数学模型与数学分析 数学分析 数学模型

数学模型与数学分析数学分析数学模型数学模型与数学分析本文关键词：数学分析，数学模型

数学模型与数学分析本文简介：平时学生不会做数学题时，我们有的老师总认为学生没读懂题，让学生反复读题。殊不知，你让学生按语文的读题方法去读，哪怕他读上一千遍一万遍，他做不来还是做不来。数学的建模与分析非常重要，有了标准的数学模型，就能正确地进展数学分析。只有明确了题目中各种信息及问题间的数量关系，才能正确迅速地解决较难的数学问题

数学模型与数学分析本文内容：

平时学生不会做数学题时，我们有的老师总认为学生没读懂题，让学生反复读题。殊不知，你让学生按语文的读题方法去读，哪怕他读上一千遍一万遍，他做不来还是做不来。数学的建模与分析非常重要，有了标准的数学模型，就能正确地进展数学分析。只有明确了题目中各种信息及问题间的数量关系，才能正确迅速地解决较难的数学问题。笔者以“盈亏问题〞的解题方法为例，谈谈怎样建立数学模型和进展数学分析。

一、别人的经历及方法

把一定数量的物品平均分给一定数量的人，每人少分，那么物品有余〔盈〕；每人多分，那么物品缺乏〔亏〕。所盈和所亏的数量及两次每人所分的数量，求人数的应用题叫盈亏问题。

盈亏问题的根本解法是：份数=〔盈+亏〕÷两次分配数的差；

物品总数=每份个数×份数±盈亏数。

解答盈亏问题的关键是要求出总差额和两次分配的数量差，然后利用根本公式求出分配人数，进而求出物品的数量。

兴趣数学之?木长几何?――?孙子算经?里有这样一道题：今有木，不知长短。引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，缺乏一尺。木长几何？〔屈绳的意思是把绳子对折，度是量的意思，四尺五是4.5尺〕

分析：用绳量木，绳子多出4.5尺，把绳对折再量，绳子又短1尺，可推出单股绳子比对折起来长5.5尺，多出的5.5尺正好是绳子的一半〔如图〕。

解答：绳子的长度：〔4.5+1〕×2=11〔尺〕

木料的长度：11-4.5=6.5〔尺〕

答：〔略〕

分析中，“用绳量木，绳子多出4.5尺，把绳对折再量，绳子又短1尺，可推出单股绳子比对折起来长5.5尺。〞这里用到了.yulu.cc“盈亏问题〞。为什么这样说呢？遇到类似问题还能用这种方法解答吗？请关注下面的内容。

二、建立数学模型

别人的方法及经历看似简单易行，可事实并非如此。学活力械地套用公式，并不完全理解解题思路，题目稍加变化，他们又束手无策了。

笔者引导学生先分析并找出“盈亏问题〞的特点――它就是两种有余数的除法，再根据有余数除法各局部间的关系，建立“盈亏问题〞总的数学模型：

“盈亏问题〞总的数学模型中两次被平均分的总数――被除数是一定〔不变〕的；平均分的标准不同，我们归纳为两种，即除数1和除数2；分得的结果中的份数――商也是一定〔不变〕的，分得的结果中的余数――盈亏数那么不同，我们把它们分别定义为余数1和余数2。当被除数和商不变时，除数变大，余数那么会变小，反之。

两次分得的余数之间的差，我们把它定义为“总差〞，两次平均分的标准之间的差，我们把它定义为“小差〞。正因为有分得的结果之一“商〞那么多个“小差〞才汇成最后结果之二“余数〞间的“总差〞，即“小差×商=总差〞。于是，关键问题“商〞就得到解决：商=总差÷小差。

如“幼儿园买来一些玩具，假设每班分7个玩具，那么多出2个玩具；假设每班分10个玩具，那么差13个玩具，幼儿园有几个班？这批玩具有多少个？〞的数学模型：

三、进展数学分析

根据建好的数学模型，我们进展“盈亏问题〞的数学分析：

从上面的模型中可以看出：

第二种分法的总个数比第一种分法的总个数多〔2+13〕个为“总差〞，第二种分法比第一种分法每班多分〔10-7〕个为“小差〞，每班多分的“小差〞乘班数就等于最后的“总差〞。由此可以求出幼儿园共几班这个关键问题。

这个幼儿园有〔2+13〕÷〔10-7〕=5〔班〕

求出了模型中的商，再根据有余数的除法中“被除数=商×除数+余数〞就可求出这批玩具共有多少个了。

这批玩具有7×5+2=37〔个〕或10×5-13=37〔个〕

答：〔略〕

四、适时推广应用

我们通过建立数学模型和进展数学分析，掌握了“盈亏问题〞的解题方法，适当增加难度，加以推广应用。

1.用一根长绳测量井的深度，假设绳子两折时，多5米，假设绳子三折时，差1米。求绳子长度和井深。〔提示：绳子两折即把绳子平均分成两份，三折即三股。〕

很明显，该题不能用“别人的经历及方法〞之?木长几何?的方法来进展解答。而?木长几何?题目却能用“盈亏问题〞的模型来进展分析和解答。

2.小宏从家到校上学，出发时他看看表，发现假设每分钟步行80米，他将迟到5分钟；假设先步行10分钟后，再改成骑车每分钟行200米，他就可以提早1分钟到校。问小宏从家出发时离上学时间有几分钟？

观察分析，这两题都属“盈亏问题〞，只是题中的“盈亏〔余数〕〞不是现成的，需要首先求出。

第1题的数学模型及数学分析：

井深：〔5×2+1×3〕÷〔3-2〕=13〔米〕

绳长：2×13+5×2=36〔米〕或〔13+5〕×2=36〔米〕

答：〔略〕

?木长几何?数学模型及数学分析：

木长：〔4.5×1+1×2〕÷〔2-1〕=6.5〔尺〕

绳长：6.5+4.5=11〔尺〕或〔6.5-1〕×2=11〔尺〕

答：〔略〕

通过比拟?木长几何?的两种方法，我们发现，别人的经历及方法具有局限性，只能用于特例；而我们的“盈亏问题〞模型具有通用性，只要是“盈亏问题〞都能用它来解答。

第2题的数学模型及数学分析――

“余数1〞：80×5=400〔米〕

求“余数2〞步骤多一些。

①10分钟的步行改成骑车要提早：10-80×10÷200=6〔分〕

②假设他骑车一直骑到上学时间到时会多行：200×〔6+1〕=1400〔米〕

“余数2〞也可：