第12讲带点粒子在复合场中的运动（解析版）

2020年强基计划物理专题讲解（核心素养提升）带点粒子在复合场中的运动目录TOC\o"1-3"\h\u知识精讲1一.洛伦兹力1二.带电粒子在匀强磁场中的运动规律2三．复合场中离子的运动31．电场和磁场区域独立32．空间区域同时存在电场和磁场3四．应用51.质谱仪52.磁流体发电机53.回旋加速器6典型例题6知识精讲一.洛伦兹力载流导线所受的安培力，我们可看为是磁场作用给运动电荷即自由电子的力，经自由电子与导体晶格的碰撞而传递给导线的。根据安培定律，而电流强度与运动电荷有关系，角既是电流元与B的夹角，也可视为带电粒子的速度与之间的夹角，长导线中有粒子数，则每个电子受到的力即洛伦兹力为洛伦兹力总是与粒子速度垂直，因此洛伦兹力不作功，不能改变运动电荷速度的大小，只能改变速度的方向，使路径发生弯曲。洛伦兹力的方向从图3-4-1可以看出，它一定与磁场(B)的方向垂直，也与粒子运动()方向垂直，即与、B所在的平面垂直，具体方向可用左手定则判定。但应注意，这里所说的粒子运动方向是指正电荷运动的方向，它恰与负电荷沿相反方向运动等效。二.带电粒子在匀强磁场中的运动规律带电粒子在匀强磁场中的运动规律与粒子的初始状态有关具体如下：如果带电粒子原来静止，它即使在磁场中也不会受洛伦磁力的作用，因而保持静止。如果带电粒子运动的方向恰与磁场方向在一条直线上，该粒子仍不受洛伦磁力的作用，粒子就以这个速度在磁场中做匀速直线运动。带电粒子速度方向与磁场方向垂直，带电粒子在垂直于磁场方向的平面内以入射速度作匀速圆周运动。带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动的四个基本公式。(1)向心力公式：(2)轨道半径公式：(3)周期、频率和角频率公式，即：，，(4)动能公式：如图所示，在洛伦兹力作用下，一个作匀速圆周运动的粒子，不论沿顺时针方向运动还是沿逆时针方向运动，从A点到B点，均具有下述特点：(1)轨道圆心(O)总是位于A、B两点洛伦兹力(f)的交点上或AB弦的中垂线与任一个f的交点上。(2)粒子的速度偏向角等于回旋角，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角)的两倍，即。磁场中带电粒子运动的方向一般是任意的，但任何一个带电粒子运动的速度()都可以在垂直于磁场方向和平行于磁场方向进行分解，得到和两个分速度。根据运动的独立性可知，这样的带电粒子一方面以在磁场方向上作匀速运动，一方面又在垂直于磁场的方向上作速率为的匀速圆周运动。实际上粒子作螺旋线运动(如图)，这种螺旋线运动的周期和螺距大小读者自己分析并不难解决。其螺旋运动的周期，其运动规律：螺旋运动回旋半径：螺旋运动螺距：三．复合场中离子的运动1．电场和磁场区域独立磁场与电场不同，磁场中，洛伦磁力对运动电荷不做功，只改变带电粒子速度方向，所以在匀强磁场中带电粒子的运动主要表现为：匀速圆周运动、螺旋运动、匀速直线运动。而电场中，电荷受到电场力作用，电场力可能对电荷做功，因而改变速度大小和方向，但电场是保守场，电场力做功与运动路径无关。处理独立的电场和磁场中运动电荷问题，是分开独立处理。例：如图所示，在平面内，y＞O区域有匀强电场，方向沿-y方向，大小为E，y＜O区域有匀强磁场，方向垂直纸面向里，大小为B，一带电+q、质量为m的粒子从y轴上一点P由静止释放，要求粒子能经过x轴上Q点，Q坐标为(L，O)，试求粒子最初释放点P的坐标。分析：解决上述问题关键是明确带电粒子的受力和运动特点。从y轴上释放后，只受电场力加速做直线运动，从O点射入磁场，然后做匀速圆周运动，半圈后可能恰好击中Q点，也可能返回电场中，再减速、加速做直线运动，然后又返回磁场中，再经半圆有可能击中Q点。那么击中Q点应满足的条件。2．空间区域同时存在电场和磁场（1）电场和磁场正交如图所示，空间存在着正交的电场和磁场区域，电场平行于纸面平面向下，大小为E，磁场垂直于纸面向内，磁感强度为B，一带电粒子以初速进入磁场，，，设粒子电量+q，则受力：洛=方向向上，F电=qE方向向下。若满足：=qE=E/B则带电粒子将受平衡力作用做匀速直线运动，这是一个速度选择器模型。若粒子进入正交电磁场速度，则可将分解为，粒子的运动可看成是与两个运动的合运动，因而粒子受到的洛伦兹力可看成是与的合力，而与电场力qE平衡，粒子在电场中所受合力为，结果粒子的运动是以的匀速直线运动和以速度所做匀速圆周运动的合运动。例：如图正交电磁场中，质量m、带电量+q粒子由一点P静止释放，分析它的运动。分析：粒子初速为零释放，它的运动轨迹是如图3-4-10所示的周期性的曲线。初速为零，亦可看成是向右的与向左-两个运动的合运动，其中大小为：=E/B所以+q粒子可看成是向右匀速直线运动和逆时针的匀速圆周运动的合运动。电场方向上向下最大位移一个周期向右移动距离L即PP之距为代入，得：最低点Q点速度（2）电场和磁场平行如图所示的空间区域有相互平行的电场和磁场E、B一带电+q粒子以初速射入场区(或B)。则带电粒子在磁场力作用下将做圆周运动，电场力作用下向上做加速运动，由于向上运动速度分量始终与B平行，故粒子受洛伦磁力大小恒为，结果粒子运动是垂直于E(或B)平面的半径R=m/qB的匀速圆周运动和沿E方向匀加速直线运动的合运动，即一个螺距逐渐增大的螺旋运动。（3）电场力、洛伦磁力都与方向垂直，粒子做匀速圆周运动。例如电子绕原子核做匀速圆周运动，电子质量m，电量为e，现在垂直轨道平面方向加一匀强磁场，磁感强度大小为B，而电子轨道半径不变，已知电场力3倍与洛伦磁力，试确定电子的角速度。在这里电子绕核旋转，电场力、洛伦磁力提供运动所需向心力，即电+洛=而f洛可能指向圆心，也可能沿半径向外的，因而可能是或四．应用1.质谱仪密粒根油滴实验可测定带电粒子的电量，而质谱仪能测定带电粒子荷质比q/m，两者结合可测定带电粒子质量。如图为质谱仪的原理图。图中粒子源产生质量m、电量q的粒子，由于初始速度很小，可以看做是静止的。粒子经加速电压U后，速度为，由动能定理：带电粒子进入磁感强度为B匀强磁场中，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，粒子运动半圈后打在P点的照相底片上，测得，则半径，根据向心力公式得2.磁流体发电机磁流体发电机是一种不依靠机械传动，而直接把热能转变为电能的装置。如图所示为磁流体发电机原理图。在距离为d的两平行金属板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感强度为B。从左侧有高速运动的等离子体(含有相等数量正、负离子)射入其间，离子在洛伦磁力作用下发生偏转，正离子向上偏、负离子向下偏，结果M板带正电，N板带负电，使M、N板成为能提供正、负电荷的电源两极，随着电荷的聚集，两板间产生电场阻碍电荷偏转，最终稳定时，射入两板间离子所受洛伦磁力与电场力平衡两板间场强，两板间电势差为电键K断开时，此电势差即为磁流体发电机电动势，即：当电键K闭合时，M、N板放电，对外做功，此时两板间电势差小于电动势。.3.回旋加速器回旋加速器是利用带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动周期与速度无关的原理，实现对粒子反复加速的装置。如图所示，回旋加速器核心部分是两个D型金属扁盒，两D型盒之间留有狭缝，在两D型盒之间加高频交变电压，于是狭缝间形成交变电场，由于电屏蔽，D型金属盒内电场几乎为零。D型盒置于真空容器中，整个装置又放在巨大电磁铁两极之间。磁场垂直于D型盒。狭缝中心处有粒子源，当发出带电粒子首先通过狭缝被加速，调节高频交变电压变化周期与粒子在D型盒中运动周期相等，使粒子每次通过狭缝时都被电场加速，经过反复加速，粒子速度越来越大，回旋半径也越来越大，趋近盒边缘时粒子加速达到最大速度引出，如图．粒子在磁场中回旋时有：粒子速度最大时r=R，R为D型盒半径，所以粒子达最大速度为最大动能，典型例题1．(复旦大学自主招生)把动能和速度方向相同的质子和α粒子分离开，如果使用匀强电场及匀强磁场，可行的方法是()A．只能用电场 B．只能用磁场C．电场和磁场都可以 D．电场和磁场都不行【答案】A【解析】带电粒子垂直电场方向射入匀强电场中，利用类平抛运动规律，带电粒子在电场中偏转距离y＝eq\f(1,2)at2＝eq\f(1,2)eq\f(qE,m)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,v)))2＝eq\f(qEL2,2mv2)。由于质子和α粒子带电量q不同，在电场中偏转距离y不同，可以把动能和速度方向相同的质子和α粒子分离开，选项A正确。带电粒子垂直磁场方向进入匀强磁场中，利用洛伦兹力等于向心力，qvB＝meq\f(v2,R)，解得R＝eq\f(mv,qB)＝eq\f(\r(2mEk),qB)。而质子的eq\f(\r(m),q)与α粒子的eq\f(\r(m),q)相等，所以利用匀强磁场不能把动能和速度方向相同的质子和α粒子分离开，选项B、C、D错误。2．(清华五校自主招生)如图，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。有无数带有同样电荷、具有同样质量的粒子在纸面内沿各个方向以同样的速率通过P点进入磁场。这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段圆弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的eq\f(1,3)。将磁感应强度的大小从原来的B1变为B2，结果相应的弧长变为原来的一半，则eq\f(B2,B1)等于()A．2 B．3C.eq\r(2)D.eq\r(3)【答案】D【解析】设圆形区域磁场的半径为r，磁感应强度的大小为B1时，从P点入射的粒子射出磁场时与磁场边界的最远交点为M(见图甲)，由题意知∠POM＝120°，则该带电粒子在磁场中的运动轨迹是以PM为直径的圆。由几何关系得轨迹圆半径为R1＝eq\f(\r(3),2)r，磁感应强度的大小为B2时，从P点入射的粒子射出磁场时与磁场边界的最远交点为N(见图乙)，由题意知∠PON＝60°，由几何关系得轨迹圆半径为R2＝eq\f(r,2)，R＝eq\f(mv,qB)∝eq\f(1,B)，所以eq\f(B2,B1)＝eq\f(R1,R2)＝eq\r(3)，选项D正确。3．(“北约”自主招生)如图所示，在一竖直平面内有水平匀强磁场，磁感应强度B的方向垂直该竖直平面朝里。竖直平面中a、b两点在同一水平线上，两点相距l。带电量q>0，质量为m的质点P，以初速度v从a对准b射出。略去空气阻力，不考虑P与地面接触的可能性，设定q、m和B均为不可改的给定量。(1)若无论l取什么值，均可使P经直线运动通过b点，试问v应取什么值？(2)若v为(1)问可取值之外的任意值，则l取哪些值，可使P必定会经曲线运动通过b点？(3)对每一个满足(2)问要求的l值，计算各种可能的曲线运动对应的P从a到b所经过的时间。(4)对每一个满足(2)问要求的l值，试问P能否从a静止释放后也可以通过b点？若能，再求P在而后运动过程中可达到的最大运动速率vmax。【解析】(1)要使P经直线运动通过b点，必有：mg＝qvB，解得：v＝eq\f(mg,qB)。 ①(2)设质点速度为v＋Δv，质点所受洛伦兹力为q(v＋Δv)B，与重力合力为q(v＋Δv)B－mg＝qΔvB，所以质点的运动可视为沿ab连线方向做速度为v的匀速直线运动和速度为Δv的圆周运动的合运动，要使质点通过b点，t＝nT，②T＝eq\f(2πm,qB)， ③l＝vt， ④联立①②③④解得：l＝eq\f(2πnm2g,q2B2)(n＝1,2,3,4，…)。⑤(3)由②③解得：t＝eq\f(2πnm,qB)(n＝1,2,3,4，…)。(4)质点P从a静止释放后的运动可视为沿水平方向速度v＝eq\f(mg,qB)的匀速直线运动和沿反方向的线速度v＝eq\f(mg,qB)的匀速圆周运动，一个周期质点前进距离L＝vT＝eq\f(mg,qB)·eq\f(2πm,qB)＝eq\f(2πm2g,q2B2)。所以P从a静止释放后可以通过b点。当质点做匀速圆周运动到最低点时运动速率最大，最大运动速率vmax＝2v＝eq\f(2mg,qB)。【答案】(1)eq\f(mg,qB)(2)eq\f(2πnm2g,q2B2)(n＝1,2,3,4，…)(3)eq\f(2πnm,qB)(n＝1,2,3,4，…)(4)eq\f(2mg,qB)4．(“华约”自主招生)如图所示，在xOy平面内有磁感应强度为B的匀强磁场，其中x∈(0，a)内有磁场方向垂直xOy平面向里，在x∈(a，∞)内有磁场方向垂直xOy平面向外，在x∈(－∞，0)内无磁场。一个带正电q、质量为m的粒子(粒子重力不计)在x＝0处，以速度v0沿x轴正方向射入磁场。(1)若v0未知，但粒子做圆运动的轨道半径为r＝eq\r(2)a，求粒子与x轴的交点坐标。(2)若无(1)中r＝eq\r(2)a的条件限制，粒子的初速度仍为v0(已知)，问粒子回到原点O需要使a为何值？【解析】(1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，设其轨道半径为R，其在第一象限的运动轨迹如图所示。此轨迹由两段圆弧组成，圆心分别在C和C′处，轨迹与x轴交点为P。由对称性可知C′在x＝2a直线上。设此直线与x轴交点为D，P点的x坐标为xP＝2a＋DP。过两段圆弧的连接点作平行于x轴的直线EF，则DF＝R－eq\r(R2－a2)，C′F＝eq\r(R2－a2)，C′D＝C′F－DF，DP＝eq\r(R2－C′D2)由此可得P点的x坐标为xP＝2a＋2eq\r(R\r(R2－a2)－R2－a2)，代入题给条件得：xP＝2(1＋eq\r(\r(2)－1))a。(2)若要求带电粒子能够返回原点，由对称性，其运动轨迹如图所示，这时C′在x轴上。设∠CC′O＝α，粒子做圆周运动的轨道半径为r，由几何关系得：α＝eq\f(π,6)轨道半径r＝eq\f(a,cosα)＝eq\f(2\r(3),3)a。设粒子入射速度为v0，由牛顿第二定律和洛伦兹力公式得，qv0B＝eq\f(mv02,r)，解得a＝eq\f(\r(3)mv0,2qB)。【答案】(1)xP＝2(1＋eq\r(\r(2)－1))a(2)eq\f(\r(3)mv0,2qB)5.（28届预赛）图中坐标原点O(0,0）处有一带电粒子源，向y≥0一侧沿Oxy平面内的各个不同方向发射带正电的粒子，粒子的速率都是v，质量均为m，电荷量均为q．有人设计了一方向垂直于Oxy平面，磁感应强度的大小为B的均匀磁场区域，使上述所有带电粒子从该磁场区域的边界射出时，均能沿x轴正方向运动．试求出此边界线的方程，并画出此边界线的示意图．参考解答：先设磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直xy平面向里，且无边界．考察从粒子源发出的速率为v、方向与x轴夹角为θ的粒子，在磁场的洛仑兹力作用下粒子做圆周运动，圆轨道经过坐标原点O，且与速度方向相切，若圆轨道的半径为R，有（1）得(2)圆轨道的圆心O’在过坐标原点O与速度方向垂直的直线上，至原点的距离为R，如图1所示．通过圆心O’作平行于y轴的直线与圆轨道交于P点，粒子运动到P点时其速度方向恰好是沿x轴正方向，故P点就在磁场区域的边界上．对于不同人射方向的粒子，对应的P点的位置不同，所有这些P点的连线就是所求磁场区域的边界线．P点的坐标为x＝—Rsinθ(3)y＝一R+Rcosθ(4)这就是磁场区域边界的参数方程，消去参数θ，得x2+(y+R)2=R2(5)由（2）、（5）式得(6)这是半径为R圆心O’’的坐标为（0，一R)的圆，作为题所要求的磁场区域的边界线，应是如图2所示的半个圆周，故磁场区域的边界线的方程为(7)若磁场方向垂直于xy面向外，则磁场的边界线为如图3示的半圆，磁场区域的边界线的方程为x2+(y—R)2=R2（8)或（9）证明同前6.（18届预赛）如图预18－7所示，在半径为的圆柱空间中（图中圆为其横截面）充满磁感应强度大小为的均匀磁场，其方向平行于轴线远离读者．在圆柱空间中垂直轴线平面内固定放置一绝缘材料制成的边长为的刚性等边三角形框架，其中心位于圆柱的轴线上．边上点（）处有一发射带电粒子的源，发射粒子的方向皆在图预18-7中截面内且垂直于边向下．发射粒子的电量皆为（＞0），质量皆为，但速度有各种不同的数值．若这些粒子与三角形框架的碰撞均为完全弹性碰撞，并要求每一次碰撞时速度方向垂直于被碰的边．试问：1．带电粒子速度的大小取哪些数值时可使点发出的粒子最终又回到点？2.这些粒子中，回到点所用的最短时间是多少？带电粒子（以下简称粒子）从点垂直于边以速度射出后，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，其圆心一定位于边上，其半径可由下式求得，为（1）1.要求此粒子每次与的