数学分析知识点总结

第一章实数集与函数§1实数讲课章节：第一章实数集与函数——§1实数教学目标：使学生掌握实数基本性质．教学重点：(1)了解并熟练利用实数有序性、稠密性和封闭性；(2)紧记并熟练利用实数绝对值关于性质以及几个常见不等式．（它们是分析论证主要工具）教学难点：实数集概念及其应用．教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：引言上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材次序给大家介绍这门课程主要内容．首先，从大家都较为熟悉实数和函数开始．[问题]为何从“实数”开始．答：《数学分析》研究基本对象是函数，但这里“函数”是定义在“实数集”上（后继课《复变函数》研究是定义在复数集上函数）．为此，我们要先了解一下实数关于性质．一、实数及其性质1、实数．[问题]有理数与无理数表示不统一，这对统一讨论实数是不利．为以下讨论需要，我们把“有限小数”（包含整数）也表示为“无限小数”．为此作以下要求：对于正有限小数其中，记；对于正整数则记；对于负有限小数（包含负整数），则先将表示为无限小数，现在所得小数之前加负号．0表示为0＝例：；

利用上述要求，任何实数都可用一个确定无限小数来表示．在此要求下，怎样比较实数大小？2、两实数大小比较1）定义1给定两个非负实数，.其中为非负整数，为整数，．若有，则称与相等，记为；若或存在非负整数，使得，而，则称大于或小于，分别记为或．对于负实数、，若按上述要求分别有或，则分别称为与（或）．要求：任何非负实数大于任何负实数．实数比较大小等价条件（经过有限小数来比较）．定义2（不足近似与过剩近似）：为非负实数，称有理数为实数位不足近似；称为实数位过剩近似，.对于负实数，其位不足近似；位过剩近似.注：实数不足近似当增大时不减，即有；过剩近似当n增大时不增，即有．命题：记，为两个实数，则等价条件是：存在非负整数n，使（其中为位不足近似，为位过剩近似）．命题应用例1．设为实数，，证实存在有理数，满足．证实：由，知：存在非负整数n，使得．令，则r为有理数，且．即．3、实数惯用性质（详见附录Ⅱ．）．1）封闭性（实数集对）四则运算是封闭．即任意两个实数和、差、积、商（除数不为0）仍是实数．2）有序性：，关系，三者必居其一，也只居其一.3）传递性：，．4）阿基米德性：使得．5）稠密性：两个不等实数之间总有另一个实数．6）一一对应关系：实数集与数轴上点有着一一对应关系．例2．设，证实：若对任何正数，有，则．（提醒：反证法．利用“有序性”，取）二、绝对值与不等式1、绝对值定义实数绝对值定义为．2、几何意义从数轴看，数绝对值就是点到原点距离．表示就是数轴上点与之间距离．3、性质1）（非负性）；2）；3），；4）对任何有（三角不等式）；5）；6）（）．三、几个主要不等式1、2、均值不等式:对记(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)有平均值不等式:即：等号当且仅当初成立.3、Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证实过)有不等式当且,且时,有严格不等式证：由且4、利用二项展开式得到不等式:对由二项展开式有上式右端任何一项.［练习］P4．5［课堂小结］：实数：.[作业]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3§2数集和确界原理讲课章节：第一章实数集与函数——§2数集和确界原理教学目标：使学生掌握确界原理，建立起实数确界清楚概念.教学要求：(1)掌握邻域概念；(2)了解实数确界定义及确界原理，并在关于命题证实中正确地加以利用.教学重点：确界概念及其关于性质（确界原理）.教学难点：确界定义及其应用.教学方法：讲授为主.教学程序：先经过练习形式复习上节课内容，以检验学习效果，今后导入新课.引言上节课中我们对数学分析研究关键问题作了简明讨论；今后又让大家自学了第一章§1实数相关内容.下面，我们先来检验一下自学效果怎样！1、证实：对任何有：(1)；(2).（）（）2、证实：.3、设，证实：若对任何正数有，则.4、设，证实：存在有理数满足.[引申]：①由题1可联想到什么样结论呢？这么思索是做科研时经常思绪之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否详细问题引出通常结论：通常方法？②由上述几个小题能够体会出“大学数学”习题与中学不一样；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业习题要尽可能多做，以加深了解，语言应用.提请注意这种差异，尽快掌握本门课程术语和工具.本节主要内容：1、先定义实数集R中两类主要数集——区间与邻域；2、讨论有界集与无界集；3、由有界集界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.一、区间与邻域区间（用来表示变量改变范围）设且.，其中2、邻域联想：“邻居”.字面意思：“邻近区域”.与邻近“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲“邻域”呢？就是“关于对称区间”；怎样用数学语言来表示呢？（1）邻域：设，满足不等式全体实数集合称为点邻域，记作，或简记为，即.其中（2）点空心邻域.（3）右邻域和点空心右邻域（4）点左邻域和点空心左邻域（5）邻域，邻域，邻域（其中M为充分大正数）；二、有界集与无界集定义1（上、下界）：设为中一个数集.若存在数，使得一切都有，则称S为有上（下）界数集.数称为S上界（下界）；若数集S现有上界，又有下界，则称S为有界集.闭区间、开区间为有限数）、邻域等都是有界数集，集合也是有界数集.若数集S不是有界集，则称S为无界集.等都是无界数集,集合也是无界数集.注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界与S关系怎样？看下例：例1讨论数集有界性.解：任取，显然有，所以有下界1；但无上界.因为假设有上界M,则M>0，按定义，对任意，都有，这是不可能，如取则，且.总而言之知：是有下界无上界数集，因而是无界集.例2证实：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成数集是有界集.[问题]：若数集S有上界，上界是唯一吗？对下界呢？(答：不唯一，有没有穷多个).三、确界与确界原理1、定义定义2（上确界）设S是R中一个数集，若数满足：(1)对一切有（即是S上界）;(2)对任何，存在，使得（即是S上界中最小一个），则称数为数集S上确界，记作从定义中能够得出：上确界就是上界中最小者.命题1充要条件1）；2）.证实：必要性，用反证法.设2）不成立，则，与是上界中最小一个矛盾.充分性（用反证法），设不是上确界，即是上界，但.令，由2），，使得，与是上界矛盾.定义3（下确界）设S是R中一个数集，若数满足：（1）对一切有（即是S下界）；（2）对任何，存在，使得（即是S下界中最大一个），则称数为数集S下确界，记作.从定义中能够得出：下确界就是下界中最大者.命题2充要条件：1）；2）＞0，＜上确界与下确界统称为确界.例3（1）则1；0.（2）则1；0.注：非空有界数集上（或下）确界是唯一.命题3：设数集有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一.证实：设，且，则不妨设有对，使，矛盾.例：

，

，则有.开区间与闭区间有相同上确界与下确界例4设和是非空数集，且有则有.例5设和是非空数集.若对和都有则有证实：是上界,是下界,例6和为非空数集,试证实:证实：有或由和分别是和下界,有或即是数集下界,又下界就是下界,是下界,是下界,同理有于是有.综上,有.数集与确界关系:确界不一定属于原集合.以例3⑵为例做解释.确界与最值关系:设为数集.（1）最值必属于,但确界未必,确界是一个临界点.（2）非空有界数集必有确界(见下面确实界原理),但未必有最值.（3）若存在,必有对下确界有类似结论.4.确界原理:Th1.1(确界原理).设非空数集.若有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确界.这里我们给一个能够接收说明非空，，我们能够找到一个整数，使得不是上界，而是上界.然后我们遍查和，我们能够找到一个，，使得不是上界，是上界，假如再找第二位小数，如此下去，最终得到，它是一个实数，即为上确界.证实：（书上对上确界情况给出证实，下面讲对下确界证实）不妨设中元素都为非负数，则存在非负整数，使得1），有；2）存在，有；把区间10等分，分点为n.1，ｎ.2，．．．,ｎ.9,存在，使得1），有；；2）存在，使得．再对开区间10等分，同理存在，使得1）对任何，有；2）存在，使继续重复此步骤，知对任何，存在使得1）对任何，；2）存在，．所以得到．以下证实．（ⅰ）对任意，；（ⅱ）对任何，存在使．［作业］：P91（1），（2）；2；4（2）、（4）；７§3函数概念讲课章节：第一章实数集与函数——§3函数概念教学目标：使学生深刻了解函数概念.教学要求：（１）深刻了解函数定义以及复合函数、反函数和初等函数定义，熟悉函数各种表示法；（２）紧记基本初等函数定义、性质及其图象.会求初等函数存在域，会分析初等函数复合关系.教学重点：函数概念.教学难点：初等函数复合关系分析.教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学.教学程序：引言关于函数概念，在中学数学中已经有了初步了解.为便于今后学习，本节将对此作深入讨论.一、函数定义１．定义１设，假如存在对应法则，使对，存在唯一一个数与之对应，则称是定义在数集上函数，记作.数集称为函数定义域，所对应，称为在点函数值，记为.全体函数值集合称为函数值域，记作.即.２．几点说明（1）函数定义记号中“”表示按法则建立到函数关系，表示这两个数集中元素之间对应关系，也记作.习惯上称自变量，为因变量.（2）函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来.所以，函数基本要素为两个：定义域和对应法则.所以函数也常表示为：.由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同定义域和对应法则.比如：1）（不相同，对应法则相同，定义域不一样）2）（相同，只是对应法则表示形式不一样）.（3）函数用公式法（解析法）表示时，函数定义域常取使该运算式子有意义自变量全体，通常称为存在域（自然定义域）.此时，函数记号中定义域可省略不写，而只用对应法则来表示一个函数.即“函数”或“函数”.（4）“映射”观点来看，函数本质上是映射，对于，称为映射下象.称为原象.（5）函数定义中，，只能有唯一一个值与它对应，这么定义函数称为“单值函数”，若对同一个值，能够对应多于一个值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值函数（简称函数）.二、函数表示方法1主要方法：解析法（公式法）、列表法（表格法）和图象法（图示法）.2可用“特殊方法”来表示函数.1）分段函数：在定义域不一样部分用不一样公式来表示.比如，（符号函数）（借助于sgnx可表示即）.2）用语言叙述函数.（注意；以下函数不是分段函数）例１）（取整函数）比如：[3.5]=3,[3]=3,[-3.5]=-4.常有,即.与此关于一个函数（非负小数函数）图形是一条大锯，画出图看一看.２）狄利克雷（Dirichlet）函数这是一个病态函数，很有用处，却无法画出它图形.它是周期函数，但却没有最小周期，实际上任一有理数都是它周期.３）黎曼（Riemman）函数三函数四则运算给定两个函数，记，并设，定义与在上和、差、积运算以下：；；.若在中除去使值，即令，可在上定义与商运算以下；.注：１）若，则与不能进行四则运算.２）为叙述方便，函数与和、差、积、商常分别写为：.四、复合运算１．引言在有些实际问题中函数自变量与因变量经过另外一些变量才建立起它们之间对应关系.例：质量为m物体自由下落，速度为v，则功率为.抽去该问题实际意义，我们得到两个函数，把代入，即得.这么得到函数过程称为“函数复合”，所得到函数称为“复合函数”.[问题]任给两个函数都能够复合吗？考虑下例；.就不能复合，结合上例可见，复合前提条件是“内函数”值域与“外函数”定义域交集不空（从而引出下面定义）.2．定义（复合函数）设有两个函数，，若，则对每一个，经过对应内唯一一个值，而又经过对应唯一一个值，这就确定了一个定义在上函数，它认为自变量，因变量，记作或.简记为.称为函数和复合函数，并称为外函数，为内函数，为中间变量.3.例子例求并求定义域.例⑴⑵则A.B.C.D.例讨论函数与函数能否进行复合，求复合函数.4说明１）复合函数可由多个函数相继复合而成.每次复合，都要验证能否进行？在哪个数集上进行？复合函数最终定义域是什么？比如：，复合成：.２）不但要会复合，更要会分解.把一个函数分解成若干个简单函数，在分解时也要注意定义域改变.①②③五、反函数１.引言在函数中把叫做自变量，叫做因变量.但需要指出是，自变量与因变量地位并不是绝正确，而是相正确，比如：那么对于来讲是自变量，但对来讲，是因变量.习惯上说函数中是自变量，是因变量，是基于随改变现时改变.但有时我们不但要研究随改变情况，也要研究随改变情况.对此，我们引入反函数概念.２.反函数概念定义设R是一函数，假如，,由(或由)，则称在上是1-1.若，，称为满.若是满1-1，则称为1-1对应.R是1-1意味着对固定至多有一个解，是1-1意味着对，有且仅有一个解.定义设是1-1对应.,由唯一确定一个,由这种对应法则所确定函数称为反函数，记为.反函数定义域和值域恰为原函数值域和定义域显然有(恒等变换）(恒等变换).0xy从方程角度看，函数和反函数没什么区分，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为,这么它图形与图形是关于对角线对称.0xy严格单调函数是1-1对应，所以严格单调函数有反函数.但1-1对应函数（有反函数）不一定是严格单调，看下面例子它反函数即为它自己.实际求反函数问题可分为二步进行：1.确定定义域和值域，考虑1-1对应条件.固定，解方程得出.2.按习惯，自变量、因变量交换，得.例求：RR反函数.解固定，为解，令，方程变为(舍去)得，即，称为反双曲正弦.定理给定函数，其定义域和值域分别记为和，若在上存在函数，使得,则有.分析：要证两层结论：一是反函数存在，我们只要证它是1-1对应就行了；二是要证.证要证反函数存在，只要证是到1-1对应.，，若，则由定理条件，我们有，即是1-1对应.再证.，，使得.由反函数定义，再由定理条件.例，若存在唯一（）不动点，则也不动点.证存在性，设，，即是不动点，由唯一性，即存在不动点.唯一性：设，，说明是不动点，由唯一性，=.从映射观点看函数.设函数.满足：对于值域中每一个值，Ｄ中有且只有一个值，使得，则按此对应法则得到一个定义在上函数，称这个函数为反函数，记作或.３、注释a)并不是任何函数都有反函数，从映射观点看，函数有反函数，意味着是Ｄ与之间一个一一映射，称为映射逆映射，它把；b)函数与互为反函数，并有:在反函数表示中，是认为自变量，为因变量.若按习惯做法用做为自变量记号，作为因变量记号，则函数反函数能够改写为应该注意，尽管这么做了，但它们表示同一个函数，因为其定义域和对应法则相同，仅是所用变量记号不一样而已.但它们图形在同一坐标系中画出时有所差异.六、初等函数1.基本初等函数（６类）常量函数（Ｃ为常数）；幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数.注：幂函数和指数函数都包括乘幂，而在中学数学课程中只给了有理指数乘幂定义.下面我们借助于确界来定义无理指数幂，便它与有理指数幂一起组成实指数乘幂，并保持有理批数幂基本性质.定义２．给定实数，设为无理数，我们要求：这么处理了中学数学仅对有理数ｘ定义缺点．[问题]：这么定义有意义否？更明确一点对应“确界是否存在呢？”２．初等函数定义３．由基本初等函数经过在有限次四则运算与复合运算所得到函数，统称为初等函数如：不是初等函数函数，称为非初等函数.如Dirichlet函数、Riemann函数、取整函数等都是非初等函数.注：初等函数是本课程研究主要对象.为此，除对基本初等函数图象与性质应熟练掌握外，还应常握确定初等函数定义域.确定定义域时应注意两点.例２．求以下函数定义域.（１）；（２）3.初等函数几个特例:设函数和都是初等函数,则（1）是初等函数,因为（2）和都是初等函数,因为,.（3）幂指函数是初等函数,因为［作业］：3；4:（２）、（３）；5:（２）；7:（３）；11§4具备一些特征函数讲课章节：第一章实数集与函数——§4具备一些特征函数教学目标：熟悉与初等函数性态关于一些常见术语.教学目标：深刻了解有界函数、单调函数定义；了解奇偶函数、周期函数定义；会求一些简单周期函数周期.教学重点：函数有界性、单调性.教学难点：周期函数周期计算、验证.教学方法：有界函数讲授，其余列出自学题纲，供学生自学完成.教学程序：引言在本节中，我们将介绍以后惯用几类具备一些特征函数，如有界函数、单调函数、奇偶函数与周期函数.其中，有些概念在中学里已经叙述过，所以，这里只是简单地提一下.与“有界集”定义类似，先谈谈有上界函数和有下界函数.一、有界函数1、有上界函数、有下界函数定义定义1设为定义在D上函数，若存在数，使得对每一个有，则称为D上有上（下）界函数，称为在D上一个上（下）界.注：（1）在D上有上（下）界，意味着值域是一个有上（下）界数集；（2）又若为在D上一个上（下）界，则任何大于Ｍ（小于Ｌ）数也是在D上上（下）界.所以，函数上（下）界若存在，则不是唯一，比如：，1是其一个上界，下界为－1，则易见任何小于－1数都可作为其下界；任何大于1数都可作为其上界；（3）任给一个函数，不一定有上（下）界；（4）由（1）及“有界集”定义，可类比给出“有界函数”定义：在D上有界是一个有界集在D上现有上界又有下界在D上有上界函数，也为D上有下界函数.2、有界函数定义定义2设为定义在D上函数.若存在正数Ｍ，使得对每一个有，则称为D上有界函数.注：（1）几何意义：为D上有界函数，则图象完全落在和之间；（2）在D上有界在D上现有上界又有下界；例子：；（3）关于函数在D上无上界、无下界或无界定义.例题例1证实有界充要条件为：,，使得对,.证实假如有界，按定义>0，有，即,取,即可.反之假如,使得，令，则，即，使得对有，即有界.例2．证实为上无上界函数.例3．设为D上有界函数.证实：（1）；（2）.例4验证函数在内有界.解法一由当初,有,对总有即在内有界.解法二令关于二次方程有实数根.解法三令对应于是二、单调函数定义3设为定义在D上函数，（1）若，则称为D上增函数；若，则称为D上严格增函数.（2）若，则称为D上减函数；若，则称为D上严格减函数.例5．证实：在上是严格增函数.证实：设，如，则如，则故即得证.例6．讨论函数在上单调性.，当初，有，但此函数在上不是严格增函数.注：1）单调性与所讨论区间关于.在定义域一些部分，可能单调，也可能不单调.所以要会求出给定函数单调区间；2）严格单调函数几何意义：其图象无自交点或无平行于轴部分.更准确地讲：严格单调函数图象与任一平行于轴直线至多有一个交点.这一特征确保了它必有反函数.总结得下面结论：定理1．设为严格增（减）函数，则必有反函数，且在其定义域上也是严格增（减）函数.证实：设在上严格增函数.对.下面证实这么只有一个.实际上，对于内任一因为在上严格增函数，当初，当初，总之.即，从而例7讨论函数在上反函数存在性；假如在上不存在反函数，在子区间上存在反函数否？结论：函数反函数与讨论自变量改变范围关于.证实：当初在Ｒ上严格增，当初在上严格递减.三、奇函数和偶函数定义4.设D为对称于原点数集，为定义在D上函数.若对每一个有（1），则称为D上奇函数；（2），则称为D上偶函数.注：（1）从函数图形上看，奇函数图象关于原点对称（中心对称），偶函数图象关于轴对称；（2）奇偶性前提是定义域对称，所以没有必要讨论奇偶性.（3）从奇偶性角度对函数分类：；（4）因为奇偶函数对称性特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点左边或右边即可四、周期函数1、定义设为定义在数集D上函数，若存在，使得对一切有，则称为周期函数，称为一个周期.2、几点说明：（1）若是周期，则也是周期，所以周期若存在，则不唯一.如.所以有以下“基本周期”说法，即若在周期函数全部周期中有一个最小周期，则称此最小周期为“基本周期”，简称“周期”.如，周期为；（2）任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如：1），不是周期函数；2）（Ｃ为常数），任何正数都是它周期.第二章数列极限引言为了掌握变量改变规律，往往需要从它改变过程来判断它改变趋势.比如有这么一个变量，它开始是1，然后为如此，一直无尽地变下去，即使无尽止，但它改变有一个趋势，这个趋势就是在它改变过程中越来越靠近于零.我们就说，这个变量极限为0.在高等数学中，有很多主要概念和方法都和极限关于（如导数、微分、积分、级数等），而且在实际问题中极限也占有主要地位.比如求圆面积和圆周长（已知：），但这两个公式从何而来？要知道，取得这些结果并不轻易！人们最初只知道求多边形面积和求直线段长度.然而，要定义这种从多边形到圆过渡就要求人们在观念上，在思索方法上来一个突破.问题困难何在？多边形面积其所认为好求，是因为它周界是一些直线段，我们能够把它分解为许多三角形.而圆呢？周界处处是弯曲，困难就在这个“曲”字上面.在这里我们面临着“曲”与“直”这么一对矛盾.辩证唯物主义认为，在一定条件下，曲与直矛盾能够相互转化.整个圆周是曲，每一小段圆弧却能够近似看成是直；就是说，在很小一段上能够近似地“以直代曲”，即以弦代替圆弧.按照这种辩证思想，我们把圆周分成许多小段，比喻说，分成个等长小段，代替圆而先考虑其内接正边形.易知，正边形周长为显然，这个不会等于.然而，从几何直观上能够看出，只要正边形边数不停增加.这些正多边形周长将伴随边数增加而不停地靠近于圆周长.越大，近似程度越高.不过，不论多么大，这么算出来总还只是多边形周长.不论怎样它只是周长近似值，而不是精准值.问题并没有最终处理.为了从近似值过渡到精准值，我们自然让无限地增大，记为.直观上很显著，当初，，记成.——极限思想.即圆周长是其内接正多边形周长极限.这种方法是我国刘微（张晋）早在第3世纪就提出来了，称为“割圆术”.其方法就是——无限分割.以直代曲；其思想在于“极限”.除之以外，象曲边梯形面积计算均源于“极限”思想.所以，我们有必要对极限作深入研究.§1数列极限概念教学目标：使学生建立起数列极限准确概念；会用数列极限定义证实数列极限等关于命题.教学要求：使学生逐步建立起数列极限定义清楚概念.深刻了解数列发散、单调、有界和无穷小数列等关于概念.会应用数列极限定义证实数列关于命题，并能利用语言正确表述数列不以某实数为极限等对应陈说.教学重点：数列极限概念.教学难点：数列极限定义及其应用.教学方法：讲授为主.教学程序：一、什么是数列1数列定义数列就是“一列数”，但这“一列数”并不是任意一列数，而是有一定规律，有一定次序性，详细讲数列可定义以下；若函数定义域为全体正整数集合，则称为数列.注：1）依照函数记号，数列也可记为；2）记，则数列就可写作为：，简记为，即；3）不严格说法：说是一个数列.2数列例子（1）；（2）；（3）；（4）二、什么是数列极限1．引言对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著《庄子.天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.把天天截下部分长度列出以下（单位为尺）；第1天截下，第2天截下，第3天截下， 第天截下，得到一个数列：不难看出，数列通项伴随无限增大而无限地靠近于零.通常地说，对于数列，若当无限增大时，能无限地靠近某一个常数，则称此数列为收敛数列，常数称为它极限.不具备这种特征数列就不是收敛数列，或称为发散数列.据此能够说，数列是收敛数列，0是它极限.数列都是发散数列.需要提出是，上面关于“收敛数列”说法，并不是严格定义，而仅是一个“描述性”说法，怎样用数学语言把它精准地定义下来.还有待深入分析.认为例，可观察出该数列具以下特征：伴随无限增大，无限地靠近于1伴随无限增大，与1距离无限降低伴随无限增大，无限降低会任意小，只要充分大.如：要使，只要即可；要使，只要即可；任给不论多么小正数，都会存在数列一项，从该项之后，.即，当初，.怎样找Ｎ？（或存在吗？）解上面数学式子即得：，取即可.这么当初，.总而言之，数列通项随无限增大，无限靠近于1，即是对任意给定正数，总存在正整数，当初，有.此即以1为极限精准定义，记作或.2.数列极限定义定义1设为数列,为实数,若对任给正数,总存在正整数,使得当初有,则称数列收敛于,实数称为数列极限,并记作或.(读作:当趋于无穷大时,极限等于或趋于).因为限于取正整数,所以在数列极限记号中把写成,即或.若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列.[问题]：怎样表述没有极限？3.举例说明怎样用定义来验证数列极限例1.证实:.证实:不妨设,要使|－0|<<.只要,取N=则当n>N时,有|－0|=≤<例2求证.证实:不妨设，要使，只要（注意这里），只要.取，则当时，就有，即.例3求证.证法1先设，，要使，只要，只要，只要.取，当时，就有，即.对，令，则.证法2令，则，,要使,只要，取，只要，就有，即.例4证.证实:因为，，要使，只要，取，则只要，就有，即.例5证实:注意到对任何正整数时有就有于是，对取例6证法一令有用Bernoulli不等式，有或证法二（用均值不等式）例7证一：时，证二：

（二项式展开）

所以，，取

，则当初就有即附：此题请注意以下错误做法：

（注意不趋于零）例8：证实证实：因为

（）（*）所以，只要取

便有因为（*）式是在条件下成立，故应取，当初就有

即总结用定义求极限或证实极限关键是适当放大不等式，关键追求有两点，一是把隐性表示式变成显性表示式，在重锁迷雾中看清庐山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得过份.4关于数列极限定义几点说明（1）关于：①任意性.定义1中正数作用在于衡量数列通项与常数靠近程度，越小，表示靠近得越好；而正数能够任意小，说明与常数能够靠近到任何程度；②暂时固定性.尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，方便依靠它来求出；③多值性.既是任意小正数，那么等等，一样也是任意小正数，所以定义1中不等式中可用等来代替.从而“”可用“”代替；④正因为是任意小正数，我们能够限定小于一个确定正数.（2）关于：①对应性，通常地，随变小而变大，所以常把定作，来强调是依赖于；一经给定，就能够找到一个；②多值性.对应性并不意味着是由唯一确定，因为对给定，若时能使得当初,有,则或更大数时此不等式自然成立.所以不是唯一.实际上，在许多场所下，最主要是存在性，而不是它值有多大.基于此，在实际使用中也无须限于自然数，只要是正数即可；而且把“”改为“”也无妨.（3）数列极限几何了解：在定义1中，“当初有”“当初有”“当初有”全部下标大于项都落在邻域内；而在之外，数列中项至多只有个（有限个）.反之，任给，若在之外数列中项只有有限个，设这有限个项最大下标为，则当初有，即当初有，由此写出数列极限一个等价定义（邻域定义）：定义任给，若在之外数列中项只有有限个，则称数列收敛于极限.由此可见：1）若存在某个，使得数列中有没有穷多个项落在之外，则一定不认为极限；2）数列是否有极限，只与它从某一项之后改变趋势关于，而与它前面有限项无关.所以，在讨论数列极限时，能够添加、去掉或改变它有限项数值，对收敛性和极限都不会发生影响.例1．证实和都是发散数列.例2．设，作数列以下：.证实.例3．设为给定数列，为对增加、降低或改变有限项之后得到数列.证实：数列与同时收敛或发散，且在收敛时二者极限相等.三、无穷小数列在全部收敛数列中，在一类主要数列，称为无穷小数列，其定义以下：定义2若，则称为无穷小数列.如都是无穷小数列.数列收敛于充要条件：定理2.1数列收敛于充要条件是为无穷小数列.[作业]教材P273，4，5，7，8⑵.§2收敛数列性质教学内容：第二章数列极限——§2收敛数列性质.教学目标：熟悉收敛数列性质；掌握求数列极限惯用方法.教学要求：（1）使学生了解并能证实数列性质、极限唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；（2）掌握并会证实收敛数列四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求一些收敛数列极限.教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用.教学难点：数列极限计算.教学方法：讲练结合.教学程序：引言上节引进“数列极限”定义，并经过例题说明了验证方法，这是极限较基本内容，要求掌握.为了学习极限技巧及其应用极限来处理问题.还需要对数列性质作深入讨论.一、收敛数列性质性质1（极限唯一性）若数列收敛，则它极限唯一.证一：假设都是数列极限，则由极限定义，对，，当时，有；时，有取，则当初有由任意性，上式仅当初才成立.证二：（反证）假设极限不唯一，即最少有两个不相等极限值，设为，且故不妨设，取由定义，，当初有

又，当初有所以，当初有矛盾，所以极限值必唯一.性质2（有界性）假如数列收敛，则必为有界数列.即，使对有证实：设取，使得当初有即

令则有对

即数列有界注：①有界性只是数列收敛必要条件，而非充分条件，如②在证实时必须分清何时用取定，何时用任给.上面定理3.2证实中必须用取定，不能用任给，不然随在变，找到也随在变，界意义就不明确了.性质3（保序性）设，，

（1）若，则存在使得当初有（2）若存在，当初有，则（不等式性质）证实：（1）取，则存在，当初从而又存在，当初当初（2）（反证）如，则由⑴知必当初这与已知矛盾推论（保号性）若则，当初.尤其地，若，则，当初与同号.思索：如把上述定理中换成，能否把结论改成？例：设（），若，则证实：由保序性定理可得若，则，，当初有即若，则，，当初有数列较为复杂，怎样求极限？性质4（四则运算法则）若、都收敛，则、、也都收敛，且，尤其地，，为常数如再有则也收敛，且证实：因为，，故只须证关于和积与倒数运算结论即可.设，，，，当初；，当初取，则当初上两式同时成立.（1）由收敛数列有界性，，对有故当初，有由任意性知（2）由保号性，及，对有（如可令）取，则当初有由任意性得用归纳法，可得有限个序列四则运算：，.但将上述换成，通常不成立.实际上或本身也是一个极限，两种极限交换次序是个非常敏感话题，是高等分析中心课题，通常都不能交换，在一定条件下才能交换，详细什么条件，到后面我们会系统研究这个问题.性质5（两边夹定理或迫敛性）设有三个数列、、，如，当初有，且，则证实：，当初，；当初，取，则当初以上两式与已知条件中不等式同时成立，故有时即该定理不但提供了一个判定数列收敛方法，而且也给出了一个求极限方法.推论：若，当初有（或）且，则例：求证（）证实：使得，从而当初有因为由推论即可得结论例：设，，…，是个正数，证实证实：设，则

，由迫敛性得结论.例1：在证实中,令，，得，由此推出.由此例也看出由和,也推出.例2：证实.证实：令,，两边夹推出，即.在求数列极限时，常需要使用极限四则运算法则.下举几例；例3：求极限解.例4：求极限.解.例5：例6：求，，，解：原式即：有理式极限如例7：例8：设，证实.证实：.二数列子列1、引言极限是个有效分析工具.但当数列极限不存在时，这个工具随之失效.这能说明什么呢？莫非没有一点规律吗？当然不是！出现这种情况原因是我们是从“整个”数列特征角度对数列进行研究.那么，假如“整体无序”，“部分”是否也无序呢？假如“部分”有序，可否从“部分”来推断整体性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲“子列”.子列定义定义1设为数列，为正整数集无限子集，且，则数列称为数列一个子列，简记为.注1由定义可见，子列各项都来自且保持这些项在中先后次序.简单地讲，从中取出无限多项，按照其在中次序排成一个数列，就是一个子列（或子列就是从中顺次取出无穷多项组成数列）.注2子列中表示是中第项，表示是中第k项，即中第k项就是中第项，故总有.尤其地，若，则，即.注3数列本身以及去掉有限项以后得到子列，称为平凡子列；不是平凡子列子列，称为非平凡子列.如都是非平凡子列.由上节例知：数列与它任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同极限.那么数列收敛性与非平凡子列收敛性又有何关系呢？此即下面结果：定理2.8数列收敛充要条件是：任何非平凡子列都收敛．证实：必要性设是任一子列．任给，存在正数N，使得当初有因为故当初有，从而也有，这就证实了收敛（且与有相同极限）．充分性考虑非平凡子列，与．按假设，它们都收敛．因为既是，又是子列，故由刚才证实必要性，（9）又既是又是子列，一样可得（10）（9）式与（10）式给出．所以由书本例7可知收敛．由定理2．8证实可见，若数列任何非平凡子列都收敛，则全部这些子列与必收敛于同一个极限．于是，若数列有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列一定发散．比如数列其偶数项组成子列收敛于1，而奇数项组成子列收敛于，从而发散．再如数列，它奇数项组成子列即为，因为这个子列发散，故数列发散．由此可见，定理2．8是判断数列发散有力工具．§3数列极限存在条件教学内容：第二章数列极限——§3数列极限存在条件教学目标：使学生掌握判断数列极限存在惯用工具.教学要求：（1）掌握并会证实单调有界定理，并会利用它求一些收敛数列极限；（2）初步了解Cauchy准则在极限理论中主要意义，并逐步会应用Cauchy准则判断一些数列敛散性.教学重点：单调有界定理、Cauchy收敛准则及其应用.教学难点：相关定理应用.教学方法：讲练结合.教学程序：引言在研究比较复杂极限问题时，通常分两步来处理：先判断该数列是否有极限（极限存在性问题）；若有极限，再考虑怎样计算些极限（极限值计算问题）.这是极限理论两基本问题.在实际应用中，处理了数列极限存在性问题之后，即使极限值计算较为困难，但因为当充分大时，能充分靠近其极限，故可用作为近似值.本节将重点讨论极限存在性问题.为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本方法是直接从数列本身特征来作出判断.从收敛数列有界性可知：若收敛，则为有界数列；但反之不一定对，即有界不足以确保收敛.比如.但直观看来，若有界，又随n增大（降低）而增大（降低），它就有可能与其上界（或下界）非常靠近，从而有可能存在极限（或收敛）.为了说明这一点，先给出具备上述特征数列一个名称——单调数列.一、单调数列定义若数列各项满足不等式，则称为递增（递减）数列.递增和递减数列统称为单调数列．比如：为递减数列；为递增数列；不是单调数列.二、单调有界定理〔问题〕（1）单调数列一定收敛吗？；（2）收敛数列一定单调吗？一个数列，假如仅是单调或有界，不足以确保其收敛，但若既单调又有界，就能够了.此即下面极限存在判断方法.定理（单调有界定理）在实数系中，有界且单调数列必有极限.几何解释：单调数列只可能向一个方向移动，故仅有两种可能：（1）点沿数轴移向无穷远；（2）无限趋于某一个定点，即.证实：不妨设单调增加有上界，把看作集合，有确界原理，存在即：（1），；（2），使因为单调增加，故当初有即当初亦即#例1：，证实数列，，，……，，……收敛，并求其极限.证实：从该数列结构，显见它是单调增加，下面来证它是有界.易见，且，，…，，…从而两端除以得，故有界即得极限存在设，对等式两边取极限，则有因为正数列，故，所以取即为所求极限例2：求（为一定数，）解：记，则且，则，当初，故后，单调递减，又有极限一定存在，设为由两边取极限得（）例3设证实数列{}收敛.例4求(计算逐次迫近法,亦即迭代法).解：由均值不等式,有有下界;注意到对有有↘,三、柯西收敛准则1、引言单调有界定理只是数列收敛充分条件，下面给出在实数集中数列收敛充分必要条件——柯西收敛准则.Cauchy收敛准则定理（Ｃauchy收敛准则）数列收敛充分必要条件是：对任给，存在正整数，使得当初有.证实：“”收敛，则存在极限，设，则，，当初有当初有“”先证有界性，取，则，尤其地，时设，则，再由致密性定理知，有收敛子列，设，，，取，当初有故列、基本列（满足收敛准则数列）收敛准则另一表示形式：，，当初，对有说明Cauchy收敛准则从理论上完全处理了数列极限存在性问题.Cauchy收敛准则条件称为Cauchy条件，它反应这么事实：收敛数列各项值愈到后面，彼此愈靠近，以至于充分后面任何两项之差绝对值能够小于预先给定任意小正数.或者，形象地说，收敛数列各项越到后面越是“挤”在一起.Cauchy准则把定义中与a之差换成与之差.其好处于于无需借助数列以外数a，只要依照数列本身特征就能够判别其（收）敛（发）散性.例：如数列满足（）且，证实数列收敛.证实：令，（不妨设），取，则当初，对任给自然数有.故由收敛准则知数列收敛.例：证实数列发散证实：要证：，对，必有，使得设则

所以，如，则这么，对，不论多大，如取，则，且

，这说明不是一个数列.应用例5证实:任一无限十进小数不足近似值所组成数列收敛.其中是中数.证实：令有……例6：设试证实数列{收敛.关于极限证实留在下节进行.例7：例8：例9：[作业]教材P38—391，3，5，6，10，11；教材P40—411（1）（3），3，4(1)-(3)(6)(8)，5，10.（P383（4）提醒：考虑用双逼原理可求得）附：数列单调有界证法观赏:Cauchy(1789—1857)最先给出这一极限，Riemann（1826—1866）最先给出以下证法一.证法一（Riemann最先给出这一证法）设应用二项式展开，得，+注意到且比多一项即↗.有界.综上,数列{}单调有界.证法二(利用Bernoulli不等式)注意到Bernoulli不等式为正整数),有由利用Bernoulli不等式,有↗.为证{}上方有界,考虑数列可类证↘.实际上,(此处利用了Bernoulli不等式)↘.显然有有即数列{}有上界.证法三(利用均值不等式)在均值不等式中,令就有即↗.令可仿上证得时↗,(时无意义,时诸=,不能用均值不等式.)当初,由由↗↘.<4.注:以上证法二和证法三可参阅《数学通报》1980.№4P22.证法四(仍利用均值不等式)<即↗.有界性证法可参阅上述各证法.注:证法四可参阅《数学教学研究》1991.№1马德尧文“均值不等式妙用两则”.证法五先证实：对和正整数，有不等式实际上，<该不等式又可变形为(为正整数)在此不等式中,取则有就有↗.取又有对成立，又由注:这一证法可参阅《TheAmericanMathematicalMonthly》1974.Vol81.№9P10—11函数极限引言在《数学分析》中，所讨论极限基本上分两部分，第一部分是“数列极限”，第二部分是“函数极限”.二者关系到是“特殊”与“通常”关系；数列极限是函数极限特例.经过数列极限学习.应有一个基本观念：“极限是研究变量改变趋势”或说：“极限是研究变量改变过程，并经过改变过程来把握改变结果”.比如，数列这种变量即是研究当初，改变趋势.我们知道，从函数角度看，数列可视为一个特殊函数，其定义域为，值域是，即;或或.研究数列极限，即是研究当自变量时，函数改变趋势.此处函数自变量只能取正整数！所以自变量可能改变趋势只有一个，即.不过，假如代之正整数变量而考虑通常变量为，那么情况又怎样呢？详细地说，此时自变量x可能改变趋势是否了仅限于一个呢？为此，考虑以下函数:类似于数列，可考虑自变量时，改变趋势；除此而外，也可考虑自变量时，改变趋势；还可考虑自变量时，改变趋势；还可考虑自变量时，改变趋势,由此可见，函数极限较之数列极限要复杂得多，其根源在于自变量性质改变.但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义叙述有所不一样.而在各类极限性质、运算、证实方法上都类似于数列极限.下面，我们就依次讨论这些极限.§1函数极限概念教学内容：第三章函数极限——§1函数极限概念教学目标：掌握各种函数极限分析定义，能够用分析定义证实和计算函数极限．教学要求：掌握当；；；；；时函数极限分析定义，而且会用函数极限分析定义证实和计算较简单函数极限．教学提议：本节重点是各种函数极限分析定义．对多数学生要求主要掌握当初函数极限分析定义，并用函数极限分析定义求函教学过程：一、时函数极限1、引言设函数定义在上，类似于数列情形，我们研究当自变量时，对应函数值能否无限地靠近于某个定数Ａ.这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对全部函数都具此性质.比如无限增大时，无限地靠近于0；无限增大时，无限地靠近于；无限增大时，与任何数都不能无限地靠近.正因为如此，所以才有必要考虑时，改变趋势.我们把象，这么当初，对应函数值无限地靠近于某个定数函数称为“当初有极限”.[问题]怎样给出它精准定义呢?类似于数列,当初函数极限精准定义以下.2.时函数极限定义定义1设为定义在上函数，为实数.若对任给，存在正数，使得当初有,则称函数当初认为极限.记作或.几点注记定义1中作用与数列极限中作用相同，衡量与靠近程度，正数作用与数列极限定义中相类似，表明充分大程度；但这里所考虑是比大全部实数，而不但仅是正整数n.邻域描述：当初，几何意义：对，就有和两条直线，形成认为中心线，认为宽带形区域.“当初有”表示：在直线右方，曲线全部落在这个带形区域内.假如给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线通常往右移；但不论带形区域怎样窄，总存在正数，使得曲线在右边全部落在这个更窄带形区域内.现记为定义在或上函数，当或时，若函数值能无限地靠近于常数，则称当或时时认为极限，分别记作，或，或.这两种函数极限精准定义与定义1相仿，简写以下：当初，，当初，.（5）推论：设为定义在上函数，则.4．利用＝Ａ定义验证极限等式举例例1证实.例2证实1）；2）.二、时函数极限1、引言上节讨论函数当初极限，是假定为定义在上函数，这实际上是，即为定义在上，考虑时是否趋于某个定数.本节假定为定义在点某个空心邻域内函数，.现在讨论当初，对应函数值能否趋于某个定数Ａ数列.先看下面几个例子：例1.（是定义在上函数，当初，）例2.（是定义在上函数，当初，）例3.（是定义在上函数，当初，）由上述例子可见，对有些函数，当初，对应函数值能趋于某个定数Ａ；但对有些函数却无此性质.所以有必要来研究当初，改变趋势.我们称上述第一类函数为当初认为极限，记作.和数列极限描述性说法一样，这是一个描述性说法.不是严格数学定义.那么怎样给出这类函数极限精准定义呢？作以下分析：“当自变量越来越靠近于时，函数值越来越靠近于一个定数”只要充分靠近，函数值和相差就会相当小欲使相当小，只要充分靠近就能够了.即对，当初，都有.此即.2、时函数极限定义定义2设函数在点某个空心邻域内有定义，为定数，若对任给，使得当初有，则称函数当趋于时认为极限（或称Ａ为时极限），记作或（.函数极限定义几点说明：（1）是结论，是条件，即由推出.（2）是表示函数与靠近程度.为了说明函数在过程中，能够任意地靠近于，必须是任意.这即第一个特征——任意性，即是变量；但一经给定之后，暂时就把看作是不变了.方便经过寻找，使得当初成立.这即第二特征——暂时固定性.即在寻找过程中是常量；另外，若是任意正数，则均为任意正数，均可饰演角色.也即第三个特征——多值性；（）(3)是表示与靠近程度，它相当于数列极限定义中Ｎ.它第一个特征是对应性.即对给定，都有一个与之对应，所以是依赖于而适当选取，为此记之为；通常说来，越小，越小.不过，定义中是要求由推出即可，故若满足此要求，则等等比还小正数均可满足要求，所以不是唯一.这即第二个特征——多值性.（4）在定义中，只要求函数在某空心邻域内有定义，而通常不要求在处函数值是否存在，或者取什么样值.这是因为，对于函数极限我们所研究是当趋于过程中函数改变趋势，与函数在该处函数值无关.所以能够不考虑在点a函数值是否存在，或取何值，因而限定“”.（5）定义中不等式；.从而定义2，当初，都有，使得.（6）定义几何意义.设，证实：.设，讨论时极限.证实1）；2）.证实.证实.证实.例7．证实.证实：注意到，要想它任意小，可任意小，却不能任意小，当初，它必须远离零点.当初，就远离零点了.,取，则当初,有.例8．证实.证实：先设，要证