第16章二次根式-教案

2(1)二次根2教目：知二次根式与数的开平方运算之间的联系，体会二次根式是数、代数式及其运算的发展；理

有意义的条件，理解

a

；．会根据二次根式有意义的条件确定二次根式里被开方数中字母的取值范教重和点理有义的条件，掌握aa.教流设：由复习提问引出通过练习使学二次根式的概生掌握如何求念，并理解二次二次根式中字根式有意义所必母的取值范须满足的条.教过设：一新引：、上学期学习了开平方运算，正数的方根可表示为

回顾数的开方中所学知识，归纳得出二次根式的性质

最后通过习题进一步巩固和运用二次根式的性质、练习：当a

0

时，化简

a

和

(a)

2二学新：、察考

（a

0

）是一个代数式，叫做二次根式被开方数举例说明：

2

、

、

2

、b

等都是二次根式实数范围内，负数没有平方根，所以象，b(b0)

这样的式子没有意义，二次根式有意义的条件是被开方数是非负二次根式的两个性质1(a

；2

()2(0)通过填表，由学生归纳出当a为意实数时，

2

与

的关系，即

a0)a2a

(a0)、题析例设x是数，当x足什么条件时，下列各式有意义？）

x

；

）

；

）

x

；

）

2例求下列次根式的值1）

(3

)

2

2

x2x

，其中

x3

例设a、、分是三角形三边的长，化简：三课小：

()

2(b)2、要使二次根式有意义，被开方数必须为非负数，同时还要特别注意当分母含有字时分母要不等于、能根据

2

与

的关系求出被开方数是完全平方数的二次根式的值，在计算时可先将其整理，尤其注意符四作布：习册习题(1)教设说：本节课在学生学习了数的开方后的延续，因此在教学设计中，重点放在认识二次根式和二次根式有意义所必须满足的条件上，采取启发式的教学方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的严谨的思维本节课要求学生掌握二次根式的性质特别是掌握a与a的关系并够在计算时熟练运用是本节课的重点也是难点，在教学设计中安排了形式多样的课堂练习，例2和3的解可以在老师的引导下，师生共同分析和解答，使学生当堂能够掌握运用二次根式的性质进行解.教反：掌握a2与的关系是本堂课的重点及难点，不仅是二次根式的一重要性质，同时也渗透了分类思想；另外，要使二次根式有意义，不仅要满足被开方数为非负数，还要注意分母不能为0

(2)二次根教目：握二次根式的性质3，会根据二次根式的性质化简次根.教重和点根二次根式的性质化简二次根.教流设：由复习提问引出二次根式的另两个性质.

通过二次根式的性质运用，探索得出形式不同的两个二次根式可能相等.

掌握如何运用二次根式的性质和分数基本性质化简二次根式.

最后通过习题进一步巩固化简二次根式.教过设：一复提：、什么叫二次根式？二次根式有意义所要满足的条件是什么？、我们学了哪些二次根式的性质？、回忆另外两个二次根式的性质：

(0,

；

(a二学新：、察考提问：

与

相等吗？为什么？利用二次根式的性质很容易把18化92，而得到。般来说，如二次根式里被开方数是几个因式的乘积，其中有的因式是完全平方式，则可用它的非负平方根代替后移到根号外面，即ab

2

2

(a0)提问：

6与相等吗？为什么？4利用分数的基本性质以及二次根式的性质能证明它们相等，如果二次根式中被开方数是分式（分数）则要化去分母.把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称“化简二次根式，通常把形如

m(a

的式子也叫做二次根式，如

，

a

等、题析例化简二根式）

）

12

3

）

18

(x例4

化简二次根式：1）

）

52x

）

2

(0)三课小：、意掌握化简二次根式的两个基步骤，即先将二次根式中的分母化去，再把二次根式中所含完全平方因式移到根号外.、在化简二次根式时，要注意判断根号内字母的取值范围，从而正确化四作布：习册习题16.1教设说：．通过比较两对二次根式的大小，顺利引化简二次根式的概念，尤其对于化去二次根式中的分母要着重讲解，并多加练习，是本节课的一个难．节课的教学设计，力求体现出教师引导下，师生共同讨论、分析、归纳，掌握化简二次根的一般步骤，并通过课堂练习让学生在课堂上达到巩固所学知识的目的．教反：在化简二次根式时，除了养成规范的解题步骤外，还应特别注意学会判断题目中字母的符

(1)最简次根和类次式教目：经历最二次根式概念的形成过程，理解最简二次根式的概,通化简二次根式,会研究二次根式的方.会判别简二次根式，会化最简二次根教重和点会别最简二次根式，会把不是最简的二次根式化为最简二次根.教流设：由复习提问化简三个二次根式，并观察化简前后根式内有何变化.

观察后通过归纳小结引出最简二次根式的概念.

通过例题学会并掌握如何判断一个二次根式是否为最简二次根式.

最后通过例题学会并掌握把不是最简二次根式的二次根式化简为最简二次根.教过设：一、复习提问：、如何化简二次根式？、化简下列二次根式：3

；

3

；

2

(0)

ba3a

(b二学新：、察考观察每组两个二次根式里的被开方数前后发生了什么变,简后的被开方数是由那些共同的特征。师生共同讨论总结：）被开方数中各因式的指数都为1）被开方数不含分师生共同总结：同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根.举例说明：如

3

、

13

x2y

、

m22

等都是最简二次根式.、题析例判断下二次根式是不是最简二次根式：）

5a3

）

a

）

）

2a例将下列次根式化成最简二次根式：）

32(

2

(a

2

)(a)a

）

mm

(三课小：（1掌握判断最简二次根式的依据：二次根式里被开方数中各因式的指数都为1且被开方数不含分（2化简二次根式时，要特别注意判断根号内字母的取值范围，从而正确化四作布：习册习题(1)教设说：通过观察三个二根式的化简结果利引出最二次根”的概念并通过举例学会断一个二次根式是否为最简二次根式.．节课的教学设计，力求体现出教师引导下，师生共同讨论、分析、归纳，掌握化成最简二根式的一般步骤，并通过课堂练习让学生在课堂上达到巩固所学知识的目的．教反：在化简二次根式时，如果要将被开方数中某个完全平方式的因式用它的正的平方根（即算术平根）代替后移到根式外那么这个正的平方即算术平方根须是非的.因此要根据二次根式有意义以及已给定的条件，判断字母或因式的取值范.

(2)最简次根和类次式教目：解同类二次根式的含义，会判别几个二次根式是否是同类二次根式；通过与同类项类比，体会类比思想.教重和点合同类二次根教流设：由复习提问化简两个二次根式并观察化简后两个最简根式中的被开方数有何特点.

观察后通过归纳小结引出同类二次根式的概念.

通过例题学会并掌握如何判断几个二次根式是否为同类二次根式.

最后通过类比合并同类项会掌握把合并同类二次根式.教过设：一复提：、最简二次根式必须满足的条件是什么？、把

a

和

12a

化成最简二次根式：

2

；

112a22

二学新：、察考观察化简后的有何特征？师生共同归纳总结：二次根式里两个被开方数都是，完全相同几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根上述a和

12

就是同类二次根.在多项式中，同类项是可以合并的，类似的，同类二次根式也可以合并，它的依据是提取公因、题析例下列二根式，那些是同类二次根式：，，

127

，a4，2b(a0)

，ab3(例合并下各式中的同类二次根式：）

2

1332

）

三课小：（1掌握判断同类二次根式的依据：即先化成最简二次根式，再看被开方数是否相.（2合并同类二次根式时，可类比合并同类.四作布：习册习题(2)教设说：．通过化简两个二次根式，进一步观察得出化简后的被开方数完全相同，从而顺利类次根式的概念，并通过举例学会判断几个二次根式是否为同类二次根.．例4的学，只是被开方数相同的二次根式的加减，不涉及二次根式的化简；同时与整式加减时合并同类项类比，体会其中的数学思.教反：最简二次根式和同类二次根式是进一步研究二次根式运算的的知识基础，所以在教学中要注重两个基本概念的形成过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般的思考方.

(1)二次式的法减教目：、掌握二次根式的加减法运算法则；、二次根式的加减法运算法则的习过程中，渗透分析、概括、类比等数学思想方法，提高学的思维品质和学习兴趣.教重和点掌二次根式的加减法运算法.教流设：复习引入：回顾最简二次根式、同类二次根式等概念，从而引入二次根式加减法.

例题讲解：通过例题总出二次根式的加减的一般步骤：先化简后合并.

巩固二次根式加减法例题23巩二次根式加减法的运算能力.

二次根式加减法的应用：通过二次根式的加减法解含二次根式的一元一次方程、不等教过设：一复引：、习问问题：如何化简二次根式？问题：什么是同类二次根式？何合并同类二次根式？二学新：、课入通过整式的加减归结为合并同类项，类比得到二次根式的加减也归结为合并同类二次根、题析例题1（生共同完成）怎样计算

a

a50a

a2a

a

？解

原

2

2

2

2a2

=

22a

12

2由此可见，二次根式的相加减的一般过程是：先各二根化最二根，把类次式别并例题2计）

375

482

（2

11(0.5)75)3例题3计）

239m34

（2）

1x36x2（3

)

8p

（先判断出(p-q)大于零）例题4解程和不等式三课小：

3275（2x224、二次根式的加减归结为合并同类项；、二次根式的相加减的一般过.四作布：习册习题15.3教设说：这是八年级第十六章第五节，学生是在已掌握最简二次根式以及合并同类二次根式的基础上进步学习二次根式的加减法，同时为以后学习二次根式的乘除法作准首先让学生回顾最简二次根式、同类二次根式等概念，从而引入二次根式加减法.其次通过例题1让生自己总结出二次根式的加减的一般步骤化简后合并巩固次根式加减法；接着通过例题2、3巩二次根式加减法的运算能通二次根式的加减法解含二根式的一元一次方程、不等式。总之在解、掌握和运用二次式的加减法运算法则的学习过程中透分析概类等数学思想方法，提高学生的思维品质和学习兴趣。教反：此节教学的难点是正确化简二次根式尤其是被开方数比较复杂的二次根式的化简.解二次根式的一元一次方程、不等式也容易出错。

(2)二次式的法除教目：、掌握二次根式的乘法和除法运算；、二次根式的乘法和除法运算法的学习中，渗透类比、化归等数学思想方法，提高学生的思品质和学习兴趣教重和点掌二次根式的乘除法运算法.教流设：情景引入通过将大正方形中已知两小正方形的面积求下的长方形面积的问题引入二次根式的乘法及乘法法.

例题讲解通例题利总结出二次根式的乘除法则进行计算同时注意结果要化简.

利用乘除法关系引入二次根式的除法法则并用之计算

二次根式乘除法的应用：通过二次根式的乘除法来解决实际问题.教过设：一情引：、例如图，将一个正方形分割成面积为（平方单位）和（平方单位）的两个小正形和两个长方形，求图中每个长方形（阴影部分）的面.二学新：

2s、念入通过引例的计算，让学生说明运算的依据：二次根式的性3：

b

，据此

s总结归纳出二根的法则两个次式乘被方相，指不变、题析例题1计）

（）

abb

（）

abc2abc

解）方13224

方：24322642

方法：322

2

32

16

3说明三种解法每一运算步骤的依据，讨论三种解法的异同意结必须为简次式（2）原式（3）原式

ba思：个二次根式相除，怎样进行运算？依据是什么？二根除法：个次式除被方相，指不变例题2计）

b

（2

6u

2

u

3

（）

2

2

（）注：果须为简次式解）式

ab（2原（考为什么要注明u>0？）uv（3原=

c)c(a)

（思考为什么要注明？）例题3探：如果圆的面积与正方形的面积相等，那么圆的周长与正方形的周长的比值是多少？三课小：、二次根式的乘除法法则；、运用二次根式的乘除法法则的注意事四作布：习册习题(2)教设说：这是八年级第十六章第三节，学生是在已掌握最简二次根式、合并同类二次根式以及二次根式加减法的基础上进一步学习二次根式的乘除法，同时为以后学习二次根式的混合运算作铺首，情景引入：通过将大正方形中已知两小正方形的面积，求剩下的长方形面积的问题引入二次根式的乘法及乘法法则；其次，过例1利总结出二次根式的乘除法则进行计算同时注意结果要化简用除法关系引入二次根式的除法则并用之计算；最后，通过二次根式的乘除法来解决实际问题。总而言之：在二次根式的乘除法运算法则的学习和应用的过程中，渗透分析、概括、类比等数思想方法，提高学生的思维品质和学习兴趣。教反：此节教学过程中要注意：在学生学习过程中对二次根式的乘除法法则理解上问题不大，但常常记运算结果需要化简，此外被开方数是多项式的乘除法运算上容易出错。

(3)二次式的法除教目：一步掌握二次根式的乘除法，理解分母有理化的概念，初步掌握分母有理化的方法，会解系数或常数项含二次根式的一元一次方程和一元一次不等式。教重和点掌分母有理化的方法，解系数或常数项含二次根式的一元一次方程（不等式教流设：

复习引入例题讲解：例题讲解：通二次根式通过例题

过例题、乘除法引分母有理

练习巩固运分母有分母有理化法则解教过设：

的概念

化的法则.

实际问题.一复引：问思两个根式相除，

3

可以写为

a

ab

化简的结果是

6b

怎样把分母中的

b化为3二学新：、课入把

a3

的分数上、下两式看作两个数相除，利用除法的性质以及根式乘法法则可得：2a2b63bb(3b)2

把分母中的根号化去，叫分母理。分母有理化的方法，一般是把分子和分母乘以同一个适当的代数式，使分母不含根归纳：

b3b

，这个过程称为分母有理化3称b的有化因.思考）果二次根式是

a

m

y

，怎样对他们进行分母有理化？思考）节课思考）

如果二次根式是ab2x3

…，们的有化因式又是怎样的？（留待课后或下思考（1）中的二次根式的异同点是什？它们的有理化过程是怎样的？在教师的指导下，学生完成思考）中的问题.、题析例题6计）

2

（）

a

（3）2ab(a0)说明：先确定合理的有理化因式再继续化简，如）中除数多一个数，子分母不必同时以

2b

例题7如所示，在面积为a的方形ABCD中截得直角三角形ABE面积为A

33

a

，求BE的.

D例题8解列方程