传染病传播模型

传染病传播模型

人们不可能去做传染病传播的试验以获取数据，从医疗卫生部门得到的资料也是不完全和不充分的。不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里更不可能从医学的角度来分析各种传染病的传播，所以，我们只能按照一般的传播机理建立模型。传染病传播模型全文共41页，当前为第1页。

传染病传播问题和自然科学中一些已经有确定规律的问题不同，不可能立即对它做出恰当的假设，建立完善的模型，只能先做出最简单的假设，建立模型，得出结果，分析是否符合实际，然后针对其不合理或不完善处，进行修改或补充假设，逐步得到较为合理的模型。

传染病传播模型全文共41页，当前为第2页。模型

1（SI模型）

假设条件

(1)人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为s(t)和

i(t)。

(2)在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时间以天为计量单位。

(3)每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。传染病传播模型全文共41页，当前为第3页。

根据假设，每个病人每天可使s(t)个健康者变为病人。因为病人数为Ni(t)，所以每天共有Ns(t)i(t)个健康者被感染，即病人数Ni(t)的增加率为Ns(t)i(t)。于是得到人员流程图如下传染病传播模型全文共41页，当前为第4页。进而有再设初始时刻（t=0）病人的比例为i0，则由s(t)+i(t)=1，得到初值问题Logistic模型传染病传播模型全文共41页，当前为第5页。初值问题的解为

传染病传播模型全文共41页，当前为第6页。可画出i(t)~t和di/dt~i的图形为

i(t)~t

的图形传染病传播模型全文共41页，当前为第7页。di/dt~i的图形传染病传播模型全文共41页，当前为第8页。于是可知：①当t

时，i1，即所有人终将被传染，全变为病人，这显然不符合实际情况。其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者。传染病传播模型全文共41页，当前为第9页。

②然而，这个模型在传染病流行的前期还是可用的，可用它来预报传染病高潮的到来：当i=1/2时，di/dt

达到最大值(di/dt)m，这个时刻为这时病人增加得最快，可以认为是医院的门诊量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻。传染病传播模型全文共41页，当前为第10页。

③还可以看出，tm

与

成反比。因为日接触率

表示给定地区的卫生水平，越小卫生水平越高，所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。传染病传播模型全文共41页，当前为第11页。模型2（不考虑出生和死亡的SIS模型）

有些传染病如伤风、痢疾等治愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，所以在SI模型的基础上，增加一个假设条件就会得到SIS模型。假设条件

(1)人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为s(t)和

i(t)。

传染病传播模型全文共41页，当前为第12页。(2)在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时间以天为计量单位。

(3)每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。

(4)每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数，称为日治愈率。病人被治愈后称为仍可被感染的健康者，1/

称为这种传染病的平均传染期。传染病传播模型全文共41页，当前为第13页。如果考虑到假设条件(4)，则人员流程图如下

于是有传染病传播模型全文共41页，当前为第14页。记初始时刻的病人的比例i0（i0>0），从而SI模型可以修正为我们称之为Bernolli（贝努里）方程的初值问题，其解析解为传染病传播模型全文共41页，当前为第15页。其中

=/。由

和1/

的含义可知，是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数。于是有传染病传播模型全文共41页，当前为第16页。我们画出di/dt~i和i~t的图形为

di/dt~i

的图形（

>1）传染病传播模型全文共41页，当前为第17页。i(t)~t

的图形（

>1）传染病传播模型全文共41页，当前为第18页。di/dt~i

的图形（

1）传染病传播模型全文共41页，当前为第19页。i(t)~t

的图形（

1）传染病传播模型全文共41页，当前为第20页。模型

3（考虑出生和死亡的SIS模型）

当传染病的传播周期比较长时，若不考虑出生和死亡因素显然不妥，接下来考虑带有出生和死亡情况的SIS模型。假设条件

(1)人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为s(t)和

i(t)。传染病传播模型全文共41页，当前为第21页。(2)在疾病传播期内所考察地区的总人数为N，总认为人口的出生率与死亡率相同，并且新生婴儿全为易感染者。记平均出生率为，则人口的平均寿命为1/。

(3)每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。

(4)每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数，称为日治愈率。病人被治愈后称为仍可被感染的健康者，1/

称为这种传染病的平均传染期。传染病传播模型全文共41页，当前为第22页。在上述的假设条件下，人员流程图如下

传染病传播模型全文共41页，当前为第23页。于是有传染病传播模型全文共41页，当前为第24页。

记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0（s0>0）和i0（i0>0），从而考虑出生和死亡的SIS模型为传染病传播模型全文共41页，当前为第25页。而由s+i=1有ds/dt=di/dt，于是，上式的第二个方程变为恒等式，从而模型简化为

如果令

=/(+)，则仍表示整个传染期内每个病人有效接触的平均人数，即接触数。于是，以下的求解与讨论与不考虑出生和死亡的SIS模型相同。传染病传播模型全文共41页，当前为第26页。模型

4（不考虑出生和死亡的SIR模型）

许多传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），它们已经退出传染系统。传染病传播模型全文共41页，当前为第27页。

模型的假设条件为

(1)人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed）三类，三类人在总人数N中占的比例分别为s(t)，i(t)和

r(t)。

(2)病人的日接触率为，日治愈率为，传染期接触数为

=/。

(3)在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，并且时间以天为计量单位。传染病传播模型全文共41页，当前为第28页。在上述的假设条件下，人员流程图如下

传染病传播模型全文共41页，当前为第29页。由假设条件显然有s(t)+i(t)+r(t)=1

传染病传播模型全文共41页，当前为第30页。

记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0（s0>0）和i0（i0>0）（不妨设移出者的初始值r0=0），于是得到SIR模型为如下的初值问题传染病传播模型全文共41页，当前为第31页。而由s+i+r=1有dr/dt=di/dtds/dt

，于是，上式的第三个方程变为恒等式，从而模型简化为

上述的初值问题无法求出解析解，只能通过数值解法求出数值解。传染病传播模型全文共41页，当前为第32页。

例如，取

=1，

=0.3，i(0)=0.02，s(0)=0.98，则求得数值解如下表，相应的i(t)、s(t)曲线和i~s曲线如下图。t012345678i(t)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398传染病传播模型全文共41页，当前为第33页。SIR模型的i(t)、s(t)曲线

传染病传播模型全文共41页，当前为第34页。SIR模型的

i~s曲线传染病传播模型全文共41页，当前为第35页。

在实际应用SIR模型时，模型中的参数经常通过一些统计资料来估计。事实上，能够求出解析解的微分方程模型是非常有限的，所以人们经常利用定性理论从方程本身推出解的相关性质。对于上述的SIR

模型，就可以采用相轨线分析的方法，来获得i(t)、s(t)的一般变化规律。（参教案，略）传染病传播模型全文共41页，当前为第36页。模型

5（考虑出生和死亡的SIR模型）

模型的假设

(1)人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed）三类，三类人在总人数N中占的比例分别为s(t)，i(t)和

r(t)。

(2)病人的日接触率为，日治愈率为，传染期接触数为

=/。

(3)在疾病传播期内所考察地区的总人数为N，总认为人口的出生率与死亡率相同，并且新生婴儿全为易感染者。记平均出生率为，则人口的平均寿命为1/