析下面介绍与马尔柯夫链有关的决策问题。设上例中生产商标为A的商品的厂家现有三种措施来提高该产品的市场占有率：1）

通过发行股票等方法减少商标A的顾客外流；2）

通过广告宣传等手段占领商标B的商品的部分市场；3）

通过广告宣传等手段占领商标C的商品的部分市场。PⅠ=，PⅡ=，PⅢ=三种措施下，三种商标的同类产品的市场占有率转移矩阵分别为：计算措施Ⅰ的稳定状态概率：π(Ⅰ)=(0.667,0.190,0.143)同样可得措施Ⅱ、措施Ⅲ的稳定状态概率：

π(Ⅱ)=(0.559,0.235,0.206)π(Ⅲ)=(0.545,0.273,0.182)已知三种商标的同类产品月销售量为1000万件，每件获利1元，采取以上措施的成本费用分别为：措施Ⅰ─150万元，Ⅱ─40万元，Ⅲ─30万元。要求从中选出一个最优方案。分别计算各项措施的获利期望提高值列入下表。各项措施的获利期望提高值表8-7单位：万元措施市场占有率毛利期望值毛利提高值措施成本纯利提高值不采取0.500500000措施Ⅰ0.66766716715017措施Ⅱ0.559559594019措施Ⅲ0.545545453015从表中可见，措施Ⅱ是使纯利提高期望值最多的方案。类似的，如设备维修等问题，也可根据设备运行状态，维修等的统计资料，建立设备自然状态概率转移矩阵和维修措施状态概率转移矩阵，以寻求动态的最佳决策。8.6模糊综合评判

8.6ApplicationofFuzzyDecisionMakingMethod

totheEvaluation

模糊综合评判方法是运用模糊数学理论，对一待评价系统进行综合评判的一种方法。这种方法考核的对象可以是方案、产品或者是各类人员。为了学习这一方法，首先对模糊数学的基本知识作一概要介绍。Inthispart,afuzzydecisionmakingmethodisproposedwhichisbasedonthefuzzysettheoryandthehierarchicalstructureanalysis.Themethodemploystwokeyconcepts:linguisticvariablesandfuzzynumbers.Thelinguisticvariablesandfuzzynumbersareusedtorepresentthedecision-maker’ssubjectiveassessmentsforthedecisioncriteriaandthedecisionalternativesversusthedecisioncriteria.IntroductionInmanyoccasions,anengineeringdecisionshouldbemadebasedontheavailabledataandinformationthatarevague,impreciseanduncertain

bynature.Thedecisionmakingprocessinthefieldofradioactivewastemanagementisoneofthesetypicaloccasions,whichfrequentlycallsuponthemethodoftreatinguncertainandill-defineddataandinformation.Thenatureofvagueness,imprecisionanduncertaintyisfuzzyratherthanrandom,especiallywhensubjectiveassessmentsareinvolvedinthedecisionmakingprocess.Fuzzinesscomesfromthelackofpreciseboundariesinsomesubsetsofdataandinformationconsideredinagivensituation.Thefuzzysettheoryoffersapossibilityofhandlingthesesortsofdataandinformationinvolvingthesubjectivecharacteristicsofhumannatureinthedecisionmakingprocess,whichismostlytrueinrealworld.Inthemethod,twomainkeyconceptsareemployed:linguisticvariablesandfuzzynumbers.Linguisticvariablesareusedtorepresenttheimportanceweightsofthedecisioncriteriaunderconsiderationandthedegreesofappropriatenessofthedecisionalternativesperceivedbyadecision-maker.Thentheselinguisticvariablesaretranslatedintothecorrespondingfuzzynumberstofacilitatethearithmeticoperation.Asacasestudy,themethodisappliedtoevaluatingaprojectapplication.Thefuzzydecisionmakingmethod(FDM)consistsofthreemainsteps:1)representationofthedecisionproblem,2)fuzzysetevaluationofthedecisionalternatives,and3)selectionoftheoptimalalternative.

(1)RepresentationoftheDecisionProblemThestartingpointtosolveadecisionproblemistodefinetheproblem.InourFDM,itconsistsof3activitiesasfollows:1)identifyingthedecisiongoalandasetofthedecisionalternatives;2)identifyingasetofthedecisioncriteria;and3)buildingahierarchicalstructureofthedecisionproblemunderconsideration.(2)FuzzySetEvaluationoftheDecisionAlternativesThisstepconsistsof3activities:1)choosingsetsofthepreferenceratingsfortheimportanceweightsofthedecisioncriteriaandforthedegreesofappropriatenessofthedecisionalternativesversusthedecisioncriteria;2)evaluatingtheimportanceweightsofthecriteriaandthedegreesofappropriatenessofthedecisionalternativesversusthedecisioncriteria;and3)aggregatingtheweightsofthedecisioncriteriaandthedegreesofappropriatenessofthedecisionalternativesversusthedecisioncriteria.Ingeneral,thesetsofthepreferenceratingsconsistof3elements:thelinguisticvariablexrepresentingtheimportanceweightsofthedecisioncriteriaunderconsiderationandthedegreesofappropriatenessofthedecisionalternativesversusthedecisioncriteria;termsetT(x)representingtheratingsoflinguisticvariables;andmembershipfunctioncorrespondingtoeachelementofthetermset.Asanexample,thepreferenceratingsfortheimportanceweightsofthedecisioncriteriacanbedefinedasfollows:T(importance)={verylow,low,medium,high,veryhigh}.Usingthesetsofthepreferenceratings,certainratingsareassignedtothedecisioncriteriaandthedecisionalternatives,respectively,bythedecision-maker.Aftertheassignmentoftheratings,themembershipfunctionwillbematchedtoeachratingforthearithmeticoperation.Inourmethod,thetriangularfuzzynumbersareusedasmembershipfunctionscorrespondingtotheelementsintermset.Thereasonofusingtriangularfuzzynumberisthatitisintuitively

easytobeusedbythedecision-maker.Thetriangularfuzzynumberisdenotedasfollows:wherea,b,andcarerealnumbersand.Fibethefuzzyappropriatenessindexofthedecisionalternativewhichrepresentsthedegreeofappropriatenessofthedecisionalternativeversusthedecisioncriteria.

8.6.1模糊集合的基本概念经典的集合论中，一个事物要么属于某集合，要么就不属于。然而在现实生活中，却存在着大量的模糊事物和概念。在人的思维中，就存在着许多模糊概念。例如，年轻、胖、明亮、富有……等。对于这些模糊概念，无法用普通集合论来描述，即一元素是否属于某集合，不能简单地用“是”或“否”来回答。例如，“年轻人”和“高个子”集合的边界就不那么明确。在普通集合论中，特征函数值只取0，1两个值就够了。而在描述一个模糊集合时，将特征函数取值范围扩大到[0，1]区间连续取值，这样一来就可借助经典数学来定量描述模糊集合。为了加以区别，将模糊集合的特征函数称为从属函数（或隶属函数）。记作，表示元素x属于模糊集合的程度。8.6.2模糊综合评判法首先确立系统的综合评价因素集合F和评语集合（或称评定等级集合）E：F={f1,f2,f3,…,fn}；E={e1,e2,e3,…em}例如，对于管理人员的考核基本因素可设计为：

F={事业心，组织能力，创造力，……}而综合评价的评语集合可确定为：

E={优秀，良好，及格，不及格}然后对F集合中各元素确定其因素重要度（也称为权数）A，

A={a1,a2,a3,…,an}对因素集内诸因素的评定，由于评判组中不同的成员可能做出不同的评定，所以，描述考核结果是用对因素fi做出ej评定的可能性的大小来表示。这种可能的程度称为隶属度，记作rij。对于第i个考核因素fi有一个相应的隶属度向量：

Ri=(ri1,ri2,…,rim)，i=1,2,…,n由此可得出整个考核因素集相应的隶属度向量，可记为评价矩阵形式：其中rij表示因素fi关于评定ej的“隶属程度”。隶属度向量可根据考评资料的统计处理求出，一般都取归一化，即隶属度之和为1：根据模糊集合理论的综合评定概念，