高中数学北师大版五学案：第三章 1．2　不等关系与不等式（二）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。2不等关系与不等式(二）学习目标1.掌握不等式性质推导及应用.2。通过解决具体问题,培养严谨的思维习惯．知识点一不等式的性质思考由a>b,c〉d能推出ac〉bd吗？梳理一般地，不等式有下列性质,但要注意其成立条件：（1）对称性：a〉b⇔b<a；（2）传递性：a>b，b>c⇒a____c;（3）可加性：a〉b⇔a＋c____b＋c;a〉b,c>d⇒a＋c____b＋d；(4）可乘性：a>b,c>0⇒ac____bc；a〉b>0,c〉d>0⇒ac____bd；(5)可乘方:a>b>0⇒an____bn（n∈N＋）；(6）可开方：a>b>0⇒eq\r（n,a）____eq\r(n，b)（n∈N＋)．知识点二常用推论思考由a〉b能推出eq\f(1，a）<eq\f(1,b)吗?梳理一般地，加上适当的条件，有下列推论：(1）a〉b,ab〉0⇒eq\f（1,a）____eq\f（1，b）.(2）a〉b>0，m〉0⇒eq\f（b,a）____eq\f(b＋m，a＋m）。类型一不等式性质的证明例1求证a>b〉0,c>d〉0⇒ac>bd.反思与感悟证明不等式讲究言必有据，此处证明主要用了不等式的传递性．除此之外，还可用作差法证明．跟踪训练1利用不等式的性质“如果a>b>0，n∈N＋，则an>bn”推导“如果a〉b〉0,n∈N＋,则eq\r（n,a)〉eq\r（n,b）”．类型二不等式性质的应用命题角度1求取值范围例2已知－eq\f(π，2)<α<β<eq\f(π,2），求eq\f（α＋β，2)，eq\f（α－β,2)的取值范围．反思与感悟(1）利用不等式的性质求范围要充分利用题设中的条件，如本题中的条件α<β；（2)注意“α－β”形式,要利用不等式性质转化为同向不等式相加，而不能臆造同向不等式相减．跟踪训练2已知－1<x＋y〈4且2〈x－y〈3，则z＝2x－3y的取值范围是________．（答案用区间表示）命题角度2比较大小例3若eq\f（1，a)〈eq\f（1，b)<0，则下列不等式中：①eq\f(1,a＋b)<eq\f(1，ab）；②|a｜＋b〉0；③a－eq\f(1,a)〉b－eq\f（1,b）；④lna2>lnb2，正确的不等式是________．（填正确不等式的序号)反思与感悟用不等式性质比较大小，一方面要选用不等式性质从条件走到目标,另一方面要确保使用每一条不等式性质时，该性质所要求的条件都具备．跟踪训练3设x〈a〈0，则下列不等式一定成立的是(）A．x2<ax〈a2 B．x2>ax>a2C．x2<a2<ax D．x2〉a2〉ax1．设a〉b>1，c<0，给出下列三个结论:①eq\f(c,a）〉eq\f（c,b)；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．其中所有的正确结论的序号是()A．① B．①②C．②③ D．①②③2．已知a<0，－1<b〈0，那么a，ab，ab2的大小关系是________________．3．已知a〉b〉0，且c〉d〉0,则eq\r(\f(a，d)）与eq\r(\f（b，c））的大小关系是________．1．用同向不等式求差的范围eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a〈x<b，,c<y<d）)⇒eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a<x〈b，，－d<－y<－c）)⇒a－d<x－y〈b－c。这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到．2．倒数关系在不等式中的作用eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(ab>0，，a〉b)）⇒eq\f（1，a)〈eq\f(1，b)；eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(ab〉0，,a<b))⇒eq\f（1，a)〉eq\f(1，b)。3．失误与防范（1)a〉b⇒ac〉bc或a<b⇒ac〈bc,当c≤0时不成立．(2)a〉b⇒eq\f（1，a)<eq\f(1，b）或a〈b⇒eq\f（1,a)>eq\f(1，b)，当ab≤0时不成立．（3）a〉b⇒an〉bn对于正数a、b、n才成立．(4）eq\f(a,b)>1⇔a〉b，对于正数a、b才成立．

答案精析问题导学知识点一思考不能．如－1〉－2,－2〉－4，但（－1)×（－2）<(－2)×(－4)．梳理（2)〉(3)〉>(4）>>（5）〉（6)>知识点二思考不能．例如2〉－1，但eq\f(1,2)〉－1。梳理(1）〈（2)〈题型探究例1证明eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1(a>b>0，c〉0⇒ac>bc,c>d〉0，b>0⇒bc〉bd））⇒ac>bd。跟踪训练1证明假设eq\r(n,a)〉eq\r（n,b)不成立,则有eq\r（n，a）<eq\r（n,b)或eq\r(n，a)＝eq\r（n，b）(a>b>0，n∈N＋)．若eq\r(n，a）〈eq\r(n，b),则（eq\r(n，a))n〈（eq\r（n，b）)n，即a〈b；若eq\r(n，a）＝eq\r(n，b），则（eq\r(n，a))n＝（eq\r（n，b))n，即a＝b。这都与a>b矛盾．∴eq\r（n，a)>eq\r（n，b）。即如果a>b〉0，n∈N＋，则eq\r（n，a)>eq\r（n,b)。例2解因为－eq\f（π，2)〈α〈β<eq\f(π，2），所以－eq\f（π,4）<eq\f(α，2)<eq\f（π,4)，－eq\f（π，4)〈eq\f（β,2)〈eq\f（π,4)。所以－eq\f（π,2)〈eq\f（α＋β，2）<eq\f（π,2)，－eq\f(π,4）<－eq\f（β,2）<eq\f（π，4).因为α〈β，所以eq\f（α－β，2)〈0,故－eq\f（π,2)〈eq\f（α－β，2）〈0.综上，－eq\f（π，2)<eq\f(α＋β，2）〈eq\f(π,2）.－eq\f（π，2)<eq\f（α－β,2）<0.跟踪训练2（3,8）解析设2x－3y＝m(x＋y）＋n（x－y），∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝2,,m－n＝－3。))解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（m＝－\f(1,2），，n＝\f（5，2）.））∴2x－3y＝－eq\f（1，2）(x＋y)＋eq\f(5，2)(x－y)，∵－1<x＋y<4,2〈x－y〈3,∴－2<－eq\f（1,2)(x＋y）〈eq\f（1，2)，5<eq\f（5,2)(x－y）〈eq\f(15,2），∴3<－eq\f（1，2)（x＋y)＋eq\f(5，2）（x－y）〈8,即3<2x－3y〈8，∴z＝2x－3y的取值范围为(3,8）．例3①③解析由eq\f(1,a）<eq\f(1,b）〈0知a〈0,b<0，∴ab>0。不等式两端同乘以ab，得b〈a〈0。∴eq\f(1，a＋b）<0，eq\f(1,ab)>0，①对；∵b〈a〈0，∴|a|＋b＝－a＋b<0，②错;由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a>b，，－\f(1,a）>－\f（1,b)，））得a－eq\f（1，a）>b－eq\f(1，b），③对；∵b<a〈0,∴0<－a〈－b，∴0<（－a)2〈（－b)2，即0<a2〈b2，∴lna2〈lnb2，④错．跟踪训练3B[∵x〈a<0，∴x2>a2。∵x2－ax＝x(x－a)〉0，∴x2〉a