自动控制原理第七章2

7-4脉冲传递函数一、脉冲传递函数的定义脉冲传递函数：零初始条件下，线性定常离散系统输出采样信号的z变换与输入采样信号的z变换之比(Z传递函数)。虚拟采样开关5/25/20231自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前一页\总数四十九页\编于十一点2．单个环节脉冲传递函数的推导当输入信号为如下的脉冲序列时根据叠加原理，输出信号为一系列脉冲响应之和，即在t=kT时刻，输出的脉冲值为根据卷积定理，可得上式的z变换5/25/20232自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前二页\总数四十九页\编于十一点注意：经虚设采样开关得到的脉冲序列反映的是连续输出在采样时刻的瞬时值。脉冲传函给出了两个离散信号之间的传递关系。可见：(1)脉冲传递函数是系统单位脉冲响应g(t)经采样后离散信号g*(t)的z变换。（连续系统）(2)系统响应速度越快，g(t)衰减越快，G(z)展开式中包含项越少。(3)如果已知R(z)和G(z)，则在零初始条件下，线性定常离散系统的输出采样信号为：5/25/20233自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前三页\总数四十九页\编于十一点脉冲传递函数定义为输出采样信号的z变换与输入采样信号的z变换之比（因此也称Z传递函数）系统输出的采样信号为5/25/20234自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前四页\总数四十九页\编于十一点例7-10：系统结构如图所示，其中连续部分的传递函数为求该开环系统的脉冲传递函数G(z)。解：连续部分的脉冲响应函数为

5/25/20235自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前五页\总数四十九页\编于十一点或由

查表得脉冲传递函数为5/25/20236自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前六页\总数四十九页\编于十一点3.串联环节的脉冲传递函数（1）串联环节间无采样开关时的脉冲传递函数5/25/20237自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前七页\总数四十九页\编于十一点例7-11：系统结构如上图所示，求开环脉冲传递函数，其中解：5/25/20238自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前八页\总数四十九页\编于十一点(2)串联环节间有采样开关且同步时的脉冲传递函数此时，脉冲传递函数为各个连续环节z变换的乘积。取z变换5/25/20239自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前九页\总数四十九页\编于十一点例7-12：系统结构如图7-12(b)所示，求开环脉冲传递函数，其中解：所以由于5/25/202310自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前十页\总数四十九页\编于十一点（3）有零阶保持器时的脉冲传递函数（中间无采样开关）开环脉冲传递函数为

图7-13带零阶保持器的开环采样系统5/25/202311自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前十一页\总数四十九页\编于十一点例7-13：系统结构如图7-13所示，其中采样周期T=1秒，求其开环脉冲传递函数。解：5/25/202312自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前十二页\总数四十九页\编于十一点4.闭环脉冲传递函数5/25/202313自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前十三页\总数四十九页\编于十一点于是闭环系统的脉冲传递函数和误差脉冲传递函数为取z变换5/25/202314自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前十四页\总数四十九页\编于十一点例7-14：闭环采样系统的结构如图7-14所示，采样周期T=1秒，求闭环脉冲传递函数。其中若r(t)=1(t)，求c*(t)。解：5/25/202315自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前十五页\总数四十九页\编于十一点则输出信号的z变换为对于阶跃输入函数有5/25/202316自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前十六页\总数四十九页\编于十一点几点说明：不是所有的闭环系统都能写出闭环脉冲传递函数。由于系统中采样开关数目和位置的不同，有的系统只能给出输出的z变换。如果在E(s)处存在采样开关，一般可以写出闭环脉冲传递函数。对于一个等式中含有的离散信号取z变换时，可以单独取。5/25/202317自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前十七页\总数四十九页\编于十一点(2)数字控制系统图7-15数字控制系统采样开关的输入和系统的输出分别为5/25/202318自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前十八页\总数四十九页\编于十一点可得于是闭环系统的传递函数为整理得

5/25/202319自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前十九页\总数四十九页\编于十一点

7.5离散系统的稳定性和稳态误差7.5.1稳定性1.从s平面到z平面的映射关系由Z变换的定义若令则有5/25/202320自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前二十页\总数四十九页\编于十一点虚轴映射为单位圆(σ=0时，|z|=1)左半平面映射为单位圆内(σ<0时，|z|<1)；右半平面映射为单位圆外(σ>0时，|z|>1)5/25/202321自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前二十一页\总数四十九页\编于十一点系统的特征根为即为闭环传递函数极点2.Z域的稳定条件和稳定性判据对于下图所示的采样控制系统，其特征方程式为结论：闭环采样系统稳定的充分必要条件是，系统特征方程的所有根均分布在z平面的单位圆内，或者所有根的模均小于1，即5/25/202322自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前二十二页\总数四十九页\编于十一点在分析连续系统时，曾经应用Routh稳定判据判断系统的特征根位于s右半平面的个数，并依此来判断系统的稳定性。对于采样系统，也可用Routh判据分析其稳定性，但由于在z域中稳定区域是单位圆内，而不是左半平面，因此不能直接应用Routh判据。必须采用一种变换方法，使z平面上的单位圆映射为新坐标系的虚轴。双线性变换可建立z平面单位圆与变换后坐标系虚轴之间的对应关系。5/25/202323自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前二十三页\总数四十九页\编于十一点则令复变量z=x+jy,w=u+jv

代入右上式得对于w平面上的虚轴，实部u=0，即x2+y2＝1这就是z平面上以坐标原点为圆心的单位圆的方程。单位圆内x2+y2＜1，对应于w平面上u为负数的虚轴左半部；单位圆外x2+y2＞1，对应于w平面上u为正数的虚轴右半部。引入双线性变换5/25/202324自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前二十四页\总数四十九页\编于十一点例7-15设采样系统如图7-18所示，采样周期T=0.25s，求能使系统稳定的K值范围。5/25/202325自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前二十五页\总数四十九页\编于十一点解开环脉冲传递函数为

闭环传递函数为闭环系统的特征方程为1+G(z)=0令，T=0.25s代入上式得5/25/202326自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前二十六页\总数四十九页\编于十一点整理后可得列劳斯表为w20.158K 2.736－0.158Kw11.264w02.736－0.158K要使系统稳定，必须使劳斯表中第一列各项大于零，即0.158K＞0 和2.736－0.158K＞0所以使系统稳定的K值范围是0＜K＜17.3。5/25/202327自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前二十七页\总数四十九页\编于十一点由特征方程T=0.25s代入上式得由特征根公式令|z1,2|<1，可得使系统稳定的K值范围是0＜K＜17.3。除了应用劳斯方法，还有没有其他方法？|z|<15/25/202328自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前二十八页\总数四十九页\编于十一点说明：对于本例的二阶系统，如果没有采样作用，则不论K取何值，系统都是稳定的；但引入采样以后，系统可能不稳定。采样周期越长，系统稳定性越差(因为采样→丢失了部分信息→稳定性变差)。5/25/202329自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前二十九页\总数四十九页\编于十一点7.5.2数字控制系统稳态误差设单位反馈采样控制系统如图7-19所示

与连续系统类似，系统的误差5/25/202330自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前三十页\总数四十九页\编于十一点设闭环系统稳定，根据终值定理可以求出在输入信号作用下采样系统的稳态误差终值在连续系统中，如果开环传递函数G(s)具有ν个s=0的极点，则由z=eTs可知相应G(z)必有ν个z=1的极点。同样，在离散系统中，也可把开环传递函数G(z)具有z=1的极点数，作为划分系统型别的标准。把G(z)中ν=0，1，2…的系统称为0型、Ⅰ型和Ⅱ型（离散）系统等。5/25/202331自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前三十一页\总数四十九页\编于十一点当输入为单位阶跃信号1(t)时，代入esr的表达式得当输入为单位斜坡信号t时，5/25/202332自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前三十二页\总数四十九页\编于十一点稳态位置误差系数

稳态速度误差系数

稳态加速度误差系数

5/25/202333自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前三十三页\总数四十九页\编于十一点例7-15：已知系统的结构如图所示，其中采样周期T=0.2s，

求在输入信号r(t)=1+t+0.5t2(t>0)的作用下，系统的稳态误差。5/25/202334自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前三十四页\总数四十九页\编于十一点解：采样系统的闭环特征方程为采样系统的开环脉冲传递函数为双线性变换：系统稳定。5/25/202335自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前三十五页\总数四十九页\编于十一点II型系统，在阶跃和斜坡函数作用下的稳态误差为零，静态加速度误差系数为因此，在输入r(t)=1+t+0.5t2作用下的稳态误差为5/25/202336自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前三十六页\总数四十九页\编于十一点7.6离散系统的动态性能分析若可以求出离散系统的闭环传递函数G(z)=C(z)/R(z)，其中输入R(z)通常为单位阶跃函数，即R(z)=z/(z-1)，则系统输出量的z变换函数将上式展成幂级数，通过z反变换，可以求出输出信号的脉冲序列c(k)或c*(t)。由于离散系统的时域指标与连续系统相同，故根据单位阶跃响应曲线c(k)可以方便地分析离散系统的动态性能。5/25/202337自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前三十七页\总数四十九页\编于十一点例7-16设采样系统如图7-19所示，采样周期T=0.1s，求系统指标和的近似值，其中

解：闭环脉冲传递函数为

5/25/202338自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前三十八页\总数四十九页\编于十一点系统的阶跃响应为用长除法得

输出信号的脉冲序列将c*(t)在各采样时刻的值用“*”标于图7-20中，光滑地连接图中各点，便得到了系统输出相应曲线c(t)的大致波形。5/25/202339自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前三十九页\总数四十九页\编于十一点由该波形曲线可得，5/25/202340自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前四十页\总数四十九页\编于十一点Z平面ImRe01闭环实极点分布与相应的动态响应形式5/25/202341自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前四十一页\总数四十九页\编于十一点ImRe1–1闭环复极点分布与相应的动态响应形式5/25/202342自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前四十二页\总数四十九页\编于十一点7.7采样系统的数字校正如图所示的闭环采样系统闭环脉冲传递函数为图7-21含数字校正装置的采样系统5/25/202343自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前四十三页\总数四十九页\编于十一点最少拍系统：在典型输入作用下，能以有限拍结束响应过程，并且采样点上没有稳态误差。设计原则：由最少拍系统设计原则，应有e

(∞)=05/25/202344自动控制原理》第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统第七章离散系统目前四十四页\总数四十九页\编于十一点系统的误差为其中A(z)为z-