第3章刚体的基本运动

1运动学篇第3章

刚体的基本运动2第3章刚体的基本运动

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例题3第3章刚体的基本运动

动画4

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刚体的基本运动平移实例5

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刚体的基本运动刚体的平移6

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刚体的基本运动平移刚体各点的速度相同7

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刚体的基本运动平移刚体各点的加速度相同8

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刚体的基本运动平移实例9

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刚体的基本运动平移和定轴转动实例10

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刚体的基本运动定轴转动11

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刚体的基本运动定轴转动刚体速度分布12

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刚体的基本运动定轴转动刚体加速度分布13

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刚体的基本运动平动和定轴转动刚体的速度14

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刚体的基本运动角速度矢量15

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刚体的基本运动角速度矢量16

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刚体的基本运动用矢积表示点的速度17

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刚体的基本运动用矢积表示点的加速度18第3章刚体的基本运动

例题19

荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长为长l，度单位为m。当荡木摆动时钢索的摆动规律为，其中t为时间，单位为s；转角φ0的单位为rad，试求当t=0和t=2s时，荡木的中点M的速度和加速度。例题1

刚体的基本运动

例题OABO1O2φll（+）M20

由于两条钢索O1A和O2B的长度相等，并且相互平行，于是荡木AB在运动中始终平行于直线O1O2，故荡木作平移。

为求中点M的速度和加速度，只需求出A点（或B点）的速度和加速度即可。点A在圆弧上运动，圆弧的半径为l。如以最低点O为起点，规定弧坐标s向右为正，则A点的运动方程为将上式对时间求导，得A点的速度解：例题1

刚体的基本运动

例题OABO1O2φll（+）M21再求一次导，得A点的切向加速度代入t=0和t=2，就可求得这两瞬时A点的速度和加速度，亦即点M在这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：A点的法向加速度例题1

刚体的基本运动

例题OABO1O2φll（+）M00φ02

（铅直向上）0

（水平向右）00an(m·s－2)at(m·s－2)v(m·s－1)φ(rad)t(s)

22

滑轮的半径r=0.2m，可绕水平轴O转动，轮缘上缠有不可伸长的细绳，绳的一端挂有物体A（如图），已知滑轮绕轴O的转动规律φ=0.15t3，其中t以s计，φ

以rad计，试求t=2s时轮缘上M点和物体A的速度和加速度。AOαωM例题2

刚体的基本运动

例题23

首先根据滑轮的转动规律，求得它的角速度和角加速度代入t=2s，得轮缘上M点上在

t=2s时的速度为vMAOαωM解：例题1

刚体的基本运动

例题24AOαωM加速度的两个分量vM总加速度aM

的大小和方向atanaMφ例题2

刚体的基本运动

例题25AOαωM

因为物体A与轮缘上M点的运动不同，前者作直线平移，而后者随滑轮作圆周运动，因此，两者的速度和加速度都不完全相同。由于细绳不能伸长，物体A与M点的速度大小相等，A的加速度与M点切向加速度的大小也相等，于是有vMatana它们的方向铅直向下。vAaA例题2

刚体的基本运动

例题26

已知如图所示的摆绕固定水平轴O的转动方程是，式中φ表示摆对铅直线的偏角，φ0为最大偏角；T表示摆的周期。已知摆的重心C到轴O的距离为l，试求在初瞬时和经过平衡位置(φ=0)时重心的速度和加速度。例题3

刚体的基本运动

例题CC0lC1Oφ0φ27CC0lC1Oφ0φ

将转动方程对时间求导，得摆的角速度和角加速度

以t=0代入上式，得摆在初瞬时的角速度和角加速度此时重心C0的速度和加速度分别为此瞬时C0点的总加速度a0等于切向加速度，方向指向角φ减小的一边。a0解：例题3

刚体的基本运动

例题28CC0lC1Oφ0φ此时重心C1的速度和加速度分别为此瞬时C0点的总加速度a1等于法向加速度方向指向转轴O。得摆在初瞬时的角速度和角加速度每次经过平衡位置φ=0的瞬时，即或av1a1=a1n因而代入例题3

刚体的基本运动

例题29sBAOMvR

半径R=20cm的滑轮可绕水平轴O转动，轮缘上绕有不能伸长的细绳，绳的另一端与滑轮固连，另一端则系有重物A，设物体A从位置B出发，以匀加速度a=4.9

m·s－2向下降落，初速v0=4m·s－1，求当物体落下距离s=2m时轮缘上一点M

的速度和加速度。例题4

刚体的基本运动

例题30根据v2–v02=2as，得M点的速度M点的法向加速度M点的切向加速度

M点的总加速度解:sBAOMvR例题4

刚体的基本运动

例题31

图示为一对外啮合的圆柱齿轮，分别绕固定轴O1和O2转动，两齿轮的节圆半径分别为r1和r2，已知某瞬时主动轮Ⅰ的角速度为ω1

，角加速度为α1，试求该瞬时从动轮Ⅱ

的角速度ω2和角加速度α2

，为简便起见，本例的ω1

，ω2

，α1

，α2都代表绝对值。例题5

刚体的基本运动

例题ⅠⅡO1O2M1M2ω1ω2α1α2r2r132ⅠⅡO1O2M1M2ω1ω2α1α2r2r1

齿轮传动可简化为两轮以节圆相切并在切点处无相对滑动，因而两轮的啮合点M1与M2恒具有相同的速度与切向加速度。即v1v2a2ta1t或因而从动轮的角速度和角加速度分别为显然，ω2，α2的转向分别与ω1

,

α1相反。传动比为解：例题5

刚体的基本运动

例题33n1ⅣⅠⅡⅢ

减速箱由四个齿轮构成，如图所示。齿轮Ⅱ和Ⅲ安装在同一轴上，与轴一起转动。各齿轮的齿数分别为z1=36，z2=112，z3=32和z4=128

，如主动轴Ⅰ的转速n1=1450r﹒min－1，试求从动轮Ⅳ的转速n4。例题6

刚体的基本运动

例题34解：用n1，n2

，n3和n4分别表示各齿轮的转速，且有应用齿轮的传动比公式，得将两式相乘，得因为n2=n3，于是从动轮Ⅰ到齿轮Ⅳ的传动比为由图可见，从动轮Ⅳ和主动轮Ⅰ的转向相同。最后，求得从动轮Ⅳ的转速为例题6

刚体的基本运动

例题n1ⅣⅠⅡⅢ35

物体A和B以不可伸长的绳子分别绕在半径RA=50cm和RB=30cm的滑轮上。已知重物A具有匀加速度aA=100cm·s－2，且初速度vA0=150cm·s－1，两者都向上。试求：（1）滑轮在t=3s内转过的转数，（2）当t=3s时重物B的速度和走过的路程，（3）当t=0时滑轮边缘上C点的加速度。ORARBABC例题7

刚体的基本运动

例题36

滑轮边缘上C点沿圆周的位移恒等于重物A的位移；C点的速度和切向加速度分别等于A点的速度和加速度的大小。故有可见滑轮的初角速度滑轮的角加速度等于常量，等于1.求滑轮在3s内转过的转数。解：例题7

刚体的基本运动

例题ORARBCABDvC0vA0aCtaA37

根据匀加速转动的角速度和转角公式，直接可得此时滑轮的转角其中φ0是滑轮的初转角，决定于参考平面的选择；为了方便，可令φ0=0。滑轮在3s内转过的转数是（转）例题7

刚体的基本运动

例题ORARBCABDvC0vA0aCtaA382.求当t=3s时滑轮的角速度和走过的路程。重物B在3s内所走过的路程从而求出这时B点的速度例题7

刚体的基本运动

例题ORARBCABDvC0vA0aCtaA39ORARB

当t=0时滑轮边缘上C点的切向加速度和法向加速度分别为CABDvC0vA0aCtaA且aC偏到CO的右侧，如图所示。故C点在t=0时的全加速度的大小，以及它和半径的夹角分别等于aCnaβ3.求当t=0时滑轮边缘上C点的加速度。例题7

刚体的基本运动

例题40

如图a，b分别表示一对外啮合和内啮合的圆柱齿轮。已知齿轮Ⅰ的角速度是ω1

，角加速度是α1，试求齿轮Ⅱ的角速度ω2和角加速度α2

，齿轮Ⅰ和Ⅱ的节圆半径分别是R1和R2，齿数分别是z1和z2。ⅠⅡO1O2ⅠⅡO1O2（a）（b）例题8

刚体的基本运动

例题41（b）设A，B是齿轮Ⅰ，Ⅱ节圆上相啮合的点。但ⅠⅡO1O2（a）vAvBABvAvBABα1α2ω2ω1ω1ω2故得在这两啮合点间无相对滑动，因而它们具有相等的速度大小，同样也具有相等的切向加速度。于是有解：例题8

刚体的基本运动

例题转向分别如图所示。ⅠⅡO1O242DⅤⅣⅢⅡⅠn1

图中是带式输送机，已知主动轮Ⅰ的转速n1是1200r﹒min－1，齿数z1=24，齿轮Ⅲ与Ⅳ用链条联动，齿数分别是z3=15和z4=45。带轮Ⅴ和齿轮Ⅳ相固连，直径D等于46cm，如要求输送带的速度v大约等于2.4m·s－1

，求轮Ⅱ应有的齿数z2。例题9

刚体的基本运动

例题43

对于直接啮合的齿轮或用齿条联动的一对齿轮，转速与齿数成反比。以n

表示转速，则：因而故解:轮Ⅳ的转速为例题9

刚体的基本运动

例题DⅤⅣⅢⅡⅠn144ABrx

自动积分机构中的圆盘A以匀角速度转动，依靠摩擦使轮B随同转动而无滑动；轮B的轴线与圆盘A的轴线垂直相交，距离x可按其一已知规律x=f(t)变化。(1)证明轮B的转数与函数f(t)对于时间的积分成正比，因而机构可以自动积分。(2)设x在5s钟内由5cm匀速地改变为10cm，且ω0=8rad·s－1

，r=2.5cm，试计算轮B的转数。

例题10

刚体的基本运动

例题45解:

因为两轮的接触点具有公共切向加速度，v=ω0x=rω。其中为