新教材人教A版必修第二册第6章643第4课时余弦定理正弦定理应用举例学案

第4课时余弦定理、正弦定理应用举例学习任务核心素养1．能将实际问题转化为解三角形问题．(难点)2．能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．(重点)1．通过利用正、余弦定理解决实际问题，培育数学建模的核心素养．2．通过求解距离、高度等实际问题，提升数学运算的素养．在我国古代就有嫦娥奔月的故事．明月高悬，我们仰视夜空，会有无限遐想．问题：月亮离我们地球有多远呢？科学家们是怎样测出来的呢？学问点1基线的概念与选择原那么(1)定义在测量过程中，我们把依据测量的需要而确定的线段叫做基线．(2)性质在测量过程中，应依据实际需要选取适宜的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．1．在本课时情境与问题中，我们遇到这么一个问题，“遥不行及的月亮离地球毕竟有多远呢？〞在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么奇妙的方法探究到这个神秘的呢？[提示]利用正弦定理和余弦定理．学问点2测量中的有关角的概念(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如下图)(2)方向角从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°．(如下图)2．李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？[提示]东南方向．1．思索辨析(正确的画“√〞，错误的画“×〞)(1)三角形的三个角，能够求其三条边． ()(2)两个不行能到达的点之间的距离无法求得． ()(3)假设P在Q的北偏东44°，那么Q在P的东偏北44°方向． ()[答案](1)×(2)×(3)×2．小强站在地面上观看一个建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得观看该建筑物顶部的仰角为β，那么小强观测山顶的仰角为()A．α＋β B．α－βC．β－α D．αC[如下图，设小强观测山顶的仰角为γ，那么β－γ＝α，因此γ＝β－α，应选C项．]3．某人先向正东方向走了xkm，然后他向右转150°，向新的方向走了3km，结果他离动身点恰好为eq\r(3)km，那么x的值为________．2eq\r(3)或eq\r(3)[如图，在△ABC中，由余弦定理得3＝9＋x2－6xcos30°，即x2－3eq\r(3)x＋6＝0，解得x＝2eq\r(3)或eq\r(3)．]类型1测量距离问题【例1】(对接教材P49例9)海上有A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B，C间的距离是()A．10eq\r(3)海里 B．eq\f(10\r(6),3)海里C．5eq\r(2)海里 D．5eq\r(6)海里D[依据题意，可得如图．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°．由正弦定理可得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，即eq\f(10,\f(\r(2),2))＝eq\f(BC,\f(\r(3),2))，∴BC＝5eq\r(6)(海里)．]测量距离问题有哪些类型？如何求解？[提示]当AB的长度不行直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：类型简图计算方法A，B间不行达也不行视测得AC＝b，BC＝a，C的大小，那么由余弦定理得AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosC)B，C与点A可视但不行达测得BC＝a，B，C的大小，那么A＝π－(B＋C)，由正弦定理得AB＝eq\f(asinC,sinB＋C)C，D与点A，B均可视不行达测得CD＝a及∠BDC，∠ACD，∠BCD，∠ADC的度数．在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求ABeq\o([跟进训练])1．为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，那么河的宽度为________m．60[由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，∴△ABC为等腰三角形．河宽即AB边上的高，这与AC边上的高相等，过B作BD⊥AC于D，∴河宽：BD＝120·sin30°＝60(m)．]类型2测量高度问题【例2】(对接教材P50例10)济南泉城广场上的泉标仿照的是隶书“泉〞字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2m，到达B点，又测得泉标顶部仰角为80°．你能关心李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1m)[解]如下图，点C，D分别为泉标的底部和顶端．依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2m，那么∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°．在△ABD中，依据正弦定理，得eq\f(BD,sin60°)＝eq\f(AB,sin∠ADB)．∴BD＝eq\f(ABsin60°,sin20°)＝eq\×sin60°,sin20°)≈38.5(m)．在Rt△BCD中，CD＝BD×sin80°≈38(m)，即泉城广场上泉标的高约为38m．测量高度问题的根本类型和解决方案当AB的高度不行直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：类型简图计算方法底部可达测得BC＝a，C的大小，AB＝a·tanC底部不行达点B与C，D共线测得CD＝a及∠ACB与∠ADB的度数．先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值点B与C，D不共线测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数．在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值eq\o([跟进训练])2．如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走am到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，那么山高h＝()A．eq\f(\r(2),2)amB．eq\f(a,2)mC．eq\f(\r(3),2)amD．amA[由题意知，∠PAQ＝30°，∠BAQ＝15°，∠PBC＝60°，AB＝am，在△PAB中，∠PAB＝15°，∠BPA＝30°，∴eq\f(a,sin30°)＝eq\f(PB,sin15°)，∴PB＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)am，∴h＝PC＋CQ＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)a×sin60°＋asin15°＝eq\f(\r(2),2)a(m)，应选A．]类型3角度问题【例3】如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，假设甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船．问用多少小时追上乙船，并求sinθ的值．(结果保存根号，无需求近似值)1．某物流投递员沿一条大路前进，从A到B，方位角是60°，距离是4km，从B到C，方位角是120°，距离是8km，从C到D，方位角是150°，距离是3km，试画出示意图．[提示]如下图：2．在上述问题中，假设投递员想在半小时之内，沿小路直接从A点到C点，那么此人的速度至少是多少？[提示]在问题1的图中，在△ABC中，∠ABC＝60°＋(180°－120°)＝120°，由余弦定理得AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°)＝4eq\r(7)，那么此人的最小速度为v＝eq\f(4\r(7),\f(1,2))＝8eq\r(7)(km/h)．[解]设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，那么在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝180°－15°－45°＝120°，由余弦定理得，(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，即128t2－60t－27＝0，解得t＝eq\f(3,4)或t＝－eq\f(9,32)(舍去)，∴AC＝21(海里)，BC＝15(海里)．依据正弦定理，得sin∠BAC＝eq\f(BC·sin∠ABC,AC)＝eq\f(5\r(3),14)，那么cos∠BAC＝eq\r(1－\f(75,142))＝eq\f(11,14)．又∠ABC＝120°，∠BAC为锐角，∴θ＝45°－∠BAC，sinθ＝sin(45°－∠BAC)＝sin45°cos∠BAC－cos45°sin∠BAC＝eq\f(11\r(2)－5\r(6),28)．(变条件，变结论)在本例中，假设乙船向正南方向行驶，速度未知，而甲船沿南偏东15°的方向行驶恰能与乙船相遇，其他条件不变，试求乙船的速度．[解]设乙船的速度为x海里每小时，用t小时甲船追上乙船，且在C处相遇(如下图)，那么在△ABC中，AC＝28t，BC＝xt，∠CAB＝30°，∠ABC＝135°．由正弦定理得eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(BC,sin∠CAB)，即eq\f(28t,sin135°)＝eq\f(xt,sin30°)．所以x＝eq\f(28×sin30°,sin135°)＝eq\f(28×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝14eq\r(2)(海里/小时)．故乙船的速度为14eq\解决实际问题应留意的问题(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析与所求，再依据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步．(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题．eq\o([跟进训练])3．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6nmile，渔船乙以5nmile/h的速度从岛屿A动身沿正北方向航行，假设渔船甲同时从B处动身沿北偏东α的方向追逐渔船乙，刚好用2h追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．[解](1)依题意，知∠BAC＝120°，AB＝6，AC＝5×2＝10，∠BCA＝α．在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC＝62＋102－2×6×10×cos120°＝196，解得BC＝14，所以渔船甲的速度为eq\f(BC,2)＝7nmile/h．(2)在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝120°，BC＝14，∠BCA＝α，由正弦定理，得eq\f(AB,sinα)＝eq\f(BC,sin120°)，即sinα＝eq\f(ABsin120°,BC)＝eq\f(6×\f(\r(3),2),14)＝eq\f(3\r(3),14)．1．如图，在高速大路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1km，且C＝120°，那么A，B两点间的距离为()A．eq\r(3)kmB．eq\r(2)kmC．1.5kmD．2kmA[在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，得AB＝eq\f(BCsinC,sinA)＝2×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)(km)．]2．一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且与它相距8eq\r(2)海里，之后它连续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，此船的航速是()A．8(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/时 B．8(eq\r(6)－eq\r(2))海里/时C．16(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/时 D．16(eq\r(6)－eq\r(2))海里/时D[由题意得在△SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°．由正弦定理得eq\f(SA,sin105°)＝eq\f(AB,sin45°)，即eq\f(8\r(2),sin105°)＝eq\f(AB,sin45°)，得AB＝8(eq\r(6)－eq\r(2))，因此此船的航速为eq\f(8\r(6)－\r(2),\f(1,2))＝16(eq\r(6)－eq\r(2))(海里/小时)．]3．在高出海平面200m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为________m．200(eq\r(3)＋1)[过点A作AH⊥BC于点H，由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200m，那么BH＝AH＝200m，CH＝AH·tan60°＝200eq\故两船距离BC＝BH＋CH＝200(eq\r(3)＋1)m．]4．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12eq\r(6)海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8eq\r(3)海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120°，那么：(1)A处与D处之间的距离为________；(2)灯塔C与D处之间的距离为________．(1)24海里(2)8eq\r(3)海里[由题意，画出示意图．(1)在△ABD中，由∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12eq\r(6)．由正弦定理得AD＝eq\f(AB,sin60°)·sin45°＝24(海里)．(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°＝242＋(8eq\r(3))2－2×24×8eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝(8eq\r(3))2，∴CD＝8eq\r(3)(海里)．即A处与D处之间的距离为24海里，灯塔C与D之间的距离为8eq\回忆本节学问，自我完成以下问题：(1)仰角、俯角、方向角的定义是什么？(2)如何求解实际问题中的距