中考数学高频压轴题突破-二次函数与相似三角形

试卷第=page11页，共=sectionpages99页试卷第=page88页，共=sectionpages99页中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．（1）填空：_______；（2）设抛物线的顶点是D，连接，，将绕点B顺时针旋转，当射线经过点D时，射线与抛物线交于点P，求点P的坐标；（3）设E是x轴上位于点B右侧的一点，F是第一象限内一点，轴且，点H是线段上一点，以、为邻边作矩形，，垂足为T，连接，．若与相似，求的长．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点A(1，0)和点B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点D是抛物线对称轴上一点，对称轴与x轴交于点E，与直线BC交于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BD，当以点B，D，E为顶点的三角形与△OAC相似时，求点D的坐标；（3）当点D关于直线BC的对称点G落在抛物线上时，直接写出点G的坐标．3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴正半轴交于点A、点B（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点记为D，ABC的面积为10．（1）求此抛物线的解析式；（2）求∠BCD的正弦值；（3）将此抛物线沿y轴上下平移，所得新抛物线的顶点为P，且PBD与BCD相似，求平移后的新抛物线的解析式．4．如图1，在平面直角坐标xoy系中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A（﹣4，0）、B（2，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，沿直线AC平移抛物线y＝－x2＋bx＋c，使得A、C两点的对应点E、F始终在直线AC上．①设在平移过程中抛物线与y轴交于点M，求点M纵坐标的最大值；②试探究抛物线在平移过程中，是否存在这样的点E，使得以A、E、B为顶点的三角形与△ABF相似．若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．5．抛物线L：与轴交于A，B两点（A点在B点左侧），与y轴正半轴交于点C，顶点为D，且OC=2OB．（1）求抛物线L的解析式；（2）如图，过定点的直线（）与抛物线L交于点E、F．若DEF的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向下平移m（）个单位长度得到抛物线，抛物线与y轴正半轴交于点M，过点M作y轴的垂线交抛物线于另一点N，G为抛物线的对称轴与x轴的交点，P为线段OM上一点．若PMN与POG相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．6．如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，D为第一象限抛物线上的动点，连接AC，BC，DA，DB，DB与AC相交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，设的面积为，的面积为，当时，求点D的坐标；（3）如图，过点C作轴，点M是直线CF上的一点，交抛物线于点N，是否存在以C，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线经过A，B两点，并与x轴交于另一点C，抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点为点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点E为对称轴右侧的抛物线上的点．①点F在抛物线的对称轴上，且EFx轴，若以点D，E，F为顶点的三角形与△ABD相似，求出此时点E的坐标；②点G在平面内，则以点A，B，E，G为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出此时点E的坐标；若不能，请说明理由．8．如图，点A，B都在x轴上，过点A作x轴的垂线交抛物线于点C，过点B作x轴的垂线交该抛物线于点D，点C，D都在第一象限，点D在点C的右侧，于点E，连结，，．（1）若，求的长．（2）若点A是线段的中点，求点E的坐标．（3）根据（2）的条件，连结，动点P在线段上，作交于点Q，当与相似时，求的值．9．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A(﹣1，0)、B(3，0)两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限抛物线上一点，设P点的横坐标为m．过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，连接PE，当PDE和BOC相似时，求点P的坐标；（3）连接AC，Q是线段BC上一动点，过Q作QF⊥AC于F，QG⊥AB于G，连接FG．请直接写出FG的最小值和此时点Q的坐标．10．如图，抛物线与x轴交于A（-1，0），B（5，0）两点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE=3+4EF，求m的值；（3）是否存在点P，使得△PCE与△DEF相似．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

11．如图，抛物线经过三点．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为，比较与的大小，并说明理由；（3）点是抛物线上的动点，过作轴于，当以为顶点的三角形与相似时，求点的坐标．12．如图抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于两点A（﹣1，0）和B（4，0），与y轴交于点C，连接AC、BC、AB．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是△ABC边上一点，连接OD，将线段OD以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段OE，若点E落在抛物线上，求出此时点E的坐标；（3）点M在线段AB上（与A、B不重合），点N在线段BC上（与B，C不重合），是否存在以C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a＜0)交x轴于点A，B(4，0)，交y轴于点C(0，2)，且抛物线的对称轴经过点(，0)，过点A的直线y=﹣x+m交抛物线于另一点D，点E(1，n)是该抛物线上一点，连接AD，BC，BD，BE．（1）求直线AD及抛物线的函数表达式；（2）试问：x轴上是否存在某一点P，使得以点P，B，E为顶点的△PBE与△ABD相似？若相似，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M是直线BC上方的抛物线上一动点(不与点B，C重合)，过M作MN⊥BE交直线BC于点N，以MN为直径作⊙O'，则⊙O'在直线BC上所截得的线段长度的最大值等于．(直接写出答案)14．如图所示，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．（1）求，，三点的坐标；（2）过点作交抛物线于点，求四边形的面积；（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点，过作轴于点，使以，，三点为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点的坐标；否则，请说明理由．15．如图，抛物线y＝+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，﹣1），点B（9，﹣10），AC∥x轴，点P是直线AC上方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线的函数解析式；（2）过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；（3）当∠PBA＝2∠OAB时，求点P的坐标．17．如图，已知顶点为D的抛物线与x轴交于A(－1，0)，C(3，0)两点，与y轴交于B点．(1)求该抛物线的解析式及点D坐标；(2)若点Q是该抛物线的对称轴上的一个动点，当AQ＋QB最小时，直接写出直线AQ的函数解析式；(3)若点P为抛物上的一个动点，且点P在x轴上方，过P作PK垂直x轴于点K，是否存在点P使得A,K,P三点形成的三角形与△DBC相似?如存在，求出点P的坐标，如不存在，请说明理由．18．如图，抛物线经过点、两点，点为抛物线与轴的交点．（1）求此抛物线的解析式；（2）是轴上方抛物线上的一个动点，过作轴，垂足为，问：是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线上方的抛物线上找一点，过点作轴的垂线，交于点，是否存在这样的点，使最长，若存在，求出点的坐标，以及此时的长，若不存在，请说明理由．答案第=page4747页，共=sectionpages4747页答案第=page4646页，共=sectionpages4747页参考答案：1．（1）2；（2）；（3）10或5或【分析】（1）由题意将代入二次函数即可求出b的值；（2）根据题意过点D作轴于E，得出，进而过点P作轴于H，并设，以此即可求出点P的坐标；（3）根据题意分两种情形：当点H在原点O的右侧和当点H在原点O的左侧，并结合全等三角形的性质判定进行分析即可.【解析】解：（1）将代入二次函数，解得：，故答案为：；（2）如图1，∵，∴，，过点D作轴于E，则，，∴．解方程，得，．∴，．∴．∴．∴．当射线经过点D时，．∴．过点P作轴于H，设，则，．∴．解得（舍去），．∴．（3）分两种情形：①当点H在原点O的右侧时，如图2，由题意可知，点C、G、F共线，过点T作于M．则，∴．（i）若，则，．∵，∴．∴．∴．∵，∴．设，则，，．∴．∴．∴．（ii）若，则．∴．∴．∴．∴．②当点H在原点O的左侧时，如图3，若，则．∴．∴．∴．由上可知，的长是10或5或．【点评】本题考查二次函数的综合问题，熟练掌握二次函数图象性质并结合全等与相似三角形的性质判定和勾股定理运用方程思维进行分析是解题的关键.2．（1）；（2）或或或；（3）或【分析】（1）将，代入，求出待定系数、的值；（2）根据三角形相似，进行分类讨论，利用相似三角形的性质求出DE，即可求出点D的坐标．（3）根据题中隐含条件的特点，直线关于直线的对称直线的解析式，该对称直线与抛物线的交点就是符合条件的点；【解析】解：（1）将，代入，得，解得，∴抛物线的解析式为：；（2）如图，当△BED∽△AOC时，xE==2，∴E（2，0），∵A（1，0），B（3，0），∴OA=BE=1，∴OC=DE=，即D（2，）；同理当D（2，）时，也满足△BED∽△AOC；如图，当△BED∽△COA时，，即，解得：DE=，∴D（2，），同理：当D（2，）时，也满足△BED∽△COA；综上所述，点D的坐标为或或或．（3）如图，过点A、作直线交抛物线于点，抛物线与轴交于点，，，，，，，直线与直线关于直线成轴对称，点是点关于直线的对称点，，，设直线的解析式为，则，解得，，由，得，，或．【点评】此题重点考查二次函数的性质，解题的关键是确定特殊角的度数，并通过作辅助线构造相似三角形来求得相应的结果．3．（1）；（2）；（3）或【分析】（1）令，由求出点、的坐标，即用含的代数式表示点、的横坐标，求出的长，再根据的面积为10求出点的坐标，由此求出的值，即可得到抛物线的解析式；（2）过点作的垂线交于点，求出直线的解析式，再求出直线的解析式并将这两条直线的解析式联立成方程组，解方程组求出它们的交点的坐标，再求、的长，即可求的正弦值；（3）分情况画出图形，求出平移距离，即可求得平移后的抛物线的解析式．【解析】解：（1）当时，由，得，，，，；设，则，解得，；又，，解得或（不符合题意，舍去），抛物线的解析式为；（2）如图1，作于点，交于点，设直线的解析式为．，，，解得，；由（1），得，，，为的中点，，，设直线的解析式为，则，解得，，由，得，，，，，．（3）如图2，过点作轴于点，交于点，则，，，，，又（公共角），，点为抛物线平移后的顶点，，，；平移后的抛物线与抛物线的形状相同且对称轴相同，平移后的抛物线为，即．若△BPD∽△DBC，∴，∵BD==，CD==，BC==，∴，解得：，，∴平移后的抛物线为；综上：平移后的新抛物线的解析式为或．【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定、解直角三角形、解一元二次方程、用待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是正确地作出有关的辅助线，第（3）题应注意用好前面得出的结论，找到点P的位置且求出点P的坐标．4．（1）；（2）①6；②存在，E或【分析】（1）将点A（﹣4，0）、B（2，0），代入二次函数解析式进行求解即可；（2）①由（1）易得，则有，进而可得抛物线沿直线平移，实际上就是向右、向上（或向左、向下）同时移动个单位（图2中），设平移后的抛物线解析式为：，然后问题可求解；②由题意得：，，过点作轴，垂足为点，设，进而可分(Ⅰ)如图3-1，、两点都在轴上方时；(Ⅱ)如图3-2，、两点分别在轴两侧时；(Ⅲ)如图3-3，、两点都在轴下方时；然后根据相似三角形的性质可进行分类求解．【解析】解：（1）将点A（﹣4，0）、B（2，0），代入得：，解得：，∴抛物线的解析式是；（2）①解：令中，得，∴，∴，∵，∴，∴抛物线沿直线平移，实际上就是向右、向上（或向左、向下）同时移动个单位（图2中），设平移后的抛物线解析式为：，令，得点的纵坐标，∴求点纵坐标的最大值是6；②解：存在，当点坐标是或时，以、、为顶点的三角形与相似，理由如下：由题意得：，，过点作轴，垂足为点，设，(Ⅰ)如图3-1，、两点都在轴上方时：∵，∴当时，，∴，∴∴解得（不符合题意，舍去），∴，∴此时点的坐标是（）；(Ⅱ)如图3-2，、两点分别在轴两侧时：始终是钝角三角形，且，此时三角形与不相似；(Ⅲ)如图3-3，、两点都在轴下方时：∵，∴当时，，∴，∴，∴（不符合题意，舍去），∴，∴此时点的坐标是（），综上所述：当点坐标是或时，以、、为顶点的三角形与相似．【点评】本题主要考查二次函数与几何的综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数与几何的综合及相似三角形的性质与判定是解题的关键．5．（1）；（2）；（3）当时，P(0，)或(0，)；当时，P(0，)或(0，1)【分析】（1）根据抛物线先求出A、B两点坐标，再根据C点坐标构造方程求解可得；（2）根据直线（）知直线所过定点G坐标为，从而得出DG＝2，由S△DEF＝S△DGF﹣S△DGE＝DG•（x2﹣2）﹣DG•（x1﹣2）＝DG•（x2﹣x1）得出x2﹣x1＝1，联立直线和抛物线解析式求得x的值，根据x2﹣x1＝1列出关于k的方程，解之可得；（3）设抛物线L1的解析式为，m＞0．知M（0，6﹣m）、N（1，6﹣m），由PMN和GOP相似，分两种情况∠MPN+∠OPG=90°和∠MPN=∠OPG，当PMN∽POG，当∠OPG＝∠MPN=∠MNP=∠OGP时由对应边成比例得出关于n与m的方程，利用符合条件的点P恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．【解析】解：（1）∵，∴x1=-2，x2=3，∴OA=2，OB=3，∵，x=0，y=-6，∴OC=-6，∴OC=2OB，∴-6=6，∴，∴抛物线L的解析式为；（2）∵过定点G的直线（），∴，∴，∴定点坐标为G，∴，D，E（x1,），F(x2,)，∴DG＝2．∵S△DEF＝S△DGF﹣S△DGE＝DG•（x2﹣2）﹣DG•（x1﹣2）＝DG•（x2﹣x1）＝×2×（x2﹣x1）＝1，∴x2﹣x1＝1．联立方程组，得：x2+（k-1）x-k+＝0，解得，，∴x2﹣x1＝＝1，解得，∵，∴；（3）设抛物线L1的解析式为，m＞0．∴M（0，6﹣m）、N（1，6﹣m），∵PMN和GOP相似，①PMN∽GOP，∠MPN+∠OPG=90°时，∴，即，∴，设P（0，n），PM=6-m-n，OP=n，∴，∴，∵方程只有一个实数根，∴△=（6-m）2-4×=0，∴，∵，∴，∴，∴，当PMN∽POG，∠MPN=∠OPG时，∴．∴n=．当时，点P的坐标为(0，)或(0，)，②当∠OPG＝∠MPN=∠MNP=∠OGP，∴n=OP=OG=，PM=MN=1，∴PMN∽GOP，∴OM=MN+OG=，∴6-m=，m=，当n=OP=MN=1，PM=OG=时，PMN∽GOP，∵OM=OP+PM=1+=，∴6-m=，m=．当时，点P的坐标为(0，)或(0，1)．综上所述，当时，点P的坐标为(0，)或(0，)；当时，点P的坐标为(0，)或(0，1)，此时PMN和GOP相似，【点评】本题主要考查二次函数综合题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、利用割补法求三角形的面积建立关于k的方程及相似三角形的判定与性质等知识点，解题时，注意“分类讨论”和“数形结合”数学思想的应用，难度较大．6．（1）；（2），；（3）存在，点M的坐标是或或或【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据题意，当时，即，设，再求出点C坐标，表示出和的面积，列式求出点D的纵坐标，再代入抛物线解析式即可求出点D坐标；（3）分情况讨论，写出三角形相似的四种情况，设，则，根据对应边成比例列式求出点M的坐标．【解析】（1）解：∵抛物线经过，两点，，解得，抛物线的解析式是；（2）抛物线，令，则，，，，即，，，，设，，，，，，，；（3）设，则，①如图，，则，，解得（舍去），，经检验是原方程的解，∴；②如图，，则，，解得（舍去），，经检验是原方程的解，∴；③如图，，则，，解得（舍去），，经检验是原方程的解，∴；④如图，，则，，解得（舍去），，经检验是原方程的解，∴；综上：点M的坐标是或或或．【点评】本题考查二次函数综合题，解题的关键是利用数形结合的思想解决二次函数与几何综合问题，掌握二次函数解析式的求解，三角形面积的计算方法，以及相似三角形的性质．7．（1）；（2）①（5，8）或；②（2，-1）．【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，由y=-x+3可以得到A、B的坐标，由抛物线经过A、B及抛物线对称轴为x=2可以得到关于a、b、c的方程组，解方程组得到a、b、c的值后可以得到答案；（2）①由题意可得三角形ABD是直角三角形，所以如果三角形DEF与△ABD相似，则有或，从而得到E点坐标；②由①知，∠ABD=90°，所以当E点为D点时，以点A，B，E，G为顶点的四边形能够成为矩形．【解析】解：（1）在y=-x+3中令x=0得到y=3，令y=0得到x=3，∴A、B坐标分别为（0，3）、（3，0），设抛物线的函数表达式为，则由题意可得：，∴，∴所求抛物线的函数表达式为；（2）①如图，可设E点坐标为，所以F点坐标为，由（1）可得D坐标为（2，-1），∴，∴∴△ABD为以AD为斜边的直角三角形，所以由题意可分两种情况：a、△DFE∽△ABD，则，即，解之得x=5或x=2（不合题意，舍去），∴E点坐标为即（5，8）；b、△EFD∽△ABD，则，即，解之得：或x=2（不合题意，舍去），∴E点坐标为即，综上所述，若以点D，E，F为顶点的三角形与△ABD相似，则点E的坐标为（5，8）或；②由①知，∠ABD=90°，所以当E点为D点时，以点A，B，E，G为顶点的四边形能够成为矩形，即E点坐标为（2，-1）．【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．8．（1）；（2）；（3）2或【分析】（1）先把代入抛物线求出的长，再由轴，轴，及可证得四边形是矩形，四边形平行四边形，根据矩形和平行四边形的性质得到即可；（2））依题意，设，将代入抛物线得到，消去得到关于的一元二次方程，解方程求得值，再进而求得，根据即可求解；（3）由（2）知，，所以，如图，由，则要使与相似，则或，这样分两种情况进行讨论，设出或，根据列出关于的方程，变形后用表示，最后求得的值．【解析】解：（1）∵，∴当时，，∴，∵轴，轴，∴，∵，，∴轴，∴四边形为矩形，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∴，∴，

当时，，∴，（舍去），

即，∴；

（2）设，则，∵A为中点，∴，∴，

∴，∴，即，∴（舍去），，∴，∴，

（3），，，如图，由，，则，要使与相似，则或，①当时，设，，，即，∴，∴，②当时，设，，，即，∴，∴，

综上，的值为2或．【点评】本题是一道二次函数的综合题，考查了图形与坐标的关系，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，解一元二次方程，相似三角形的判定及锐三角函数的应用，侧重考查对知识的应用能力，本题综合性较强，属压轴题.9．（1）y＝﹣；（2）(2，4)或(，)；（3），Q(，)【分析】（1）根据题意直接利用待定系数法进行分析解答即可；（2）由题意根据已知P点的横坐标为m，可得点P和D的坐标，用m的代数式表示PD和DE，根据相似三角形的两种情况，由两直角边对应成比例，列出m的方程即可；（3）根据题意先利用待定系数法计算AC和FQ的解析式，因为Q是FQ与BC的交点，列方程组可得Q的横坐标，从而可以得G的坐标，根据两点的距离公式可得FG2，利用二次函数的最值可得结论．【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣；（2）如图1，令x＝0，得y＝4，∴C（0，4），∴OC＝4，∵B（3，0），∴OB＝3，设直线BC的解析式为y＝kx+n（k≠0），则，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，设P（m，﹣m2+m+4），则D（m，﹣m+4），∴DP＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，DE＝m，∵∠BOC＝∠PDE＝90°，∵，∴当△PDE和△BOC相似时，∴＝或，∴3PD＝4ED或4PD＝3ED，①当3PD＝4ED时，3（﹣m2+4m）＝4m，4m2﹣﹣8m＝0，m＝0（舍）或2，∴P（2，4），②当4PD＝3ED时，4（﹣m2+4m）＝3m，解得：m＝0（舍）或，∴P（，）；综上，点P的坐标为：（2，4）或（，）；（3）∵A（﹣1，0），C（0，4），同理可得：AC的解析式为：y＝4x+4，设F（t，4t+4），﹣1＜t＜0，∵FQ⊥AC，∴kFQ＝﹣＝﹣，同理可得：FQ的解析式为：y＝﹣x+t+4，则，解得：x＝﹣t，∴G（﹣t，0），∴FG2＝（t+t）2+（4t+4）2＝，∴当t＝﹣时，FG2有最小值＝，∴FG的最小值是，此时Q（，）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用待定系数法求一次函数，二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，两点的距离公式，二次函数的最值等知识，第二问注意两三角形相似时根据边的对应关系分情况讨论是解题的关键，第三问表示F和G的坐标，根据两点的距离得出FG的长是解题的关键．10．（1）；（2）；（3）存在点P，；【分析】（1）把，代入解析式求解即可；（2）由可得，根据m的取值分别计算即可；（3）由OC=OD=4，知∠ODC=∠OCD=45°，又PF⊥x轴，于是∠EFD=90°，又∠PEC=∠DEF=45°．要使△PCE与△DEF相似，只需∠CPE=90°或∠PCE=90°即可．设，则，分类计算即可；【解析】解：（1）由抛物线过，两点可得：∴抛物线的解析式为（2）由可得，设抛物线与y轴交点为Q(0,5)，则QC=5-4=1，OC=4，显然QC＜3+4OC，故点P只能是x轴上方的抛物线位于第一象限上的动点．设则当时，由，得，解得或（舍去）由，，解得（负值舍去），故综上有m的取值为：或．（3）存在点P，使得△PCE与△DEF相似，由OC=OD=4，知∠ODC=∠OCD=45°，又PF⊥x轴，于是∠EFD=90°，又∠PEC=∠DEF=45°．要使△PCE与△DEF相似，只需∠CPE=90°或∠PCE=90°即可．设，则，当∠CPE=90°时，则由，解得：，此时点P的坐标当∠PCE=90°时，过P作PG⊥y轴于点G，则当△PCG为等腰直角三角形时，有∠PCE=90°．于是，即，解得，此时点P的坐标为或，故综上有符合条件的点P存在，且坐标为或或

或．【点评】本题主要考查了二次函数的综合，准确计算是解题的关键．11．(1)；(2)，理由见解析；(3)【分析】(1)分别将代入解析式中，用待定系数法即可求解；(2)求出BC、BA、BF的长，然后验证，进而证明进而得到；(3)分类讨论：当△OAC∽△QAP时和当△OAC∽△QPA时两种情况，然后再逐个求解即可．【解析】解：(1)设解析式为将代入，得，解得，抛物线的解析式为；(2)，理由如下：抛物线的顶点坐标D(1,4)，设AD与y轴交于点F，直线AD的解析式设为y=mx+n，代入A(-1,0)，D(1,4)，，解得，故AD的解析式为y=2x+2，∴F点坐标为(0,2)，，，，，且∠CAF为公共角，∴，∴；(3)设，则，分类讨论：情况一：当△OAC∽△QAP时，，代入数据：，解得：或或，当和，此时P点分别与A点和C点重合，故舍去，此时对应的P点坐标为，情况二：当△OAC∽△QPA时，，代入数据：解得：或或，同理可知舍去，此时对应的P点坐标为，综上，点的坐标是．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与相似三角形综合等，本题属于综合题，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形和性质及相似三角形的性质是解决本题的关键．12．（1）y＝﹣x2+x+2；（2）E（2﹣，）或E（0，2）；（3）存在，点N的坐标为：（2，1）或（，）或（，）．【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）分点D1在AC上、点E1在A′C′上；点D2在AB上、点E2在A′B′上；点D3在BC上、点E3在B′C′上三种情况，分别求解即可；（3）分∠MCN为直角、∠CMN为直角、∠MNC为直角两种情况，利用三角形相似求解即可．【解析】（1）∵点A（﹣1，0），B（4，0）在抛物线y=ax2+bx+2上，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2①；（2）将△ABC以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△A′B′C′，∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），∴A′（0，﹣1），B′（0，4），C′（﹣2，0），如图1，当点D1在AC上、点E1在A′C′上时，设直线A′C′的解析式为y=kx+b，将点A′（0，﹣1），C′（﹣2，0）代入得，解得，∴直线A′C′的解析式为：y=﹣x﹣1②，联立①②并解得：或（舍去）；∴E1（2﹣，）；当点D2在AB上、点E2在A′B′上时，即y轴与抛物线的交点E2（0，2），当点D3在BC上、点E3在B′C′上时，与抛物线没有交点，∴E1（2﹣，）或

E2（0，2）；（3）存在，理由：由点A、B、C的坐标得，AB2=25，BC2==4+16=20，AC2==1+4=5，则AB2=BC2+AC2，故△ABC为以AB为斜边的直角三角形，tan∠ABC=；以C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，则△CMN为直角三角形，由点B、C的坐标，同理可得直线BC的表达式为y=﹣x+2，点N在BC上，故设点N（n，﹣n+2），设点M（m，0）；①当∠MCN为直角时，此时点M与点A重合，不符合题意，②当∠CMN为直角时，如图2，过点N作NG⊥x轴于点G，∵∠GMN+∠CMO=90°，∠COM+∠MCO=90°，∴∠MCO=∠NMG，∴Rt△NGM∽Rt△MOC，当∠MCN=∠ABC时，tan∠ABC=，即两个三角形的相似比为1：2，则NG=OM，MG=OC=1，即﹣n+2=m且n﹣m=1，解得：n=，故点N的坐标为（，）；当∠MNC=∠ABC时，同理可得：n=4（舍去）；③当∠MNC为直角时，如图3，过点N作x轴的垂线，垂足为点H，过点C作CG⊥NH交NH的延长线于点G，当∠CMN=∠ABC时，同理可得：△CGN∽NHM且相似比为，则CG=NH，即n=×（﹣n+2），解得：n=，故点N的坐标为（，）；当∠MCN=∠ABC时，则MC=MB，而MN⊥BC，则点N是BC的中点，由中点公式得，点N（2，1）；综上，点N的坐标为：（2，1）或（，）或N（，）．【点评】本题是二次函数的综合题，涉及到待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、一次函数的性质、三角形相似的性质、锐角三角函数、图形的旋转等，其中（2）、（3），都要注意分类求解，避免遗漏．13．（1）y=﹣x﹣1，yx2x+2；（2）点P的坐标为(，0)或(，0)；（3）．【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）构建方程组确定解得点D坐标，分成两种情况：①若点P在点B的左侧时，②若点P在点B的右侧，分别进行求解即可；（3）设M(m，m2m+1)，设⊙O'与BC的另一个交点为K，连接MK，因为MN是⊙O'的直径，推出∠MKN=90°，推出MK⊥BC，因为MN⊥BE，推出∠NMK=∠CBE=定值，推出MK的值最大时，NK的值最大，求出△BCM的面积最大值即可解决问题.【解析】解：（1）由题意可得，对称轴，点B（4，0），可得，解得：，∴抛物线解析式为：yx2x+2；当y=0时，0x2x+2，∴x1=﹣1，x2=4，∴点A坐标为(﹣1，0)．∵直线AD：y=﹣x+m过点A，∴0=1+m，∴m=﹣1，∴直线AD的解析式为y=﹣x﹣1.（2）由，解得或，∴D(6，﹣7)，可知，∠ABE=∠DAB=45°，则90°＜∠ABD＜135°．∵A(﹣1，0)，B(4，0)，D(6，﹣7)，E(1，3)，∴AB=5，AD=7，BE=3，设P(x，0)，①若点P在点B的左侧时．∵∠PBE=∠BAD=45°，(a)当△PBE∽△DAB时，则有，∴，∴x，∴P(，0)．(b)当△PBE∽△DAB时，则有，∴，∴x，∴P(，0)．②若点P在点B的右侧，∠PBE=135°．∵90°＜∠ABD＜135°，∴∠PBE≠∠ABD，此时△PBE与△ABD不可能相似．综上所述：满足条件的点P的坐标为(，0)或(，0)．（3）设M(m，m2m+1)，设⊙O'与BC的另一个交点为K，连接MK，∵MN是⊙O'的直径，∴∠MKN=90°，∴MK⊥BC．∵MN⊥BE，∴∠NMK=∠CBE=定值，∴MK的值最大时，NK的值最大．∵S△BCM=S△MCO+S△MOB﹣S△BOC，2×m4×(m2m+2)2×4=﹣(m﹣2)2+4．∵﹣1＜0，∴m=2时，△BCM的面积最大，最大值为4，∴MK的最大值．∵C(0，2)，E(1，3)，B(4，0)，∴EC，BE=3，BC=2，∴BC2=EC2+BE2，∴∠CEB=∠MKN=90°．∵∠KMN=∠CBE，∴△MKN∽△BEC，∴，∴，∴NK．故答案为：．【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的性质，一次函数的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，掌握二次函数的性质，一次函数的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形是解题的关键.14．（1）；；

（2）4

（3）存在；，，【分析】（1）抛物线与x轴的交点，即当y＝0，C点坐标即当x＝0，分别令y以及x为0求出A，B，C坐标的值；（2）四边形ACBP的面积＝△ABC＋△ABP，由A，B，C三点的坐标，可知△ABC是直角三角形，且AC＝BC，则可求出△ABC的面积，根据已知可求出P点坐标，可知点P到直线AB的距离，从而求出△ABP的面积，则就求出四边形ACBP的面积；（3）假设存在这样的点M，两个三角形相似，根据题意以及上两题可知，∠PAC和∠MGA是直角，只需证明＝或＝即可．设M点坐标，根据题中所给条件可求出线段AG，CA，MG，CA的长度，然后列等式，分情况讨论，求解．【解析】解：（1）令y＝0，得x2−1＝0，解得x＝±1，令x＝0，得y＝−1，∴A（−1，0），B（1，0），C（0，−1）；（2）∵OA＝OB＝OC＝1，∴∠BAC＝∠ACO＝∠BCO＝∠CBO＝45°．∵AP∥CB，∴∠PAB＝∠CBO＝45°．过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形，令OE＝a，则PE＝a＋1，∴P（a，a＋1）．∵点P在抛物线y＝x2−1上，∴a＋1＝a2−1．解得a1＝2，a2＝−1（不合题意，舍去）．∴PE＝3．∴四边形ACBP的面积S＝AB•OC＋AB•PE＝×2×1＋×2×3＝4；（3）假设存在，∵∠PAB＝∠BAC＝45°，∴PA⊥AC，∵MG⊥x轴于点G，∴∠MGA＝∠PAC＝90°在Rt△AOC中，OA＝OC＝1，∴AC＝，在Rt△PAE中，AE＝PE＝3，∴AP＝3，设M点的横坐标为m，则M（m，m2−1），①点M在y轴左侧时，则m＜−1．（ⅰ）当△AMG∽△PCA时，有＝．∵AG＝−m−1，MG＝m2−1．即＝，解得m1＝−1（舍去）m2＝（舍去）；（ⅱ）当△MAG∽△PCA时有或＝，即＝，解得：m1＝−1（舍去）m2＝−2．∴M（−2，3）；②点M在y轴右侧时，则m＞1，（ⅰ）当△AMG∽△PCA时有＝，∵AG＝m＋1，MG＝m2−1，∴＝，解得m1＝−1（舍去）m2＝．∴M（，）；（ⅱ）当△MAG∽△PCA时有＝，即＝．解得：m1＝−1（舍去）m2＝4，∴M（4，15）．∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似，M点的坐标为（−2，3），（，），（4，15）．【点评】本题考查了抛物线与数轴交点求解问题，以及抛物线与三角形，四边形之间关系转换问题，相似三角形问题，要特别注意在第三问时要分情况讨论．15．（1）；（2），；（3）或．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于轴的直线上点的纵坐标相等，可得点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得点坐标，根据待定系数法，可得的解析式，根据直线上的点满足函数解析式，可得点坐标，根据平行于轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据等腰直角三角形的性质，可得，根据相似三角形的判定，可得关于的方程，根据解方程，可得答案．【解析】解：（1）将，代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式；（2）轴，，．解得，．点的坐标为．点，，直线的解析式为．设点，．．，，．，当时，四边形的面积的最大值是．此时点，．（3），．，．．．同理可得．．分两种情况：如图，①当时，．，，，．解得．．②当时，．即．

解得．．综合①②得，存在这样的点，其坐标是或．【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，平行于坐标轴的直线上两点间的距离是较大的坐标减较小的坐标；解（3）的关键是利用相似三角形的性质的出关于的比例，要分类讨论，以防遗漏．16．（1）；（2）点P的坐标是（，﹣5）或（，﹣2）；（3）点P的坐标是（3，）．【分析】（1）本题所求二次函数的解析式含有两个待定字母，一般需要两个点的坐标建立方程组，现在可求A、B点坐标，代入列方程组可解答；（2）根据∠ADC＝90°，∠ACD＝∠BCP，可知相似存在两种情况：①当∠CBP＝90°时，如图1，过P作PN⊥y轴于N，证明△AOB∽△BNP，列比例式可得结论；②当∠CPB＝90°时，如图2，则B和P是对称点，可得P的纵坐标为﹣2，代入抛物线的解析式可得结论；（3）设点A关于y轴的对称点为A′，求出直线A′B的解析式，再联立抛物线的解析式解答即可．【解析】解：（1）令x＝0，得y＝x﹣2=-2，则B（0，﹣2），令y＝0，得x﹣2=0，解得x＝4，则A（4，0），把A（4，0），B（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c（a≠0）中，得解得．∴抛物线的解析式为：．（2）∵PM∥y轴，∴∠ADC＝90°．∵∠ACD＝∠BCP，∴以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，存在两种情况：①当∠CBP＝90°时，如图，过P作PN⊥y轴于N，∵∠ABO+∠PBN＝∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠PBN＝∠OAB，∵∠AOB＝∠BNP＝90°，∴Rt△PBN∽Rt△BAO．∴=.设P(x,x2-x-2)．∴=，化简,