新人教版初中数学八年级下册学案练习试题

16.1二次根式（第1课时）学案

【学习目标】

1、能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，

2、知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，

3、会求二次根式中被开方数字母的取值范围.

【重点难点】

重点：会求二次根式中被开方数字母的取值范围

难点：理解二次根式的双重非负性.

【学习过程】

一、自主学习：

【问题11你能用带有根号的的式子填空吗？

（1）面积为3的正方形的边长为—，面积为S的正方形的边长为一.

（2）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间？（单位：s）与开

始落下的高度万（单位：m）满足关系力=5饪，如果用含有h的式子表示t,

则t=

二、合作探究：

问题2上面得到的式子石，如,/分别表示什么意义？它们有什么共

同特征？

问题3你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？什么样的式子叫

做二次根式？

追问：在二次根式的概念中，为什么要强调"抡0"?

问题4你能比较而与0的大小吗？

三、例题探究：

例1、当X是怎样的实数时，g在实数范围内有意义？

四、尝试应用

1.下列各式中，是二次根式的有().

©V7；___(2A^3;③；

④、/例/3-MGW3);⑥N-2-G>0);

(7)^/i+3；®-\l-A2-1；取向3历0)；

F(ad>0).

A.4个B.5个C.6个D.7个

2.下列二次根式中，G的取值范围为6>2的是（

A.-xB.yJx+2C.yjx-2

3.若痴田而有意义，则m=______.

…“yjl-x

4.使式子之一有意义的G的取值范围是_____

2+x

五、补偿提高

5.对于叵三，小红根据被开方数是非负数，得出a的取值范围是a21.小慧

a-33

认为还应考虑分母不为0的情况.你认为小慧的想法正确吗？试求出a的取值范

围.

【学后反思】

参考答案：

问题L

日新，/r

问题2

都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根.

问题3

一般地，我们把形如6(抡0)的式子叫做二次根式，"「‘称为二次根

号

因为负数没有算术平方根，所以二次根式的被开方数一定是非负数

问题4

当a>0时，指表示a的算术平方根，因此R>0

当a=0时，石表示0的算术平方根，因此石=0

这就是说，国(aNO)是一个非负数.

例1、解：要使g在实数范围有意义，

必须G+2>0,

G>-2.

:•当G>-2时，病工在实数范围内有意义.

尝试应用：

1.B2.C3.0

4.GW1且GH-2

补偿提高

5、分析：根据二次根式的被开方数是非负数，一个式子的分母不能为0，可知a

应;两足3a-12。，且a-3w0，得a--且a丰3•

3

答案：小慧的想法正确.由3a-l“，且”3.0，得且a#3.

3

16.1二次根式(第3课时)学案

【学习目标】

1.理解并掌握后=a(a20),并能利用这一结论进行计算

2.了解代数式的意义，会判断一个式子是否是代数式.

【重点难点】

重点：利用77二。(〃之o)进行计算.

难点：当a<0时，而二-〃这一结论的推导和应用.

【学习过程】

一、复习回顾：

计算

(1)(拘2(2)(Ej(3)后

二.合作探究：

【问题1］你能隼释下列式子的含义吗？

)

W,而,T3z亚.

问题2根据算术平方根的警填空,并说出得到结论的依据.

,7?=,Jo.oi?=,&，=___,后=.

问题3从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律

吗？

V?(<3>0)=.

问题4、思考：

(&『与，?'有区别吗？

S

问题5、我们学过的式子，如5,a"+"-曲，L-/,后，石(心0),

这些式子有哪些共同特征？

__________________________________________________的式子叫做代数式.

注意：

•单独的一个数或者是单独的一个字母也叫做代数式.如：0,b,20GG都是代数

式.

•只有用运算符号连接而成的式子才是代数式，用其它符号连接而成的式子不是

代数式，如：G+1=3,是等式而不是代数式.再如：y・3之0是不等式，但是，

不等式的两边也是代数式.

三、例题探究：

例1、化简：

(1)716(2)QF

五、尝试应用

1.下列各式中计算正确的是()

A.-J(-6>=—6B.(-V3)2=9C,^/(-16)2—±16D.—=^

2.下列各式中，对任意实数3都成立的是().

A.(^5)2B.a=\J~^C.|a|=\j~^D.|a|=(^/5)2

3.若G<3,则化简W2—+|5-6|的结果是().

A.2B,-2C.2G-8D.8-2G

4.计算：

(1)麻7(2)43」4-兀)2;

六、补偿提高

5、填空：当抡0时，，二；当X0时，丁二并根据这

一性质回答下列问题.

⑴若十二a，则&可以是什么数？

(2)若小=-d,则曰可以是什么数？

(3)若干>d，则d可以是什么数？

【学后反思】

参考答案：

复习回顾：

1.(1)9;(2)|;(3)5

合作探究：

问题L这些式子都表示一个数的平方的算术平方根.如万是2的平方的算术平

方根，其他略

问题2、五二2;而记二0.01;肾二g;疥二0

问题3、x/l^(a>0)=tz

问题4、(1)从运算顺序来看：

(6尸先开方，后平方；历先平方,后开方

(2)从取值范围看：

(而『中，日取非负数；病中，d是全体实数

(3)从运算结果看

向”—世训、

问题5、用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，称为代数式。

例L分析：利用性质行=3(3>0)来化简，注意被开方数的底数符号.

解：(1)716=7?=4

(2)J(-5尸-7^'=5

尝试应用：

LA;2、C;3、D

4S(1)0.5;(2)n-3.14.

补偿提高

5.a

⑴因为G=a，所以公°；

(2)因为、■=-a,所以as。；

⑶因为当抡0时，=^，要使/>a，即使a>a所以a不存在；当a<0

时，、后--a,要使J1>a,即使-a>a,a<0,综上，a<0.

16.2二次根式的乘除(第1课时)学案

【学习目标】

L能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算；

2.会进行简单的二次根式的乘法运算.

【重点难点】

重点:八.加=瓢(a>0,b>0),4ab=4a-4b(a>0,b>0)的推导及它

们的运用.

难点：二次根式的化简

【学习过程】

二、自主学习：

【问题11

计算下列各式，观察计算结果，你发现什么规律

(1)725x79=_,J25x9=_

(2)V?x>/36=_,J4x36=_

(3)V?6xV25=,716x25=—；

二、合作探究：

【问题2】

L参考上面的结果，用">、<或="填空.

“XV9____74^9,

VlOOxV367100x36

V16xV25Jl6x2：

2.总结归纳：你能找出二次根式怎样进行乘法运算吗？字母表达式怎样？

结论：•

【问题3】把G••二痣(a>0,b之0)反过来，仍然成立吗？

积的算术平方根的性质：.

三、例翘探究：

例1.计算

(1)75xV7(2)Ax也(3)%)

例2化简

(1)716787(2)晒2yz

六、尝试应用

1、计算

(1)79x727(2)耳x指

2、化简

(1)79x16(2)V81x100

⑶后(4)7^7?

七、补偿提高

3.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

(1)J(T)x(-9)=Cx"

小晨x区=4层x后

=4712=873

【学后反思】

参考答案：

问题1.(1)15,15

(2)12,12

(3)20,20

发现他们的运算结果相等

问题2、

1二二=

24ci'4b-Jab(a>0,b>0)

问题3、y/ab-yfa-4b(a>0,b>0)

例1、分析：直接利用五•二J茄(处。b>0）计算即可.

依好•尚困用

J茄二G(5>0,Z?>0)直接化简即可.

(1)>/16x81=5^6xTsT

=4x9=36

(2)屉V二行x

二gx7?*6-3Gy

尝试应用二

ls(1)V9xV27

=J9x27=j92x3=96

(2)Ax#=gx6=V3

2、解：(1)V9716

=mxV16=3x4=12

(2)781x100

=V81xJi00=9x10=90

(3)V54=J9x6

=5/3^xV6=3V6

(4)J12dy4z2=2xy2zV3x

补偿提高：

解：(1)不正确.

改正：

7(^)X(-9)=A/4^9

=V4xV9=2x3=6

(2)不正确.

=,16x7=4"

16.2.二次根式的乘除（第2课时）学案

【学习目标】

L理解二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质；

2、会进行简单的二次根式的除法运算

【重点难点】

重点：会进行简单的二次根式的除法运算

难点：二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间的关系和应用.

【学习过程】

三、自主学习：

知识回顾：

1.二次根式的乘法法则的内容是什么？

2.积的算术平方根的性质是什么？

二、合作探究：

【问题11

问题1、探究：

1.计算，观察计算结果，你发现什么规律？

=-

(1)V19二

1

=-

(2)用

屈

点

而

规律：-一

林

2.由以上探究，类比二次根式的除法法则，你能得出二次根式的除法法

则:.

问题2对比乘法法则里字母的取值范围，除法法则里字母的取值范围有何变

化？

问题3对比积的算术平方根的性质，商的算术平方根有没有类似性质？

三、例题探究：

V12

例1.计算：(1)

例2.化简：

七、尝试应用

1、计算:

2、化简:

八、补偿提高

【学后反思】

参考答案：

知识回顾：

1、4a-4b=4ab(a>0,b>0),

2、yfab=4a-4b(a>0.b>0)

[题1u1

(D--

，

4,‘

4

44

/2-

1，

W：

一

A「

2."JI"4。），

问题2对比乘法法则里字母的取值范围，除法法则里字母b>0,因为分母不

能为零

,子，（抡0,60）

问题3、有类似的商的算术平方根的性质：

例、分析：上面小题利用小

14*（a>0,b>0）便可直接得出答案.

解：（1）V4=2

(2)

3

—x

朋2

=6*2=26

例2、分析：直接利用1a>Q,b>0）就可以达到化简之目的.

解：（1）

8b

(2)

3a

尝试应用：

1、解：（1）

-xl6

4

=4=2

（2）华气64

=瓜=2V2

2、解：（1）

yj5x_75x

7169/13y

补偿提高：

3、分析：式子器哼,只有a>Q,b>0时才能成立.

因此得到9-任0且G-6>0,即6<G<9,又因为G为偶数，所以G=8.

9一：'°,即'x<9

解：由题意得

x-6>0x>6

.,.6<G<9

•••G为偶数

:.G=8

.•原式=(1+G)4)(x7)

,~V(x+l)d)

=(1+G)户

v户土L

=(1+G)JJ=7(1+X)(X-4)

J(x+1)

，当G=8时，原式的值="万=6.

16.2.二次根式的乘除(第3课时)学案

【学习目标】

1、理解最简二次根式的概念。

2、把二次根式化成最简二次根式.

【重点难点】

重点：最简二次根式的运用。

难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。

【学习过程】

四、自主学习：

复习回顾

L化筒(1)半=(2)婆=(3)当=

V5------V27-----41a

2、结合上题的计算结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简

二次根式达到的要求是什么？

二、合作探究：

观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两介特

占,

1.被开方数不含;

2.被开方数中不含

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做.

三、例题探究

例L设长方形的面积为S,相邻两边长分别为3,6,已知S=2石，b=厢，

求a

八、尝试应用

1、下列二次根式是最简二次根式的是（）.

A.AB.74C.V3D.7s

2、化简方的结果是（）

x/27

A.-巫B.-2_C.-亚D.-V2

363

3、判断下列各式是否是最简二次根式：

(1)V6(2)回

(4)日;

⑸^77(6)二

7a

4、化简.

(2)向心+yy；

⑶融21

九、补偿提高

将你猜想到的规律用含自然数"（"'I）的等式来表示.

【学后反思】

复习回顾：解：(1)卓=器

“、3夜指甘

(2)-7==—,

%2G

合作探究

1.5^;

2.能开得尽方的因数或因式.

最简二次根式.

例1、解：因为s=ab

所以a=士=空=巫巫^叵

b~y/]o~VioxVio-5

裳试应用

LC,2、C

3、(1)#是最简二次根式

(2)例不是最简二次根式

(3)£不是最简二次根式

(4)当是最简二次根式

(5)历手是最简二次根式

(6)《不是最简二次根式

/-

4、(1)亚

2

(2)xyyjx2+y2

(3)2xyy/2y

/看S+1为论D

16.3二次根式的加减(第1课时)学案

【学习目标】

1、掌握二次根式加减运算的步骤和方法.

2、会灵活运用二次根式的有关性质进行二次根式的加减运算.

【重点难点】

重点：二次根式加减法的运算

难点：探讨二次根式加减法运算的方法，快速准确进行二次根式加减法的运算.

【学习过程】

五、自主学习：

【问题11

一个运动场要修两块长方形草坪，第一块草坪的长是10米，宽是百米，

第二块草坪的长是20米，宽也是石米.你能告诉运动场的负责人要准备多少面

积的草皮吗？

二、合作探究：

【问题2】

10V5+20后是什么运算？你能根据合并同类项计算下列3个小题吗？

(1)V5+V5(2)2&+3后(3)2次-3人+5近

【问题3]

尝试计算：V5-V50+Vi)

通过对以上几个题的观察，你能说说什么样的二次根式能合并，什么样的不能

合并吗？

总结：二次根式加减时,先将二次根式化简成，再停的二次根式进行合

并.

三、例题探究:

例1计算：

(1)780-745

(2)y/9a+J25a

分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的

最简二次根式进行合并.

解：

例2、计算：(1)2712-6^+3748；

(2)(V12+V20)+(V3-V5).

总结:二次根式的一般步骤有哪些？

九、尝试应用

L计算

(1)瓜+屈

(2)J16x+J64x

2.计算

(1)3748-9^+3712

(2)(，48+J20)+(y/12-^5)

十、补偿提高

3.已知4G+必-4G-6y+10=0,求(3瓦+产后)-(-5G机)

的值.

分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2G-1)

2+(y-3)2=0，即G=；,片3.其次，根据二次根式的加减运算，先把各项

化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值.

解：

【学后反思】

参考答案：

问题1、(10石+20百)平方米

问题2、(1)2不(2)5&(3)4后

问题3、解：V5-V50+V20

二石-5五+2亚

=3^5~5*\/2

最简二次根式，被开方数相同

例1、解：(1)V80-V45

=4旧-3加二加

(2)历+

=3y/a+5-Ja=S\[a

例2、解：(1)24\2—6^-+3A/48

=4A/3-2V3+12V3=14A/3

(2)(748+720)+(712-75)

=748+720+712-6

=4+2A/5+2址＞-5/5—6+A/5

总结：二次根式加减的步骤：

"一化简"、

"二判断"、

"三合并。

尝试应用

工、分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相

同的最简二次根式进行合并.

解：(1)次+A/T8

=2V2+3V2

=(2+3)6=5近

(2)J16x+

=(4+8)y[x=12Vx

2、解:(1)3灰-9%3配

=12\f?>-3x/3+6A/3

=(12-3+6)V3=1573

(2)(V48+V20)+(V12-V5)

=J48+《2。+vr?-#)

=4-\/3+2Vs+2yfi-y/5

=6百+6

补偿提高：

3、解:•,-462+/-4G-6y+10=0

,.•4G2-4G+1+/-6y+9=0

・・•(2G-1)2+(y-3)2=0

.,.G=；，片3

原式=+/-(?,+5Gp=2G4x+y/xy-G4x+5^/xy

=G4X+6.y/xy

当G=g,y=3时，

原式=；*+6号乎+3指

16.3二次根式的加减(第2课时)学案

【学习目标】

熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算

【重点难点】

重点：熟练进行二次根式的混合运算

难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用

【学习过程】

六、自主学习：

【问题11

问题1:计算

(1)(2x+,y)'2x；(2)(2//+3初)+p-

问题2:计算

(1)(x+3)(x-5)；(2)(x+y)(x-y).

追问1：问题L2中的字母X、y可以代表哪些数与式.

二、例题探究：

例1.计算：

(1)(V6+V8)x73(2)(4街-3&)+2夜

分析：整式的运算律在二次根式的混合运算中，照常可以使用.

解：

例2.计算

(1)(75+6)0-75)(2)(V10+V7)(Vio-V7)

分析：整式的乘法法则和乘法公式在二次根式的混合运算中仍然适用.

解：

三、尝试应用

L计算：

(1)V2(2V2-V3)

(2)(745-715)^75

2、计算

(1)(73-272)(273-V2)

(2)(V3-272)(73+2-72)

(3)(V3-2V2)2

四、补偿提高

n/Izg+1-«,Jx+1+yfx

3、化间,-----广+—f=--『,

V.X+1+yJXA/X+1—y/X

分析：由于(GR+«)(-4)=1,因此对代数式的化简，可

先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到G的值，代入化

简得结果即可.

解：

【学后反思】

参考答案：

问题1、

(1)4A2+2xy(2)2x4-3

问题2、

(1)215(2)/_y2

例1、解：(1)(指+所)乂百

二\/6xx-\/3

=V18+V24=3A/2+276

(2)(4庭-3后)-2V2

=4>/64-2V2-3V24-2V2

=2也--

2

例2、分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运

算中仍然成立.

解：(1)(石+6)(3-班)

=3石-(石)2+18-675

=13-3石

(2)(V10+V7)(Vi0-V7)=(V10)2-(V7)2

=10-7=3

尝试应用

1、(1)72(272-73)=4-76

(2)(V45-J15)+V5

=J45+5-J15+5=3-百

2、计算

(1)(73-272)(273-72)

—6--+4

=10-5A/6

(2)(V3-2V2)(V3+2V2)

=(招>一(2拒产=-5

(3)(V3-2V2)2

=3+8-4遥=11-4#

补偿提高

3、解：原式:/(吁J严2(Jx+1+

----11+X+1

(vX+1—VX)*(。犬+1+J/

--,十,

(x+1)—JV(JC+1)—X

=(G+1)+G-2“(x+l)+G+l+G+2Jx(x+1)

=4G+2

16章二次根式复习(第1课时)学案

【学习目标】

1.进一步理解二次根式的概念；掌握最简二次根式的概念

2.理解二次根式的四个性质，并会用二次根式的性质将简单二次根式化简;

【重点难点】

重点：二次根式的有关性质；

难点：二次根式的化简

【学习过程】

一、知识回顾：

1、完成下列各题

Q)式子

Q,V25,历,-a,J/+1,y/l-3x(x>-)

23

中,是二次根式的是.

⑵当B时，g是二次根式。

(3)若式子有意义，则G的取值范围是

I-2

有：O

由以上题目，回顾本单元所学习的二次根式的有关概念及性质:

(1)J"x+Jx_2；⑵-__-j==

实数范围内有意义:

⑶、盾+V-2x；(4).

3x

分析：（1）题是两个二次根式的和，G的取值必须使两个二次根式都有意义；

（2）题中,甫随》不就孰曲碗腻做•石忆蟒他

（3）题是两个二次根式的和，G的取值必须使两个二次根式都有意义；

（4）题的分子是二次根式，分母是含G的单项式，因此G的取值必须使二次根

式有意义，同时使分母的值不等于零.

例2.如图，实数a,b在数轴上的位置，化简正-肝-向凉.

iII।I才

-1a0b1

分析：根据图中数轴，可知-l<a<Ovb<l,于是在=|a|=-a,分=|b|=b,

石，7:|a-b|二tra,就可化简原式.

三、矫正补偿

1,下列式子一定是二次根式的是（）

A.A/-x—2B.VxC.Jr+2D."Jx~~~2

2.若《G-bf=3-b,贝（J（）

A.b>3B.b<3C.b>3D.b<3

3.若MN有意义，则m能取的最小整数值是（）

A,m=0B.m=lC.m=2D.in=3

4.若G<0,则土正的结果是（）

X

A.0B.­2C.0或—2D,2

5.如果6•Jx-6=Jx(x—6),那么(

A.G>0B.G>6C.0<G<6D.G为一切实数

6.求使下列各式有意义的字母的取值范围：

(1)757^4(2).』(3)J〃/+4

四，拓展提高

2

7.已知耳仇c为的三边长，化简：.^a+b-c)+^a-b-cf

【学后反思】

参考答案：

知识回顾

(1)725Ji22+U

(2)«>1

(3)A>-1TX2

(4)2,0.16

⑸乎

(6)而

知识点1、二次根式的意义

一般地，我们把形如㈠(a>0)的式子叫做二次根式称为二次根号.

二次根式应满足两个条件：L形式上必须是五的形式；2、被开方数必须是非

负数。

知识点2、二次根式的性质

⑴

⑵〃？=|0|

(3)7flT=77xVT(^>o,z?>o)

a>0,b>0）

知识点三、最简二次根式

满足下列条件的二次根式，称为最简二次根式：⑴被开方数不含分母；⑵被开方

数中不含能开得尽方的因数或因式。

综合运用：

例1、

解(1)要使g有意义，必须3.x>0,即要使g有意义，必须x-2>0,

即x>2.所以使式子以-x+Jx-2有意义的遥为24«3.

（八氏f41-JV2=1.Ivl.当*=±1时，1-国=0,原式没有意义,所以当x#±l时,

式子有意义.

1--7?

(3)因为使居有意义的x值为x>0,使广五有意义的碑值为x40,所以使、位

+J-2x有意义的或为x=0.

⑷伏I为使整三2有意义的x取信为x+2>0,即x>-2,而分母3x^0,即xrO,所

以使式子因二有意义的x取值为

3x

G>-2且分0.

蠢解护一“"一行

=-a-b-（b-d）

=-a-b-b+a

磕磔）偿

1.C2,D3.B4.D5,B

6.（1）x>|（2）屋（（3）全体实数（4）x<0

拓展提高

7、解：因为2。。为4/18。的三边长，所以a+b>c,b+c>a.

原式=Ia+b-c\+|a-b-c\

=a+b-c-（a-b-c）

=a+b-c-a+b+c

=2h

16章.二次根式复习（第2课时）学案

【学习目标】

1.理解二次根式的运算法则

2.熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.

【重点难点】

重点：混合运算的法则，运算律的合理使用.

难点：灵活运用运算律、乘法公式等技巧，使计算简便.

【学习过程】

四、知识回顾：

1、完成下列各题，并回顾本章所学习过的二次根式的有关运算法则：

1、下列二次根式中，能与VF合并的是（)

4五8、ViT

五、合作探究：

1

例1计算：⑴，^一五

例2,计算：

（VTs+J48）（J32—2）—（>/2-

【分析】

进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法

与技巧，使运算过程简便，此题利用根式乘法Mx病二屈五也能算出结果,

但这样计算量较大，不如将各根式化简后再乘方便

二次根式的运算方法总结：

六、矫正补偿

L下列计算结果正确的是（）

L「L石

A.72+75=V7B.35/2-A/2=3C.V5xx/3=V150”二5•

V5

2.估算收-2的值（）

A.在1和2之间B.在2和3之间C.在3和4之间D.在4和5之间

3.计算蠡-0的结果是（）

A.6B.\[GC.2D.V2

4、计算下列各题

⑴.2>/12+3^11-^5^--|-A/48

（2）4J48—，54+2+（3—y/3j

（3）.（7+4V3）（7-4>/3）-（3x/5-l）2

（4）.（1+>/2）2（1+V3）2（1-V2）2（1-V3）2

五、拓展提高

5、把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面积为2的正方形，并把这两

张正方形纸片按照如图所示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸盒.求

这个纸盒的侧面积（接缝忽略不计）.

【学后反思】

参考答案：\

知识回顾

1、A,2、2,3、20

2

4、2百+9近5、4

二次根式的乘除法

1、二次根式的乘法：VTx归二疝（*0fb>0）

2、二次根式的除法:(a>0,b>0)

3、二次根式的加减

二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式,•再将被开方数相同的

二次根式（即同类二次根式）进行合并.

得,星：原式=&gX~^=X

⑵修原4"a

-3VI6X3-2J—

yjaY〃8V3X3

=2x26+0-3x4后-2g

例2、解：原式；3

=4V3+Vs—12—V3

例2、43及+4刎)(472-273)-(V2-V3)2

=72-—73

=1^x2-676+16^-8x3-(5-2屈)

=1076-5+276=1276-5

方法总结:

1、乘除是同一级运算，应按从左到右进行；

2、在二次根式的混合运算中，要灵活、正确地运用乘法公式；

3、在二次根式的运算中，一般要把最后结果化成最简二次根

矫正补偿

1、C;2、C;3、D

4.(1)26,(2)46-;而+2,

■财刷・亚x4

=（718-V2-亚•收）x4

=（6-2）x4

=16•17.1勾股定理（第1课时）学案

【学习目标】

1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会证明勾股定理.

2.能运用勾股定理进行简单的运算

【重点难点】

重点：勾股定理的证明.

难点：勾股定理的证明

【学习过程】

七、自主学习：

1、直角三角形角有哪些性质？

2、“地砖里的秘密？”

如图所示的地砖中隐含着直角三角形三边关系的什么"秘密"呢？

问题1：地砖是由全等的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形都相邻三个正

方形，这三个正方形面积间有怎样的关系？

问题2:如果用直角三角形三边长来分别表示这三个正方形的面积，又将反

映三边怎样的数量关系？

结论：等腰直角三角形斜边的平方等

于

八、合作探究：

拓展：其它直角三角形是否也存在这种关系?

已知：如图：RtAABC,ZC=9Q,BC=3,AC=4.

求的长.

问题：

(1)正方形尺Q的面积是多少？

(2)怎样将正方形/?的面积转化为几个“格点图形”的面积和或差来计算呢？

由此发现直角边长为3和4的直角三角形的三边具有怎样的关系？

【验证】：

Rt^ABC,ZC=90\BC=a,AC=b,AB=c.

求证：a2+b2=c2.

证法1:如图将四个全等的直角三角形(直角边分别为a

图所示的正方形，你能借助该图形证明上述命题吗？

证法2:将四个全等的直角三角形(直角边分别为a,b,

示的正方形，你能借助该图形证明上述命题吗？

结论：勾股定理:____________________________________________________

九、尝试应用

L在下列图形中标出直角三角形中未知边的长度：

8

6

40

2、赵爽弦图"是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正

方形（如图），若直角三角形的两条直角边的长分别是2和1,则小正方形（阴影

区域）的面积与大正方形的面积比为（）

A.18.-C.-D,

3455

四、补偿提高

3、如图，直线/上有三个正方形a、b、c，若。、的面积分别

为5和11,则b的面积为（）

【学后反思】

参考答案：

自主探究：

1、直角三角形两个锐角互余

2、问题1、以直角边为边长的两介正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形

的面积；

问题2、斜边的平方等于两直角边的平方和.

结论：等腰直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和.

合作交流：

拓展：

（1）正方形尺Q的面积分别是32,4?

【验证】证法1：证明：.d=(〃-。2+4'1。江

■.a2+b2=c2

证法2:''(a+b)2-c2+4x-^ab.

..a2+b2=c2.

如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么储+〃=。2

尝试应用：

1、10,9,132、C

补偿提高：

3、C

17.1勾股定理（第2课时）学案

【学习目标】

L会用勾股定理进行简单的计算和解决实际问题.

2.理解掌握实际问题转化成数学问题的解题思路和方法.

【重点难点】

重点：应用勾股定理解决相关问题

难点：将实际问题转化为数学问题

【学习过程】

十、自主学习：

知识回顾：

1.勾股定理的内容是什么？

2、勾股定理的作用？

二、合作探究：

例1、一个门框的尺寸如图所示,若薄木板长3米，宽2.2米，它能否从门框通

过呢？

思考：怎样判断能否通过呢？

分析：可以看出：这里木板横着不能进，竖着不能进，只能试试将木板斜着顺进

去。

因此，门框对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度，所以比较/C的长度，

是否大于2.2就可以了.

解答：

DC

2m

1收期,一个2.6m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙A0上，这时A0的距离

为2.4m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗？

【分析】(1)由图根据勾股定理可求BD的长，看看是否是0.5m

(2)已经知道那些线段的长？AB和CD是什么关系？

(3)由图可知BD=OD-OB,分别求出OB、OD即可.

解答；

50dm的正方形洞口，想用一个圆盖盖住这个洞口，圆的直径

D

至少多长（结果保留整数）.

2.如图，池塘边有两点A,B,点C是与BA方向成百角的AC•方向上一点，•

测得CB=60m,AC=20m，你能求出A、B口

十一、补偿提高

3.如图，要修一个育苗棚，棚宽a=2m,b=L5m,长d二16m,求覆盖在顶

上的塑料薄膜需多少平方米？

【学后反思】

参考答案：

自主探究：

1、略

2、勾股定理是直角三角形中特有的三边关系定理，运用它能由已知两边求第三

边

例1、解：在A3ZI8C中，由题意有：

AC==712+22«2.236

.「Ar大于木板的宽

「•薄木板能从门框通过

例2、解：由题意有：90°,在RMA8。中

根据勾股定理，

AB=2.6m,OA=2.4m,

所以OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.

OB=1在RNOCD中，

OC=OA-AC=2.4-0.5=1.9,CD=AB=2.6m,

所以OD2=CD2-OC2=2.62-1.92=3.15.

ODul.77m（精确到0.01m）

BD=OD-OB=1.77-l«0.77m,

所以梯子底端外移0.77m.

裳试应用：

1.解：设圆的直径为Gdm,根据勾股定理，得502+502=G2,

工为71dm.

2.解：在RfABC中,AC=20m,BC=60m,根据勾股定理，得

AB2=BC2-AC2=602-202=3200,AB=40&.

所以A,B两点间的距离为400m

补偿提高：

3、40m2

17.1勾股定理（第3课时）学案

【学习目标】

L会运用勾股定理在数轴上画出并表示无理数，进一步理解感受数轴上的点与实

数——对应.

2.进一步理解数学中的数形结合思想，转化思想，学会运用勾股定理解决实际问

题

【重点难点】

重点：运用勾股定理在数轴上标出表示无理数的点.

难点：无理数也能在数轴上表示出来，理解数轴上的点与实数是一一对应的.

【学习过程】

十一'自主学习：

复习回顾：

1.在Rb/8U中,zC=90°.

(1)已知。=6,c=10,贝心=

(2)已知a=40,Z?=9,则。=

⑶已知a=〃,c=4,则.=.

2在RN/8C中，NU=90°于点D.若CD=4,BD=?＞，则BC=.

3.CD是Rt△/灰7斜边上的高，若AB=1,AC\BC=A:1，则。的长为_.

二、合作探究：

【问题11在八年级上册，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应

相等的两个直角三角形全等.你们能用勾股定理证明这一结论吗？

先画出图形，再写出已知、求证如下：

已知：如图，在Rt'ABC和RMA'B'C'中,zC=zC=90°,AB=A'B',AC=A'

【问题2］数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表

示旧的点吗？

分析：(1)你能画出长为3的线段吗？怎么画？说说你的画法.

(2)长是旧的线段怎么画？是由直角边长为—和____整数组成的直角三

角形的斜边？

(3)怎样在数轴上画出表示风得点？

点拨：此题看似是在一个直角三角形中求斜边，其实不然，由于楼梯的水平

方向和竖直方向都需要铺，所以水平方向长度和即为6.4m・，♦竖直方向长度和

即为4.8m.

【学后反思】

参考答案：

自主学习

1.(1)8(2)41(3)2V22.53、3

合作探究

问题1、证明:在QgABC和的ABC'中,zC=zC=90°,根据勾股定理，

得BC=AJAB2-AC2,BC=^AB2-AC.又AB=AB,AC=A,C,,/.BC=

BC,.•.△ABC2ABC'(S55)

问题2、解：①在数轴上找到点A，使OA=3,

②过A点作直线L垂直于OA,,在L上截取AB=2,

:恪画弧，交数轴于点C,

61/，蕊A再r—4郑

，/"飞73,……画法不唯一，如下图：

012

尝试应用

L解：如是两直角边为4和1的直角三角形的斜边，因此，在数轴上画出表

示小的点如图：，-中

0I234C

2、解：在"ABC,根据勾股定理可求得：AB=10;

在AhABD,AB=10,BD=26,

根据勾股定理可求得：

AD=24

补偿提高

3、解:地毯共需:4.8+6.4=11.2(m).

面积为11.2x4=44.8(m2).

44.8x50=2240（元）.

所以购买地毯共需2240元.

17.1勾股定理（第4课时）学案

【学习目标】

1.进一步理解和掌握勾股定理.

2.会应用勾股定理解决实际问题.

【重点难点】

重点：应用勾股定理解决实际问题

难点：在实际应用中正确的理解题意，构造直角三角形

【学习过程】

十二、自主学习：

1、如图，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角走"捷径"，

在花园内走出了一条"路"，仅仅少走了（假设1

米为2步）

二、合作探究：

例1小红想测量学校旗杆的高度，她采用如下的方法：先将旗杆上的绳子接

长一些，让它垂到地面绳子还多1米；然后将绳子下端拉直，使它刚好接触地

分析："让它垂到地面绳子还多1米”这句话的意思是"线段AB比AC长1米，"

我们要求线段AC的长，可以设未知数来求解。

解：

例2、有一圆形油罐底面圆的周长为24m,高

A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路

A

分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形根据两

点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m

的中点处，即AB长为最短路线.（如图）

解：

方法小结：

勾股定理在生产、生活中的应用十分广泛，利用勾股定理解决问题，关键是

找出问题中隐藏的直角三角形，构造合适的直角三角形，有时要尝试把立体图形

转换为平面图形来解决。

三、尝试应用

1.如图：有一圆柱，它的高等于8cm,底面直径等于4cm（4=3）在

圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食

物，需要爬行的最短路程大约（）

a题图）

A.10cm

B.12cm

C.19m

D.20cm

2、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上

方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米。

飞机每秒飞行多少米？

3、如图，要登上8米高的建筑物BC,为了安全需要，需使

梯子底端离建筑物距离AB为6米，问至少需要多长的梯子？

6iti

四、补偿提高

4、如果电梯箱的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米，那么

竹竿能否进入电梯内？（不计电梯门的限制）

1.5米

【学后反思】

参考答案：

自主学习：

L由勾股定理可知AC=5米，

所以3+4-5=2米

故少走了4步

合作探究

例1、解：设旗杆AC高G米则AB为（G+1）米

在直角三角形ACB中，

<.AB2=AC2+CB2,

（G+l）2=G2+52.

解得G=12.

答：旗杆的高度是12米.

例2、

解：AC=6-1=5,

BC=12,

由勾股定理得

AB2=AC2+BC2=169,

.,.AB=13（m）.

尝试应用

1、A.

2、由勾股定理可求出这架飞机20秒飞行了3000米，所以这架飞机每秒飞行

150米

3、解：根据勾股定理得：

AC2=62+82

=36+64

=100

即：AC=10（-10不合，舍去）

答：梯子至少长10米。

补偿提高

解：如图所示，设BC为G

G2=1.52+1.52=4.5

AB2=2,22+G2=9.34

17.1勾股定理（第5课时）学案

【学习目标】

L理解勾股定理，并能用多种方法证明勾股定理.认识勾股定理是直角三角形特

有的三边关系定理.

2、能熟练运用勾股定理进行有关计算和解决实际问题.

【重点难点】

重点：勾股定理的应用

难点：在应用中勾股定理与其它三角形知识的有机结合.

【学习过程】

一、自主学习：

1.直角AABC的主要性质是：若NC=90°,

那么（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系：；

⑵若NB=30。，则NB的对边等于斜边的；若NB=45。，则两直角边

长•

（3）三边之间的关系：_____________________

2.在中，a,b、c为三边；若a=6,h=8,则C=；

3.在Rt”歌中，a、b为两直角边，c为斜边，已知a：b=3：4,且斜边为

分析：由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其

高度是否小于CH.如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD_LAB,与地面

交于H.

解答：

三、裳试应用

1.如图，长方形28。中，AB=4,BC=3,将其沿直线用/V折叠,使点C与

2.你听说过亡羊补牢的故事吗？

如图，为了防止羊的再次丢次，小明爸爸要在高0.9m,宽1.2m的栅栏门的相对

小明在平坦无障碍物的草地上，从A地向东走3m，再向北走2m，再向西走1

m,再向北走