高中数学人教A版选修2-3章末综合测评1 Word版含解析

章末综合测评(一)计数原理(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·银川一中检测)Ceq\o\al(9,10)＋Ceq\o\al(8,10)等于()A．45 B．55C．65 D．以上都不对【解析】Ceq\o\al(9,10)＋Ceq\o\al(8,10)＝Ceq\o\al(1,10)＋Ceq\o\al(2,10)＝55，故选B.【答案】B2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有()A．10种 B．20种C．25种 D．32种【解析】5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25＝32种，故选D.【答案】D3．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为()A．140 B．240C．360 D．800【解析】由(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，知(x＋1)5的展开式中x的系数为Ceq\o\al(4,5)，常数项为1，(x＋2)5的展开式中x的系数为Ceq\o\al(4,5)·24，常数项为25.因此原式中x的系数为Ceq\o\al(4,5)·25＋Ceq\o\al(4,5)·24＝240.【答案】B4．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()A．16种 B．36种C．42种 D．60种【解析】分两类．第一类：同一城市只有一个项目的有Aeq\o\al(3,4)＝24种；第二类：一个城市2个项目，另一个城市1个项目，有Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝36种，则共有36＋24＝60种．【答案】D5．(2016·广州高二检测)5人站成一排，甲乙之间恰有一个人的站法有()A．18种 B．24种C．36种 D．48种【解析】首先把除甲乙之外的三人中随机抽出一人放在甲乙之间，有3种可能，甲乙之间的人选出后，甲乙的位置可以互换，故甲乙的位置有2种可能，最后，把甲乙及其中间的那个人看作一个整体，与剩下的两个人全排列是Aeq\o\al(3,3)＝6，所以3×2×6＝36(种)，故答案为C.【答案】C6．关于(a－b)10的说法，错误的是()A．展开式中的二项式系数之和为1024B．展开式中第6项的二项式系数最大C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小【解析】由二项式系数的性质知，二项式系数之和为210＝1024，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的．【答案】C7.图1(2016·潍坊高二检测)如图1，用五种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共()A．1240种 B．360种C．1920种 D．264种【解析】由于A和E或F可以同色，B和D或F可以同色，C和D或E可以同色，所以当五种颜色都选择时，选法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(5,5)种；当五种颜色选择四种时，选法有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,3)×3×Aeq\o\al(4,4)种；当五种颜色选择三种时，选法有Ceq\o\al(3,5)×2×Aeq\o\al(3,3)种，所以不同的涂色方法共Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(5,5)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,3)×3×Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,5)×2×Aeq\o\al(3,3)＝1920.故选C.【答案】C8．某计算机商店有6台不同的品牌机和5台不同的兼容机，从中选购5台，且至少有品牌机和兼容机各2台，则不同的选购方法有()【导学号：97270029】A．1050种 B．700种C．350种 D．200种【解析】分两类：(1)从6台不同的品牌机中选3台和从5台不同的兼容机中选2台；(2)从6台不同的品牌机中选2台和从5台不同的兼容机中选3台．所以不同的选购方法有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(3,5)＝350种．【答案】C9．设(1－3x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值为()A．29 B．49C．39 D．59【解析】由于a0，a2，a4，a6，a8为正，a1，a3，a5，a7，a9为负，故令x＝－1，得(1＋3)9＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝|a0|＋|a1|＋…＋|a9|，故选B.【答案】B10．(2016·山西大学附中月考)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A．60 B．48C．36 D．24【解析】在长方体中，对每一条棱都有两个面(侧面或底面)和一个对角面(对不在同一个面上的一对互相平行的棱的截面)与它平行，可构成3×12＝36个“平行线面组”，对每一条面对角线，都有一个面与它平行，可组成12个“平行线面组”，所以“平行线面组”的个数为36＋12＝48，故选B.【答案】B11．(2016·吉林一中高二期末)某同学忘记了自己的QQ号的后六位，但记得QQ号后六位是由一个1，一个2，两个5和两个8组成的，于是用这六个数随意排成一个六位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ号最多尝试次数为()A．96 B．180C．360 D．720【解析】由这6个数字组成的六位数个数为eq\f(A\o\al(6,6),A\o\al(2,2)A\o\al(2,2))＝180，即最多尝试次数为180.故选B.【答案】B12．设(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，则展开式中系数最大项是()A．15x3 B．20x3C．21x3 D．35x3【解析】令x＝0，得a0＝1，再令x＝1，得2n＝64，所以n＝6，故展开式中系数最大项是T4＝Ceq\o\al(3,6)x3＝20x3.故选B.【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．某科技小组有女同学2名、男同学x名，现从中选出3名去参加展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，则该科技小组中男生的人数为________．【解析】由题意得Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(2,x)＝20，解得x＝5.【答案】514．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是________．【解析】(1.05)6＝(1＋0.05)6＝Ceq\o\al(0,6)＋Ceq\o\al(1,6)×0.05＋Ceq\o\al(2,6)×0.052＋Ceq\o\al(3,6)×0.053＋…＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…≈1.34.【答案】1.3415．(2015·山东高考)观察下列各式：Ceq\o\al(0,1)＝40；Ceq\o\al(0,3)＋Ceq\o\al(1,3)＝41；Ceq\o\al(0,5)＋Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＝42；Ceq\o\al(0,7)＋Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,7)＝43；……照此规律，当n∈N*时，Ceq\o\al(0,2n－1)＋Ceq\o\al(1,2n－1)＋Ceq\o\al(2,2n－1)＋…＋Ceq\o\al(n－1,2n－1)＝________.【解析】观察每行等式的特点，每行等式的右端都是幂的形式，底数均为4，指数与等式左端最后一个组合数的上标相等，故有Ceq\o\al(0,2n－1)＋Ceq\o\al(1,2n－1)＋Ceq\o\al(2,2n－1)＋…＋Ceq\o\al(n－1,2n－1)＝4n－1.【答案】4n－116．(2014·安徽高考)设a≠0，n是大于1的自然数，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,a)))n的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如图2所示，则a＝________.图2【解析】由题意知A0(0,1)，A1(1,3)，A2(2,4)．故a0＝1，a1＝3，a2＝4.由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,a)))n的展开式的通项公式知Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,a)))r(r＝0,1,2，…，n)．故eq\f(C\o\al(1,n),a)＝3，eq\f(C\o\al(2,n),a2)＝4，解得a＝3.【答案】3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(x,n)＝C\o\al(2x,n)，,C\o\al(x＋1,n)＝\f(11,3)C\o\al(x－1,n)，))试求x，n的值.【导学号：97270030】【解】∵Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(n－x,n)＝Ceq\o\al(2x,n)，∴n－x＝2x或x＝2x(舍去)，∴n＝3x.由Ceq\o\al(x＋1,n)＝eq\f(11,3)Ceq\o\al(x－1,n)，得eq\f(n！,x＋1！n－x－1！)＝eq\f(11,3)·eq\f(n！,x－1！n－x＋1！)，整理得3(x－1)！(n－x＋1)！＝11(x＋1)！(n－x－1)！，3(n－x＋1)(n－x)＝11(x＋1)x.将n＝3x代入，整理得6(2x＋1)＝11(x＋1)，∴x＝5，n＝3x＝15.18．(本小题满分12分)利用二项式定理证明：49n＋16n－1(n∈N*)能被16整除．【证明】49n＋16n－1＝(48＋1)n＋16n－1＝Ceq\o\al(0,n)·48n＋Ceq\o\al(1,n)·48n－1＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)·48＋Ceq\o\al(n,n)＋16n－1＝16(Ceq\o\al(0,n)·3×48n－1＋Ceq\o\al(1,n)·3×48n－2＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)·3＋n)．所以49n＋16n－1能被16整除．19．(本小题满分12分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？【解】(1)将取出4个球分成三类情况：①取4个红球，没有白球，有Ceq\o\al(4,4)种；②取3个红球1个白球，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,6)种；③取2个红球2个白球，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,6)种，故有Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,6)＝115种．(2)设取x个红球，y个白球，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝5，0≤x≤4，,2x＋y≥7，0≤y≤6，))故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝1.))因此，符合题意的取法共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(1,6)＝186种．20．(本小题满分12分)设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a10；(2)a6.【解】(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－1)10＝1.(2)a6即为含x6项的系数，Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)(2x)10－r·(－1)r＝Ceq\o\al(r,10)(－1)r210－r·x10－r，所以当r＝4时，T5＝Ceq\o\al(4,10)(－1)426x6＝13440x6，即a6＝13440.21．(本小题满分12分)有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)排成前后两排，前排3人，后排4人；(2)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾；(3)全体站成一排，女生必须站在一起；(4)全体站成一排，男生互不相邻．【解】(1)共有Aeq\o\al(7,7)＝5040种方法．(2)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法，其余6人有Aeq\o\al(6,6)种方法，故共有5×Aeq\o\al(6,6)＝3600种方法．(3)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有Aeq\o\al(4,4)种方法，再将