结构动力学演示文稿

结构动力学演示文稿目前一页\总数一百五十四页\编于八点§14-1概述动力荷载作用下，结构将发生振动，各种量值均随时间而变化。一、结构动力计算的特点（2）研究单自由度及多自由度的自由振动、强迫振动。1、内容：（1）研究动力荷载作用下，结构的内力、位移等计算原理和计算方法。求出它们的最大值并作为结构设计的依据。2、静荷载和动荷载（1）静荷载：荷载的大小和方向不随时间变化（如梁板自重）。（2）动荷载：荷载的大小和方向随时间变化，需要考虑惯性力。3、特点

（2）内力与荷载不能构成静平衡。必须考据惯性力。依达朗伯原理，加惯性力后，将动力问题转化为静力问题。(1)必须考虑惯性力。(3)分析自由振动即求自振频率、振型、阻尼参数等是求强迫振动动力反应的前提和准备。目前二页\总数一百五十四页\编于八点动力荷载的种类(1)周期荷载：随时间按一定规律变化的周期性荷载，如按正弦

(或余弦)规律变化的称为简谐周期荷载，也称为振动荷载。§14-1概述F(t)toF(t)=F0sint(2)冲击荷载：很快地把全部量值加于结构而作用时间很短即行消失的荷。F(t)totd目前三页\总数一百五十四页\编于八点(3)突加荷载：在一瞬间施加于结构上并继续留在结构上的荷载。(4)快速移动的荷载。高速移动的列车、汽车等。F(t)totd§14-1概述目前四页\总数一百五十四页\编于八点(5)随机荷载：变化规律不能用确定的函数关系表示的荷载。如风的脉动作用、地震等。§14-1概述目前五页\总数一百五十四页\编于八点§14-1概述结构振动的形式(1)自由振动：结构受到外部因素干扰发生振动，而在振动过程中不再受外部干扰力作用。(2)强迫振动：在振动过程中不断受外部干扰力作用。

如图所示在跨中支承集中质量的简支梁，把质点m拉离原有的弹性平衡位置，然后突然放松，则质点将在原有平衡位置附近往复振动。在振动过程中不受外来干扰，这时的振动即是自由振动。目前六页\总数一百五十四页\编于八点§14-2结构振动的自由度结构振动的自由度：结构在弹性变形过程中确定全部质点位置所需的独立参数的数目。

图a所示简支梁跨中固定一个重量较大的物体，如果梁本身的自重较小可略去，把重物简化为一个集中质点，得到图b所示的计算简图。梁在振动中的自由度=1单自由度结构—具有一个自由度的结构。多自由度结构—自由度大于1的结构。目前七页\总数一百五十四页\编于八点§14-2结构振动的自由度图a所示结构有三个集中质点。自由度=1图b所示简支梁上有三个集中质量。自由度=3图c所示刚架有一个集中质点。自由度=2自由度的数目不完全取决于质点的数目目前八页\总数一百五十四页\编于八点§14-2结构振动的自由度

图刚架上有四个集中质点，但只需要加三根链杆便可限制全部质点的位置。如图e。自由度=3图示梁，其分布质量集度为m，可看作有无穷多个mdx的集中质量，是无限自由度结构。自由度的数目与结构是否静定或超静定无关动力自由度的确定方法：加附加链杆约束质点位移，最少链杆数即为自由度或目前九页\总数一百五十四页\编于八点

图a所示机器的块式基础，当机器运转时，若只考虑基础的垂直振动，可用弹簧表示地基的弹性，用一个集中质量代表基础的质量。使结构转化为图示的单自由度结构。§14-2结构振动的自由度

图b所示的水塔，顶部水池较重，塔身重量较轻，略去次要因素后，可简化为图示的直立悬臂梁在顶端支承集中质量的单自由度结构。实际结构针对具体问题可以进行简化目前十页\总数一百五十四页\编于八点§14-3单自由度结构的自由振动

图a所示为一个简单的质点弹簧模型。取重物的静力平衡位置为计算位移y的原点，规定位移y和质点所受的力都已向下为正。(1)列动力平衡方程（刚度法）弹簧拉力(恢复力)Fe=－k11y惯性力质点处于动力平衡状态可得一、不考虑阻尼时的自由振动取振动任一时刻的质点为隔离体如图b。1、振动微分方程的建立目前十一页\总数一百五十四页\编于八点§14-3单自由度结构的自由振动(2)列位移方程（柔度法）如图c。

质点m振动时，把惯性力FI看作是静力荷载作用在体系上，则质点处的位移为对单自由度结构有可得与(1)相同的结果或为(a)命上式即为单自由度结构自由振动微分方程则有(a)目前十二页\总数一百五十四页\编于八点§14-3单自由度结构的自由振动建立振动微分方程的例：目前十三页\总数一百五十四页\编于八点§14-3单自由度结构的自由振动建立图示体系的振动微分方程：目前十四页\总数一百五十四页\编于八点方程振动的初始条件为则有可得2、运动方程的解：为一常系数线性齐次微分方程，其通解为A1和A2为任意常数，可有初始条件来确定。式中y0—初位移，—初速度。§14-3单自由度结构的自由振动目前十五页\总数一百五十四页\编于八点§14-3单自由度结构的自由振动结构的自由振动由两部分组成：一部分是初位移y0引起的，为余弦规律；一部分是初速度引起的，为正弦规律。如图a、b。目前十六页\总数一百五十四页\编于八点§14-3单自由度结构的自由振动令则有式(b)可写为(c)简谐振动如图ca—为振幅，表示质点的最大位移；—为初相角。—周期—工程频率—角频率或频率讨论：结构振动主要由三个参数a、φ和ω

有关。a和φ与外因（初位移、初速度）有关，ω只与结构特性有关，是结构固有特性，决定了结构的动力特性，即两个结构只要ω相同，动力反应相同。目前十七页\总数一百五十四页\编于八点§14-3单自由度结构的自由振动(d)g—重力加速度；Δst—重量mg所产生静力位移。式(d)表明：ω随Δst的增大而减小，即把质点放在结构最大位移处，则可得到最低的自振频率和最大的振动周期。刚度法柔度法重力法讨论：质量自重力对自振频率的影响。yst为重力mg产生的静位移，y为动位移，总位移为yst+y，动平衡方程：考虑质量重力，不影响频率和动位移。目前十八页\总数一百五十四页\编于八点§14-3单自由度结构的自由振动解：可用柔度法计算，即先求单位力产生的位移δ11，代入公式计算例14-1当不考虑梁的自重时，比较图中所示三种支承情况的梁的自振周期。自乘目前十九页\总数一百五十四页\编于八点§14-3单自由度结构的自由振动说明：随着结构刚度的增大，其自振频率也相应地增高。(a),(b)图互乘据此有δ11为超静定结构位移计算，虚设状态为静定结构，可取上页的图(a)，(a),(c)图互乘上面几种情况刚度系数k11=?目前二十页\总数一百五十四页\编于八点§14-3单自由度结构的自由振动例求下面结构的自振频率。解：水平方向振动时，总质量为2m，故目前二十一页\总数一百五十四页\编于八点§14-3单自由度结构的自由振动例求下面结构的自振频率。解：此题结构为剪切型刚架，用刚度法计算频率较简单。目前二十二页\总数一百五十四页\编于八点§14-3单自由度结构的自由振动上面杆端剪力称为杆件的侧移刚度，同层各杆侧移刚度之和称为结构的层间刚度。杆件的侧移刚度与杆端约束有关例如目前二十三页\总数一百五十四页\编于八点§14-3单自由度结构的自由振动例分别用柔度法和刚度法计算图示结构的自振频率，EI=常数。解：1、柔度法目前二十四页\总数一百五十四页\编于八点解：2、刚度法§14-3单自由度结构的自由振动求刚度系数附加链杆的水平单位位移引起的附加反力即为刚度系数。用力矩分配法计算ABBABCCB0.60.40-12i/l007.2i/l4.8i/l2.4i/l0-4.8i/l4.8i/l2.4i/l目前二十五页\总数一百五十四页\编于八点§14-3单自由度结构的自由振动例图示结构杆件刚度为无穷大，试求其自振频率。(不计杆件质量)解：本问题可由转动惯量的方法计算。J为转动惯量，k11为转动刚度。绕A点的转动惯量J为：绕A点的转动刚度k11为：目前二十六页\总数一百五十四页\编于八点§14-3单自由度结构的自由振动推导运动微分方程，将加速度项的系数简化为1，则位移项的系数为自振频率的平方。目前二十七页\总数一百五十四页\编于八点§14-3单自由度结构的自由振动例试求图示结构的自振频率。(不计杆件质量)解：目前二十八页\总数一百五十四页\编于八点§14-3单自由度结构的自由振动2、考虑阻尼作用时的自由振动阻尼力的产生：外部介质的阻力，支承的摩擦等；物体内部的作用，材料分子之间的摩擦等。

粘滞阻尼力：阻尼力与其振动的速度成正比，与速度的方向相反。—c称为阻尼系数考虑阻尼力时，质点m的受力图如图所示由动力平衡得即令则有线性常系数齐次微分方程建立振动微分方程目前二十九页\总数一百五十四页\编于八点§14-3单自由度结构的自由振动设其解为代入微分方程，得特征方程两个根为讨论(1)δ<ω—小阻尼情况：r1、r2是两个复数，方程的通解为式中—有阻尼自振频率由初始条件可得则有目前三十页\总数一百五十四页\编于八点§14-3单自由度结构的自由振动可写为(g)式中式中的位移-时间曲线如下图所示：—衰减的正弦曲线δ—衰减系数目前三十一页\总数一百五十四页\编于八点§14-3单自由度结构的自由振动设阻尼比则有一般建筑结构中ξ=0.01~0.1，可认为某一时刻tn振幅为yn，经过一个周期后的振幅为yn+1，则有等式两边取对数得振幅的对数递减量经过j个周期后，有

或动位移写成：目前三十二页\总数一百五十四页\编于八点例题§14-3单自由度结构的自由振动目前三十三页\总数一百五十四页\编于八点§14-3单自由度结构的自由振动(2)δ>ω—大阻尼情况：r1、r2是两个负实数，方程的通解为

是非周期函数，不产生振动，结构偏离平衡位置后将缓慢回复到原有位置。(3)δ=ω—临界阻尼情况：r1=r2=-δ，方程的通解为是非周期函数，不发生振动。此时阻尼比ξ=1，δ=m，可得临界阻尼系数故有—阻尼比为阻尼系数与临界阻尼系数之比。临界阻尼系数ccr是结构的固有特性。目前三十四页\总数一百五十四页\编于八点§14-3单自由度结构的自由振动小结自由振动分为无阻尼自由振动和有阻尼自由振动。无阻尼自由振动特点：结构作简谐振动，振动由初始位移和初始速度引起。振动的主要动力特性与自振频率有关，自振频率与结构的刚度成正比，与结构质量成反比。有阻尼自由振动特点：当阻尼系数小于临界阻尼系数或阻尼比小于1时，结构振动，且为衰减的简谐振动。有阻尼的自振频率小于无阻尼时的自振频率。阻尼和自振频率是反映有阻尼振动的主要特性，阻尼特性可由阻尼比表示，阻尼比可由实测结构的相邻周期的振幅比值来计算。有阻尼的振幅是随时间减少的。当阻尼系数大于等于临界阻尼系数或阻尼比大于等于1时，结构不振动，结构在偏离平衡位置后将缓慢回复到原有位置。自由振动是结构初始状态引起的振动，振动中无外界干扰。目前三十五页\总数一百五十四页\编于八点§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动强迫振动—结构在外来干扰力F(t)作用下产生的振动。如图所示，干扰力F(t)直接作用在质点m上即或结构在使用过程中遇到振动问题主要是强迫振动。

前面讨论的结构自由振动主要是讨论结构的自身的动力特性，而结构在强迫振动的时的效果是与结构的动力特性有关的。强迫振动运动微分方程的推导。简谐荷载：F(t)=F0sinθ

t，F0为荷载幅值（荷载的最大值），θ为荷载频率（圆频率）。取质点为隔离体，可得目前三十六页\总数一百五十四页\编于八点§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动微分方程的解为齐次解与特解之和。特解为满足方程的任意解。右端项为零的齐次方程的y0，即为自由振动解1、无阻尼强迫振动或设代入微分方程，得解得即目前三十七页\总数一百五十四页\编于八点§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动方程通解为：任意常数B1和B2可由初始条件t=0时，来确定。结构振动由两部分叠加：初始条件引起的自由振动和动荷载引起的纯强迫振动。前者按结构自振频率振动，后者按荷载频率振动。短时间内，自由振动部分会衰减而被忽略，只剩纯强迫振动部分。振动可分为两个阶段开始时各部分振动同时存在，此阶段称为过渡阶段。短时间后，自由振动影响可忽略，仅有强迫振动，此阶段称为平稳阶段。过渡阶段比较短，实际问题中平稳阶段比较重要，因此这里着重讨论平稳阶段的纯强迫振动，也称为稳态强迫振动。目前三十八页\总数一百五十四页\编于八点§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动平稳阶段的纯强迫振动或稳态强迫振动的表达式为式中θ为已知，主要讨论振幅A。式中得式中yst为荷载最大值产生的静位移，为位移动力系数，A为最大动位移。表明考虑动荷载时结构的最大动位移为荷载最大值产生的静位移的倍。位移动力系数相当于放大系数。目前三十九页\总数一百五十四页\编于八点§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动在结构设计中，以结构反应的最大值作为设计依据，结构动力反应的最大值可以通过计算荷载最大值产生的反应乘以动力系数得到，这样将动力问题转化为静力问题来解答，简化了计算。因此，动力系数的计算是强迫振动计算中的一项重要内容。动力系数仅与结构的自振频率和荷载频率有关，相同荷载作用下，结构自振频率不同，结构的最大反应不同。结构反应分为内力反应和位移（变形）反应，动力系数也分为内力动力系数和位移动力系数。对单自由度体系，当荷载作用于质点上时（即惯性力与荷载作用点和方向相同时），内力动力系数与位移动力系数相同，统称为动力系数。对于多自由度体系和当荷载不作用于质点上时，没有统一的位移动力系数和内力动力系数。目前四十页\总数一百五十四页\编于八点§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动当θ<ω时：μ为正，动力位移与动力荷载同向；当θ>ω时：μ为负，动力位移与动力荷载反向。μ随θ/ω

而变化，当干扰力频率θ接近于结构的自振频率ω时，动力系数迅速增大；θ=ω时，理论上μ无穷大，此时内力和位移都将无限大→共振。工程设计中应尽量避免发生共振

通常取θ/ω<0.75和θ/ω>1.25。目前四十一页\总数一百五十四页\编于八点§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动例计算下面结构在干扰力作用下质量的最大位移和结构的最大弯矩。已知干扰力频率为，F0=10kN，l=4m。解：目前四十二页\总数一百五十四页\编于八点§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动例14-2如图发电机的重量G=35kN，梁的I=8.8×10-5m4，E=210GPa，发电机转动时离心力的垂直分力幅值F=10kN。不考虑阻尼，试求当发电机转数为n=500r/min时，梁的最大弯矩和挠度（不计梁的自重）。解：在G作用下，梁中点的最大静位移为自振频率为干扰力频率为求得动力系数梁中点的最大弯矩梁中点最大挠度目前四十三页\总数一百五十四页\编于八点§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动例计算下面结构在干扰力作用下质量的最大位移和结构的最大弯矩。已知干扰力频率为，F0=10kN，l=4m。目前四十四页\总数一百五十四页\编于八点§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动

图a所示简支梁，干扰力不作用在质点上。建立质点m的振动方程。F=1作用在点1时使点1产生的位移为δ11，如图b。F=1作用在点2时使点1产生的位移为δ12，如图c。作用在质点m上的惯性力为

在惯性力FI和干扰力F(t)共同作用下，任一时刻质点m处的位移为即目前四十五页\总数一百五十四页\编于八点

可以看成作用于质量上的等效荷载。与F(t)产生相同的质点位移，但其他位移和内力不同。§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动此时，位移动力系数与内力动力系数不同。等效质点动荷载综上所述，结构在简谐荷载F=F0sinθt作用下，速度为加速度为作用于质点上的惯性力为位移为可以看出，干扰力、位移和惯性力是同步的，即同时达到最大值。目前四十六页\总数一百五十四页\编于八点§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动因此结构的最大反应可以看成是由荷载最大值和惯性力最大值共同作用产生的。惯性力最大值为：将F0和θ

2Am

同时作用于结构上，按静力学的方法就可求出结构的最大位移和最大内力。目前四十七页\总数一百五十四页\编于八点§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动例计算下面结构在干扰力作用下质量的最大位移和结构的最大弯矩。已知干扰力频率为，F0=10kN，l=4m。解得：目前四十八页\总数一百五十四页\编于八点§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动将荷载最大值和惯性力最大值同时作用到结构上，并画出弯矩图由弯矩图可知最大弯矩为目前四十九页\总数一百五十四页\编于八点§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动例计算下面结构在干扰力作用下质量的最大位移和结构的最大弯矩。已知干扰力频率为，F0=10kN，l=4m。目前五十页\总数一百五十四页\编于八点§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动动弯矩幅值图最大位移发生在哪里？值为多少？目前五十一页\总数一百五十四页\编于八点§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动2、有阻尼强迫振动微分方程的解：齐次方程的解y0，与干扰力F(t)相应的特解设特解为代入方程解出目前五十二页\总数一百五十四页\编于八点§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动将y0与特解合并，由初始条件可得目前五十三页\总数一百五十四页\编于八点§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动(1)由初始条件决定的自由振动；(2)伴随干扰力的作用发生的振动频率为ω’，称为伴生自由振动；(3)按干扰力频率θ振动，称为纯强迫振动或稳态强迫振动如图。前两部分振动很快衰减掉，最后只剩下纯强迫振动。过渡阶段—振动开始的一段时间内几种振动同时存在的阶段；平稳阶段—纯强迫振动阶段。由解答的表达式可知，振动由三部分组成：振动可分为两个阶段过渡阶段比较短，实际问题中平稳阶段比较重要，因此这里着重讨论平稳阶段的纯强迫振动，即解答的第三部分。目前五十四页\总数一百五十四页\编于八点§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动将第三项写为振幅相位差振幅A可写为—动力系数*注：有阻尼的纯强迫振动不是衰减的。目前五十五页\总数一百五十四页\编于八点§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动动力系数μ与θ/ω及ξ的关系如图所示。目前五十六页\总数一百五十四页\编于八点§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动相位差φ与θ/ω及ξ的关系如图所示。目前五十七页\总数一百五十四页\编于八点§14-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动讨论(1)

θ<<ω时，θ/ω很小，μ接近于1。可近似地将F0sinθt作为静力荷载。此时振动很慢，因而FI、FR都很小。荷载主要由弹性力平衡。无阻尼时，位移与荷载是同步的；有阻尼时，位移与荷载基本上同步。(2)

θ>>ω时，μ很小，质量近似于不动或作振幅很微小的颤动。结构的Fe、FR可以忽略，位移与荷载的相位差为180°。荷载主要由惯性力平衡。(3)

θ→ω时，μ增加很快，μ受阻尼的影响很大。荷载主要由阻尼力平衡。当阻尼较小时，μ值很大，共振现象仍很危险。工程设计中一般常取目前五十八页\总数一百五十四页\编于八点§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动瞬时冲量：荷载F(t)在极短的时间Δt≈0内给与振动物体的冲量瞬时冲量作用下的振动问题

图a所示荷载大小为F，作用时间为Δt

，其冲量I=FΔt

，即图中阴影部分的面积。瞬时冲量作用下质点的动量增值为由可得

当质点获得初速度后冲量即时消失，质点在这种冲击下将产生自由振动。将初始条件代入式(g)可得瞬时冲量I作用下质点m的位移方程为目前五十九页\总数一百五十四页\编于八点§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动

若瞬时冲量不是在t=0而是在t=τ时加于质点上，其位移方程为

图b所示一般形式的干扰力F(t)可认为是一系列微小冲量F(τ)dτ连续作用的结果，应此有(k)不考虑阻尼ξ=0，ω’=ω则有(m)式(k)及式(m)—称为杜哈梅积分目前六十页\总数一百五十四页\编于八点§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动若在t=0质点原来还具有初始位移和初始速度，则质点位移为若不考虑阻尼则有(n)目前六十一页\总数一百五十四页\编于八点§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动（1）突加荷载。变化规律如图a所示。设：加载前结构处于静止状态，将

F(τ)=F代入式(k)求得其振动曲线如图b。时最大动位移yd为动力系数为不考虑阻尼目前六十二页\总数一百五十四页\编于八点§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动（2）短期荷载。变化规律如图所示。当t=0时，有突加荷载加入并一直作用在结构上；当t=t0时，有一个大小相等方向相反的突加荷载加入。利用（1）得到的突加荷载作用下的计算公式按叠加法求解：自由振动目前六十三页\总数一百五十四页\编于八点当t0<T/2时，最大位移发生在后一阶段。动力系数为与荷载作用时间长短有关当t0>T/2时，最大位移发生在前一阶段。短期荷载的最大动力效应与突加荷载相同。§14-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动目前六十四页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动

工程实际中有很多结构是不宜简化为单自由度体系计算的。例如多层房屋、多跨不等高工业厂房以及烟囱等,都必须按多自由度体系来处理。

图示等截面烟囱，将其分为八段，从上到下将每两段的质量集中于其中点，将一个无限自由度的体系简化为四个自由度体系。目前六十五页\总数一百五十四页\编于八点1、振动微分方程的建立§14-6多自由度结构的自由振动柔度法柔度矩阵质量矩阵加速度向量位移向量目前六十六页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动刚度法弹性恢复力如何计算？Fe1=-FR1，Fe2=-FR2FR1和FR2如何计算？由叠加原理：由质量的平衡条件，得目前六十七页\总数一百五十四页\编于八点其中(质量矩阵）(位移向量）(加速度向量）或(刚度矩阵）§14-6多自由度结构的自由振动目前六十八页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动由和可知上面两个方程是同一方程的两个表达方式与单自由度的运动方程比较，将质量、刚度、加速度和位移分别换成质量矩阵，刚度矩阵，加速度向量和位移向量，方程的形式相似。（便于记忆）如目前六十九页\总数一百五十四页\编于八点柔度法将各质点的惯性力看作是静荷载如图a。结构上任一质点mi处的位移应为δii、δij为柔度系数其物理意义见图b、c。由此，可以建立n个位移方程多自由度结构无阻尼自由振动微分方程推广到n个自由度的情况§14-6多自由度结构的自由振动目前七十页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动写成矩阵形式为简写为[δ]为结构的柔度矩阵，是对称矩阵。[M]为质量矩阵，在集中质点的结构中是对角矩阵；

为加速度列向量；{Y}为位移列向量。目前七十一页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动刚度法

图a所示无重量简支梁，略去梁的轴向变形和质点的转动，为n个自由度的结构。加入附加链杆阻止所有质点的位移，如图b。各质点的惯性力为各链杆的反力为令各链杆发生与各质点实际位置相同的位移，如图c。各链杆上所需施加的力为目前七十二页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动不计阻尼，各链杆上的总反力应等于零。以质点mi为例有kii、kij为刚度系数其物理意义见图d、e。可得i质点的动力平衡方程为目前七十三页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动对每个质点都列出一个动力平衡方程，于是可得写成矩阵形式为多自由度结构无阻尼自由振动微分方程目前七十四页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动简写为式中：[K]为刚度矩阵，是对称矩阵；由柔度矩阵与刚度矩阵是互为逆阵。记忆方法：和单自由度比较刚度法柔度法（形式与单自由度相同）目前七十五页\总数一百五十四页\编于八点微分方程解答——振动特点§14-6多自由度结构的自由振动设位移方程的特解为代入位移方程可得振幅方程1、按柔度法求解这是一组各质点按同一频率振动，只是振幅不同。目前七十六页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动写成矩阵形式式中—振幅列向量[I]为单位矩阵。要得到振幅不全为零的解答，振幅方程组的系数行列式为零。频率方程目前七十七页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动

将行列式展开→含

ω2的n次代数方程，从而可得到n个自振频率ω1，ω2，…，ωn，将频率从小到大排列，分别称为第一，第二，…，第n频率。将任一ωk代入特解得此时各质点按同一频率ωk作同步简谐振动，各质点位移的比值为任何时刻结构的振动都保持同一形状。主振动—多自由度结构按任一自振频率ωk进行的简谐振动。主振型—相应的特定振动形式，简称振型。目前七十八页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动将ωk代回振幅方程得可写为

系数行列式为零，n个方程中只有(n-1)个是独立的，不能确定各质点的幅值，但可确定其比值即振型。目前七十九页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动—振型向量设，即可求出其余各元素的值，此时振型称为标准化振型。主振动的线性组合构成振动微分方程的一般解：各主振动分量的振幅、初相角由初始条件确定。自振频率、振型：与结构的质量分布和柔度系数有关；反映了结构本身固有的动力特性。目前八十页\总数一百五十四页\编于八点两个自由度体系的自由振动设(柔度矩阵）则§14-6多自由度结构的自由振动目前八十一页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动振幅方程为频率方程为令解得设解为目前八十二页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动可得两个自振频率求第一阵型将ω=ω1代入振幅方程可得求第二阵型将ω=ω2代入振幅方程可得代入振幅方程，得振型方程两个方程不独立，可由第一个方程解出两个主振型质点位移的比值目前八十三页\总数一百五十四页\编于八点【例】试求结构的自振频率和振型.1l/41l/2图图m1=mm2=2ml/2l/2l/2EI=常数解(1)求柔度系数(2)求频率§14-6多自由度结构的自由振动目前八十四页\总数一百五十四页\编于八点(3)求振型第一振型第二振型10.30511.639§14-6多自由度结构的自由振动目前八十五页\总数一百五十四页\编于八点【例】图示刚架，在梁跨中D处和柱顶A处有大小相等的集中质量m，支座C处为弹性支承，弹簧的刚性系数k=(3EI)/l3。试求自振频率和振型。

1.求柔度系数

解：体系有两自由度，A处质点的水平位移和D处质的竖向位移。

绘制M1、M2图,由图乘及弹簧内力虚功计算得§14-6多自由度结构的自由振动目前八十六页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动2.写出振型方程（a）3.写出频率方程，求频率展开式为解得相应的频率为目前八十七页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动第一主振型第二主振型λ2=2.9174.求振型并绘出振型图由所得结果绘出振型λ1=27.083振型向量为目前八十八页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动例14-3试求图a所示等截面简支梁的自振频率并确定主振型。解：自由度=2，由图b、c可得求得得到目前八十九页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动第一阵型第二阵型如图d，振型是正对称的。如图e，振型是反对称的。结构的刚度和质量分布是对称的，则其主振型是正对称的或反对称的。取一半结构计算。目前九十页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动例计算图示结构的自振频率和主振型。EI=常数。解：结构对称，振型分为对称和反对称。可取半结构计算，简化为单自由度计算对称振型反对称振型第一振型第二振型目前九十一页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动例14-4图a所示刚架各杆EI都为常数，假设其质量集中于各结点处，m2=1.5m1。试确定其自振频率和相应的振型。解：结构是对称的，其振型为正、反对称两种。由受弯直杆的假定，判定不可能发生正对称形式的振动，其振型只能是反对称的。可取图b所示一半结构计算。超静定结构目前九十二页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动作超静定结构在F1=1和F2=1作用下的弯矩图，如图a、b。取静定的基本结构作图，如图c、d。计算得目前九十三页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动有可得第一阵型第二阵型反对称振动，质点同向振动反对称振动，质点反向振动目前九十四页\总数一百五十四页\编于八点例题试求结构的自振频率和振型.EI=常数mml/4l/4l/4l/4m13l/161l/4图图13l/16图解(1)求柔度系数§14-6多自由度结构的自由振动目前九十五页\总数一百五十四页\编于八点(2)求频率§14-6多自由度结构的自由振动目前九十六页\总数一百五十四页\编于八点(3)求振型令每个振型的第一个元素为1，得11.4141第三振型(正对称)第二振型(反对称)11第一振型(正对称)11.4141§14-6多自由度结构的自由振动目前九十七页\总数一百五十四页\编于八点设解为代入微分方程振型向量振动时，方程必须有非零解，方程系数行列式为零：频率方程由频率方程可解出自振频率，代回振幅方程得振幅方程确定相应主振型2、按刚度法求解§14-6多自由度结构的自由振动目前九十八页\总数一百五十四页\编于八点或§14-6多自由度结构的自由振动两个自由度设特解为即即目前九十九页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动代入运动方程，约去sin(ωt+φ)有非零解时，系数行列式等于零得振幅方程为目前一百页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动两个自由度的结构频率方程为展开解得两个方程不独立，可由第一个方程解出两个主振型质点位移比值为代入振幅方程，得振型方程目前一百零一页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动例计算图示结构的自振频率和主振型。解：1、解释概念：层间侧移刚度层间侧移刚度：第i层之间发生单位侧移时水平力。用ki表示，也称为层间总剪力。其值等于该层各柱的侧移刚度之和。2、用层间刚度表示的刚度系数目前一百零二页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动柱的侧移刚度：发生柱端单位侧移时的侧向力（即柱的剪力）。目前一百零三页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动两个主振型为目前一百零四页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动例计算图示结构的自振频率和主振型。已知横梁刚度无穷大，立柱刚度为EI=常数。解：结构对称，振型分为对称和反对称。可取半结构计算，简化为单自由度计算请同学们自己绘出两个主振型。目前一百零五页\总数一百五十四页\编于八点例14-5图a所示三层刚架横梁的刚度可视为无穷大，设刚架的质量集中在各层的横梁上。试确定其自振频率和主振型。§14-6多自由度结构的自由振动解：刚架振动时各横梁只能水平移动，自由度=3，结构的刚度系数如图b、c、d。目前一百零六页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动建立刚度矩阵为质量矩阵为目前一百零七页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动有由频率方程得展开解得自振频率目前一百零八页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动确定主振型将ωk=ω1即ηk=η1=0.392代入振幅方程有设标准化的第一振型为同理可求得目前一百零九页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动第一、二、三振型分别如图a、b、c。目前一百一十页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动主振型的正交性n个自由度的结构有n个自振频率及n个主振型，每一频率及相应的主振型均满足振幅方程即：分别设k=i，k=j，可得两边左乘以两边左乘以则有[K]、[M]均为对称矩阵，将第二个式子两边转置有和目前一百一十一页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动将第一式减去第三式得当i≠j时，ωi

≠ωj，应有此式表明对于质量矩阵[M]，不同频率的两个主振型是彼此正交的。也可由上页的式子得此式表明对于刚度矩阵[K]，不同频率的两个主振型是彼此正交的。

主振型的正交性是结构本身固有的特性，可以用来简化结构的动力计算，可用以检验所得主振型是否正确。目前一百一十二页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动例验证图示结构主振型的正交性。解：前面已经解除了主振型，质量矩阵刚度矩阵表明关于[M]和[k]都满足正交性，解答正确。目前一百一十三页\总数一百五十四页\编于八点§14-6多自由度结构的自由振动例两自由度结构的质量矩阵为两主振型中一个为求另一个主振型。设另一个主振型为由振型正交性得解得所求振型为目前一百一十四页\总数一百五十四页\编于八点简谐荷载作用下的纯强迫振动

图(a)所示无重量简支梁，用柔度法建立振动微分方程。任一质点mi的位移yi为式中各动力荷载幅值在质点mi处引起的静力位移对n个质点有§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动运动微分方程的建立1、柔度法目前一百一十五页\总数一百五十四页\编于八点写成矩阵形式式中—荷载幅值引起的静力位移向量纯强迫振动的解答为为质点mi的振幅。代入位移方程可得—振幅方程§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动目前一百一十六页\总数一百五十四页\编于八点或写为式中I是单位矩阵，Y0是振幅向量。求解此方程即得各质点在纯强迫振动中的振幅，从而得各质点的惯性力为—惯性力的最大值结论：位移、惯性力、干扰力将同时达到最大值。

计算最大动力位移和内力时，可将惯性力、干扰力的幅值作为静力荷载加于结构上计算，如图b。§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动目前一百一十七页\总数一百五十四页\编于八点将振幅方程改写为可写为最大惯性力向量当θ=ωk(k=1,2,…,n)，振幅、惯性力、内力值均为无限大—共振§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动目前一百一十八页\总数一百五十四页\编于八点§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动例14-6图a为一等截面刚架，已知m1=1kN，

m2=0.5kN，F=5kN，每分钟振动300次，l=4m，

EI=5×103kN·m2。试作刚架的最大动力弯矩图。解：此对称刚架承受反对称荷载，可取图b所示半刚架计算。三个自由度：m1的水平位移m2的水平位移m3的竖向位移目前一百一十九页\总数一百五十四页\编于八点—m1的最大惯性力—m2沿水平、竖向最大惯性力则有(1)§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动目前一百二十页\总数一百五十四页\编于八点求系数和自由项，作相应弯矩图如图c~f。由图乘法得§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动目前一百二十一页\总数一百五十四页\编于八点集中质量的数值为振动荷载的频率为代入式(1)得解得由叠加法最大动力弯矩图如图g。§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动目前一百二十二页\总数一百五十四页\编于八点

图a所示n个自由度的结构，当干扰力均作用在质点处时，可得动力平衡方程为写成矩阵形式若干扰力为同步简谐荷载式中F=(F1

F2…Fn)T，为荷载幅值列向量。§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动目前一百二十三页\总数一百五十四页\编于八点在平稳阶段各质点均按频率θ作同步简谐振动。代入动力平衡方程整理得求得各质点振幅值各质点的惯性力为可得求得惯性力幅值

位移、惯性力、干扰力同时达到最大值，将FI、F(t)最大值作为静力荷载作用于结构，计算最大动力位移和内力。§14-7多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动目前一百二十四页\总数一百五十四页\编于八点§14-8振型分解法多自由度结构无阻尼强迫振动微分方程为只有集中质量的结构，M为对角阵，K不是对角阵—方程藕联各质点的位移向量—几何坐标坐标变换结构标准化的主振型向量表示为设—位移向量按主振型分解展开目前一百二十五页\总数一百五十四页\编于八点§14-8振型分解法简写为把几何坐标Y变换成数目相同的另一组新坐标—正则坐标—主振型矩阵，几何坐标与正则坐标之间的转换矩阵令—第i个主振型的广义质量—广义质量矩阵，对角矩阵目前一百二十六页\总数一百五十四页\编于八点§14-8振型分解法—广义刚度矩阵，对角矩阵主对角线上的任一元素利用振型正交性可得令i=j，可得或与单自由度结构的频率公式相似目前一百二十七页\总数一百五十四页\编于八点§14-8振型分解法设有—广义荷载向量—相应第i个主振型的广义荷载振动方程变换为—解除藕联，各自独立目前一百二十八页\总数一百五十四页\编于八点§14-8振型分解法整理得—与单自由度结构无阻尼强迫振动方程形式相同。初位移、初速度为零时，由杜哈梅积分求得—n个自由度结构的计算简化为n个单自由度计算问题振型分解法（振型叠加法）：将位移Y分解为各主振型的叠加目前一百二十九页\总数一百五十四页\编于八点§14-8振型分解法振型分解法计算步骤(1)求自振频率和振型(2)计算广义质量和广义荷载(3)求解正则坐标的振动微分方程(4)计算几何坐标求出各质点位移→计算其他动力反应。与单自由度问题一样求解。目前一百三十页\总数一百五十四页\编于八点§14-8振型分解法例14-7图a所示结构在结点2处受有突加荷载作用，试求两结点的位移和梁的弯矩。解：(1)结构的自振频率和振型(图b、c)(2)广义质量目前一百三十一页\总数一百五十四页\编于八点§14-8振型分解法广义荷载(3)求正则坐标(4)求位移目前一百三十二页\总数一百五十四页\编于八点§14-8振型分解法两质点位移图形状如图d。目前一百三十三页\总数一百五十四页\编于八点§14-8振型分解法(5)求弯矩两质点的惯性力为由图e可求梁的动弯矩，如目前一百三十四页\总数一百五十四页\编于八点§14-9无限自由度结构的振动

图a所示具有均布质量的单跨梁，其振动时弹性曲线上任一点的位移y是横坐标x和时间t的函数：设：梁的均布自重为q，单位长度的质量m=q/g，

惯性力的集度为取微段隔离体如图b。由材料力学可得目前一百三十五页\总数一百五十四页\编于八点§14-9无限自由度结构的振动如梁上承受均布简谐荷载psinθt，则梁的振动微分方程为或微分方程的解有两部分：相应齐次方程的一般解-梁的自由振动特解-梁的强迫振动(1)梁的自由振动微分方程为设位移y为坐标位置函数F(x)和时间函数T(t)之积，即代入微分方程有目前一百