考点20平面向量的数量积及应用备战2020年高考数学理一轮复习导练案纸间书屋

考点 已知两个非零向量ab，我们把数量|a||b|cos叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作ab,ab|a||b|cosθ是a与b的夹角设非零向量a与bθ，则|a|cos|b|cos)叫做向量a在b方向上b在a方向上)的投影.（1（2（3）影的情形，其中OB1|a|cos，它的意义是，向量a在向量b方向上的投影长是向量OB1的长度.由向量投影的定义，我们可以得到ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos的乘积.已知向量abc和实数,abba(ab(ab)=ab(abc=acbc设非零向量ax1y1bx2y2，是a与b的夹角（1）ab|a||b|cosx1x2y1y2a（2）|acos

x2y x2y x1x2y1x2y2 x2y |a||b垂直与平行abab0x1x2y1y20【注】当a与b同向时ab|a||b|；当a与b反向时ab|a||b|.x2y x2y 性质：|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥bx2y x2y 1 1已知ax1y1bx2y2.a∥babx1y2x2y10(babab0x1x2y1y20（其中ab为非零向量x1x2y1x2x1x2y1x2y2 x2y

a |a||b

（其中ab为非零向量x2yx2y AB (xx)2(yy 或|ABAB (xx)2(yy WFs|F||s|cos(Fs的夹角考向 平面向量数量积的运

ab|a||b|cos

abx1x2y1y2典例 2【答案】

2所 ，解得 =8117. 典例 已知向量ab1,a与b的夹角为，则a2ba 【解析】由向量ab1,a与b的夹角为得a2baa22aba22abcos45 2

BDCDBDCD 33 D．33考向 平面向量数量积的应求夹角的大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积得cos

a|a||b

(夹角)，所以

AB3,AD

63【答案】ABCDAB3AD2AP1AB,AQ1AD CPCBBPAD2AB3CQCDDQAB1AD2

AB,34π2

AD若CPCQ12因为CPCQ12所以CPCQAD2ABAB1AD 22AB21AD24AB 232122432cosBAD12 则cosBAD1BADπ 所以ADCππ2π 已知向量a(2,1),b(,1),且a与b的夹角为钝角，则实数λ的取值范围 考向 平面向量的模及其应

|a

|a ax2ax2典例 已知平面向量a,b的夹角为2π，且a1,b2，则ab33A． 37 7【答案】【解析】|ab|2|a|2|b|22|a||b|cos2π1421213 2 所以ab 3 考向 平面向量的应G是△ABC的重心，则GAGBGC0PG=1(PAPB3内任意一点)．反之，若GAGBGC0G是△ABC

(PH是△ABCHAHBHBHCHCHA.HAHBHBHCHCHAH是△ABCI是△ABC的内心，则|BC|IA|CA|IB|ABIB|AB|IC0I是△ABCO是△ABC的外心，则(OAOBBA(OBOCCB(OCOAAC0|OA||OB||OC|.反之，若|OA||OB||OC|O是△ABC的外心典例 A．55

B．5D．5【答案】【解析】如图，分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为x轴、yA(2a0),B(02a)F(a0E(0a∴AE(2a,a),BF(a,2a)AEBF的夹角为则cos

4a2AE (AE (2a,a)(a,|AE||BF 5a.扇形OAB的半径为1，圆心角为，P是上的动点，则的最小值 典例 已知a2cosx,2sinx，bsinxπ,cosxπ，函数fx

a,b 6 6 若锐角△ABC的三个内角、、的对边分别是、、，且，

bc

的取值范围（Ⅰ）由条件可知ab2cosxsinxπ2sinxcosxπ2sin2xπ 6 6 6 2sin2xπa

6

πa∴fxcosa,b sin2x a2故函 的零点满足sin2xπ0

6 6 2xπkπkZ，解得xkππkZ

sinB 由（Ⅰ）fxsin2xπ 6 ，得sin2Aπ 6 ∴2A 2kπ

,kZπ又A0,π，得A 3∵ABCπ，

C B3sinBsin2πB

sinB3

3sinBπb

6

π 2sinB

π

6又在锐角△ABC中，有0B 2π又0C2πBπ Bπ，∴πBπ2ππ 则有3sinBπ1，即 6 在△ABC中,ABC的对边分别为abc,且向量m(cosABsinAncosBsinB，若mn35求sinA若a42b5,BABC方向上的投影典例 角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小 7【答案】77∴|F3|= 7在水流速度为4km/h的河流中，有一艘船正沿与水流垂直的方向以8km/h的速度航行，则船自身航 km/h. ， B． D．已知向量a12b34)，则a2ab 1C．2或 2F1=(lg2，lg2)，F2=(lg5，lg2)Ms=(2lg5,1)，则共点力对物体做W为lg B．lg 设向量，满足 A．- 已知向量a21b17a C．a(a D．a(a已知向量a2t)b13，若ab的夹角为钝角，则tt3Ct2且t3

t3D．tABCDAB=4,

2MN分别是CDBCAMMN 在△ABCA90AB1AC2DEADABAE(1)AC(RBECD5，则3

9 5△ABCABcBCa,CAb，若ccab0，则△ABC 已知向量a、b为单位向量，且ab在a的方向上的投影为31，则向量a与b2 ”是“与的夹角为锐角” 已知△ABC2的等边三角形，PABCPAPBPC3－2

－3

A30B0,3Ccos,sinACBC1，则sinπ 423C．3

B．212已知是△ABC内部一点， ，则△OBC的面积 B． 平面直角坐标系中，i,j分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，向量a2i，bij，则以a B．abab1

已知e1,e2是互相垂直的单位向量,向量a3e1e2,be1e2,则ab 平面向量与的夹角为 ， 已知a3,4，bt,6，且a，b共线，则向量a在b方向上的投影 2如图，在矩形ABCD中，AB ，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，且DF2FC，则AEBF的值是 2ABCDAB4AD2ABAD4P在边CDAPPC 21a(cossinbcossin

0π，若|2ab||a2b|，则 已知向量与的夹角 ， . ， ,则实数的值 用abEF 1（2019 I卷理数）已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角A．63

3D．62．（2019年高 II卷理数）已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BC=1，则ABBC 3（2018新课标Ⅱ理科）已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab) 4．（2019年高考卷理数）设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”|ABAC||BC|” 5（2018 Ⅰ理科）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为2的直线与C交3M，NFMFN 6（2018浙江）a，b，e是平面向量，eaeπb3b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值3A．3 33 37．（2017新课标Ⅱ理科）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，PAPBPCA．C．3

B．2D．8（2017理科）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mn<0” 9（2019

5b，则

a,c 10．（2019年高考卷理数）在四边形ABCD中，AD∥

AB2

AD

点 段CB的延长线上，且AEBE，则BDAE 11（2017 12（2017 理科）在△ABC中，∠A60AB3AC2BD2DCAEACAB(R)，且ADAE4，则的值 13（2017山东理科）已知e1e2是互相垂直的单位向量，若3e1e2e1e2的夹角为60的值 14（2017浙江）已知向量a，b满足a1,b2,则abab的最小值是 ，最大值 15．（2019年高考江苏卷）如图，在△ABC中，DBC的中点，EAB上，BE=2EA，ADCE于点O.若ABAC6AOEC，则AC的值 【答案】ABCDAB∥CDAB22AD2,1，则ACABAD41DBABAD03，ACDB401(33．故选C．【答案】ABCD2ABC60∴C120，∴BD22222222cos12012BD23，且BDC30∴BDCD|BD||CD|cos30232

362(2,【答案】(1(2,2a与bab0，即(21,1)210∴122又当a与b反向时，夹角为180°，即ab|a||b|，则212应该排除反向的情形，即排除2于是实数λ的取值范围为(1, (2,)2

，解得2θ的情况,求向量坐标中的参数时,0°时cos10;当夹180°时,cos10,这是容易忽略的地方.， 时，有最小值【答案】 ，，，，B．（1）∵mn3，cosABcosBsinABsinB3 cosA35又A为△ABC的内角，sinA

41cos1cos2（2）在△ABC中，由正弦定理

42

，sinB 2sin

sin

sin 5ba,BA，BcosB

211sin2由余弦定理a2b2c22bccosA，得3225c225c35解得c7或c1（舍去72∴BA在BC方向上的投影为ccosB 725【答案】55ABACAP5AC||BPAC||BP ABAP 822 5

，所以船自身航行的速度大小为

km/h 【解析】因为a12b3所以a2a2145ab13245，所以a2ab550.F1=(lg2，lg2)，F2=(lg5，lg2)M2lg2）,s=(2lg5,1)W故

aba 2.bAab211750A错误；选项B：2711a不平行于b，所以B错误；Cab18，因为aab)2118)100C错误；选项Dab36)，因为aab21360，所以选项D正确，【答案】【解析】若ab的夹角为钝角，则ab0由ab23t0，得t23当向量a2t)b(1323t，得t6，此时a2b所以t2且t3C．7AMADDMAD1AB2MNCNCM1CB11BCMNCNCM1CB1 ∴AMMNAD1AB1AD1AB1|AD|21|AB|2141162

【解析】因为A90ABAC0BECDAEABAD[(1)ACAB](ABAC)(1)AC2AB24(1)34345，则【答案】△ABC是钝角三角形.故选C．【解析】设向量a与b的夹角为因为向量a、b为单位向量，且ab在a的方向上的投影为312 所以(ab)a|a 1 即1ab

31，则ab11coscos 3 又0π，所以π6A．【解析】若与的夹角为锐角, ,且与不平行,所 ”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选C．12BCxBCyA0,3， PxyPA(PBPC2x2y23y2x2y

3 2 x0y

3PAPBPC取得最小值3 A．13\AC

AC=(cosa-3,sina)，BC=(cosa,sina-3)cosa(cosa-3)+sina(sina-cos23cossin2=1-3(sina+cosa)则sincos23骣π 2(sina+cosa)

2? 2桫\sina+ 桫14【解析】由可知点O是△ABC的重心，

1

3 ，所以，则

1 A．15【解析】由题意不妨设i10j0,1

3则a2i20bij1,1，，，则，选项A错误；，则，选项B正确；不存在实数满足，则a∥b不成立，选项D错误.B.【解析】由题得ab3e1e2e1e230012 ， 的 ，.【答案】【解析】由a与b364t0t923946b814b814

2向量a在ba

a,

5.43AABxADy

2,1，B

2,2 ∴AE

2,1，BF 2,2 AEBF AEBF 0,25 4APPCADλAB1λP在边CDDPλDCλAB0λ1，APADDPAPPCADλAB1λ1λ4λ1λ16 APPC又0≤≤1APPC4故答案为0,252

4【解析】将|2ab||a2b|3(a2b28ababab0，即coscossinsin0，即cos()0，又0ππ.2【答案】7因为向量与的夹角为，且，所以，解得127【解析（1）EFCFCE2CD 3∴ababcos602 b2 因 ，所 以为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系 因为 CPCBCPCPCBCP

5 23【答案】【解析】因为(ab)b，所以(abbabb2=0，所以abb2，所以cosaba|baba2|b

2ab3角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0]．【答案】BC12(tBC12(t

1，得t3BC10)ABBC23)(10)21302．故选【答案】【解析】因为a2ab2a2ab2|a|2121【答案】ABAC的夹角为锐角，所以|AB|2|AC|22ABAC|AB|2|AC|22ABAC|ABAC|2|ACAB|2ACABBC，所以|AB+AC|>|BC|；当|AB+AC|>|BC|成立时，|AB+AC|2>|AB-AC|2AB•AC>0，A，B，CABAC的夹角为锐角故“ABAC的夹角为锐角”是“|AB+AC|>|BC|”的充分必要条件【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程 y2x3 3y2 【解析】 ， 到直32332

【答案】BCxBCDAyDA(0,3B(10)C(103设P(x,y)，所以PA y)，PB(1x,y)，PC(1x,y)33所以PBPC2x2yPAPBPC2x223

y)2x22(y

3)233

3时，所求的最小值为3 【解析】若0，使mn，则两向量m,n反向，夹角是180，那么mnmncos180mn0；若mn0，那么两向量的夹角为90,180，并不一定反向，即不一定存在负数，使mn，所以是充分而不必要条件，故选A.23【解析】因为c2a

5b，ab0所以ac2a25ab2|c|24|a|245ab5|b|29，所以|c|3所以

a,cac22a 1 【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB=30AB2

AD5B(230)53,) 因为AEBE，所以BAE30，BE的斜率为3y3

3(x23)3AE的斜率为

3，其方程为y x3 3y3由3

3(x23

x

3，yy E(31所以BDAE

3