数学人教A版选修2-2自我小测：1.3　导数在研究函数中的应用（第2课时） Word版含解析

自我小测1．函数f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)x2＋2x取极小值时，x的值是()A．2B．2，－1C．－1D．－32．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A．－1＜a＜2B．－3＜a＜6C．a＜－3或a＞6D．a≤－3或a≥64．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是()A．a＝0或a＝21B．0≤a≤21C．a＜0或a＞21D．0＜a＜215．函数y＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为()A．1，－3B．1,3C．－1,3D．－1，－36．函数f(x)＝ex－2x的极小值为__________．7．设方程x3－3x＝k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是__________．8．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad＝______.9．求函数f(x)＝x2e－x的极值．10．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．

参考答案1．解析：f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x＋1)(x－2)，则在区间(－∞，－1)和(2，＋∞)上，f′(x)＜0，在区间(－1,2)上，f′(x)＞0，故当x＝－1时，f(x)取极小值．答案：C2．解析：f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．答案：C3．解析：由题意可知f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6.∵f(x)既有极大值又有极小值，∴Δ＞0，即4a2－12(a＋6)＞0.∴(a－6)(a＋3)＞0.∴a＞6或a＜－3.答案：C4．解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，因为f(x)在R上不存在极值，则Δ＝4a2－84a≤0，解得0≤a≤21.答案：B5．解析：令y＝f(x)，f′(x)＝3ax2＋b，由已知得，f(1)＝－2，f′(1)＝0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝－2，,3a＋b＝0，))解得a＝1，b＝－3，故选A．答案：A6．解析：f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－2，令f′(x)＝0，得ex＝2，即x＝ln2，当x＜ln2时，f′(x)＜0，x＞ln2时，f′(x)＞0，所以x＝ln2时，f(x)取极小值且极小值为f(ln2)＝2－2ln2.答案：2－2ln27．解析：设f(x)＝x3－3x－k，则f′(x)＝3x2－3.令f′(x)＝0，得x＝±1，且f(1)＝－2－k，f(－1)＝2－k，又f(x)的图象与x轴有3个交点，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－k>0，,－2－k<0，))∴－2＜k＜2.答案：(－2,2)8．解析：y′＝3－3x2，令y′＝0得x＝±1，且当x＞1时，y′＜0，当－1≤x≤1时，y′≥0，当x＜－1时，y′＜0，故x＝1为y＝3x－x3的极大值点，即b＝1，又c＝3b－b3＝3×1－1＝2，∴bc＝2.又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.答案：29．解：函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝2xe－x＋x2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ex)))′＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)04e－2由上表可以看出，当x＝0时，函数f(x)有极小值，且为f(0)＝0；当x＝2时，函数f(x)有极大值，且为f(2)＝4e－2.10．解：(1)∵f(x)＝alnx＋bx2＋x，∴f′(x)＝eq\f(a,x)＋2bx＋1.由题意可知f′(1)＝f′(2)＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2b＋1＝0，,\f(a,2)＋4b＋1＝0，))解方程组得a＝－eq\f(2,3)，b＝－eq\f(1,6).(2)由(1)，知f(x)＝－eq\f(2,3)lnx－eq\f(1,6)x2＋x，f′(x)＝－eq\f(2,3)x－1－eq\f(1,3)x＋1.当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，当x∈(1,2)时，f′(x)＞0，当x∈(2，＋∞)时，