平面向量的坐标表示及其运算

能确定此时队员C的位置吗?E能确定此时队员C的位置吗?ED8m一.情境引入上海市莘庄中学的健美操队四名队员A、B、C、D在一个长10米，宽8米的矩形表演区域EFGH内进行健美操表演.(1)若在某时刻［，四名队员A、B、C、D保持如图1所示的平行四边形队形•队员A位于点F处，队员B在边FG上距F点3米处，队员D位于距EF边2米距FG边5米处.你ET] Cq.•夕8m［说明］此时队员C在位于距EF边5米距FG边5米处•这个图形比较特殊，学生很快就会得到答案，这时教师引入第二个问题.(2)若在某时刻12，四名队员A、B、C、D保持如图2所示的平行四边形队形•队员A位于距EF边2米距FG边1米处，队员B在距EF边6米距FG边3米处，队员D位于距EF边4米距FG边5米处.你能确定此时队员C的位置吗？二．学习新课向量的正交分解我们称在平面直角坐标系中，方向与x轴和y轴正方向分别相同的的两个单位向量叫rr做基本单位向量，分别记为i,j，如图，称以原点0为起点的向量为位置向量，如下图左，uuurOA即为一个位置向量.

思考1:对于任一位置向量OA，我们能用基本单位向量i,j来表示它吗?如上图右，设如果点A的坐标为、x，y，它在小x轴，y轴上的投影分别为M,N,那uuuruuuuruuur么向量OA能用向量0M与ON来表示吗？（依向量加法的平行四边形法则可得uuuruuuuruuuruuuuruuur rrOA二0M+ON），0M与ON能用基本单位向量i，j来表示吗？（依向量与实数相乘uuuurruuurr的几何意义可得0M=xi，0N=yj），于是可得：uuuruuuuruuurrrOA=0M+ON=xi+yjuuur由上面这个式子，我们可以看到：平面直角坐标系内的任一位置向量0A都能表示成rr两个相互垂直的基本单位向量i，j的线性组合，这种向量的表示方法我们称为向量的正交分解.向量的坐标表示r思考2：对于平面直角坐标系内的任意一个向量a，我们都能将它正交分解为基本单位rr向量i，j的线性组合吗？如下图左.

ruuur可知：在平面直角坐标系内，任意一个向量。都存在一个与它相等的位置向量0A.由于这一点，我们研究向量的性质就可以通过研究其相应的位置向量来实现.由于任意一个位置向rrr量都可以正交分解为基本单位向量'，j的线性组合，所以平面内任意的一个向量a都可以rr正交分解为基本单位向量i，j的线性组合.即：ruuurrra=OA=xi+yjrrruuur上式中基本单位向量i，j前面的系数x,y是与向量a相等的位置向量OA的终点A的rr坐标•由于基本单位向量i，j是固定不可变的，为了简便，通常我们将系数x,y抽取出来，ruuur得到有序实数对（x,y）.可知有序实数对（x,y）与向量a的位置向量OA是一一对应的.因而可用有序实数对（rr:x,y）表示向量a，并称（x,y）为向量a的坐标，记作：ra=（x,y）rruuur［说明］（x,y）不仅是向量a的坐标，而且也是与a相等的位置向量OA的终点A的坐rr标！当将向量a的起点置于坐标原点时，其终点A的坐标是唯一的，所以向量a的坐标也是唯一的.这样，我们就将点与向量、向量与坐标统一起来，使复杂问题简单化.rrr显然，依上面的表示法，我们有：'=（l，°），j=（°，1），°=（°，°）.rrr例1.如图，写出向量a，b，c的坐标.解：由图知a=（】，2）r uu与向量b相等的位置向量为OA，ruuu可知b二OA=（1,2）r uuu与向量c相等的位置向量为OB，ruuur可知c=OB=（1，-2）［说明］对于位置向量a，它的终点的坐标就是向量的坐标；对于起点不在原点的向量rrb，c，我们是通过先找到与它相等的位置向量，再利用位置向量的坐标得到它们的坐标那么，有没有不通过位置向量，直接就写出任意向量的坐标的方法呢？答案是肯定的，而且很简便，但我们需几分钟后再来解决这个问题.让我们先学习向量坐标表示的运算：向量的坐标表示的运算我们学过向量的运算，知道向量有加法、减法、实数与向量的乘法等运算，那么，在学习了向量的坐标表示以后，我们怎么用向量的坐标形式来表示这些运算呢？rr设九是一个实数，a=(x，y)，b=(x,y)•1122rrrrrr由于a=(x,y)=xi+yj,b=(x,y)=xi+yj11112222rr所以a土b=(x,y)土(x,y)1122(rr)(rr)=xxi+yj丿土xxi+yj丿(rr)(rr)=\xi土xi」+\yj±yj丿12r1 2r=(x±x)i+(y±y)j=(x1±x2,y±y1) 2r1(r21r)2rr九a=九(x,y)=XQi+yj丿=九xi+九yj=(九x,九y)11111111于是有：(x,y)±(x,y)=(x±x,y±y)11221212X(x,y)=(Xx,Xy)1111［说明］上面第一个式子用语言可表述为：两个向量的和（差）的横坐标等于它们对应的横坐标的和（差），两个向量的和（差）的纵坐标也等于它们对应的纵坐标的和（差），可笼统地简称为：两个向量和（差）的坐标等于对应坐标的和（差）；同样，第二个式子用语言可表述为：数与向量的积的横坐标等于数与向量的横坐标的积，数与向量的积的纵坐标等于数与向量的纵坐标的积，也可笼统地简称为：数与向量积的坐标等于数与向量对应坐标的积.应用与深化下面我们来研究刚才提出的不通过位置向量，如何直接写出任意向量的坐标的问题：例2.如下图左，］，人）、Q（兀2,y2）是平面直角坐标系内的任意两点，如何用uuurP、Q的坐标来表示向量PQ？P、解：如上图右，向量解：如上图右，向量PQ=0Q-op=(x,y)-(x,y)=(；-X,y:y)uuur(2)121从而有PQ=(x2巧，y2-人丿［说明］上面这个式子告诉我们：平面直角坐标系内的任意向量的横坐标等于它终点的横坐标与它起点的横坐标的差，纵坐标也等于它终点的纵坐标与它起点的纵坐标的差，可简称为任意向量坐标=终点坐标-起点坐标”.例3.如图，平面上A、B、C三点的坐标分别为(2,1)、例3.如图，平面上A、B、C三点的坐标分别为(2,1)、(-3,2)、(-1,3).uuuruuur写出向量AC,BC的坐标；如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标.uuur解：⑴AC=(-1-2,3—1)=(-3,2)uuurBC=(-1-(-3),3-2)=(2,1)uuuruuur(2)在上图中，因为四边形ABCD是平行四边形,所以DC=AB设点D的坐标为(xD,yD),于是有(-1uuur-x,3-y)=ABDDuuur又 AB=(-3-2,2-1)=(-5,1)故 (-1-x,3-y)=(-5,1)DDX解得1D2d—4—2—1—X解得1D2d—4—2D3—y—1D因此点D的坐标为(4,2).练习：(1)请大家用两分钟的时间解答本节课一开始我们所提出的在某时刻1，健美操队员C的位置问题•即：在某时刻12，四名队员A、B、C、D保持如图所示的平行四边形队形.如下图左，队员A位于距EF边2米距FG边1米处，队员B在距EF边6米距FG边3米处，队员D位于距EF边4米距FG边5米处•你能确定此时队员C的位置吗?8mA10m8mA10m解：以点F为坐标原点，以边FG为x轴，以边FE为y轴，建立如上图右所示直角坐标系•则依题意有A(2,1),B(6,3),D(4,5),设C(x,y),则由ABCD是平行四边形可得：uuuruuuruuurAC—AB+AD—(4,2)+(2,4)—(6,6)uuur又AC—(x,y)—(2,1)—(x—2,y—1)故(x一2,y一1)—(6,6)于是x=8,y=7,即C(8，7).答：队员C位于距EF边8米、距FG边7米处.(2)在某时刻｛3，四名队员A、B、C、D保持平行四边形队形.已知队员A位于距EF边2米距FG边1米处，队员B在距EF边6米距FG边3米处，队员C位于如下图左所示的矩形阴影部分区域内(包括边界)某一位置•你能确定此时队员D可能的位置区域吗？

8m5mH4mEy5m8m10mD”// 8m5mH4mEy5m8m10mD”// >B(6,3)朮(2,1)10m Gx解：以点F为坐标原点，以边FG为x轴，以边FE为y轴，建立如上图右所示直角坐标系•依题意有A(2,1),B(6,3),设D(x,y),则由ABCD是平行四边形可得:uuuruuurDC=AB=(4,2)又D(x,y)，所以可得C(x+4,y+2)5<x+4<10 J1<x<64<y+2<8 [2<y<6于是可得队员D可能的位置区域如图所示阴影部分（除去点B）：Ey6 B62Fo41———例4.已知向量a=（4,—1）与b=（5,2），求2a+3b的坐标.rr解：因为2a=（8,—2），3=（15,6）

rr所以2a+3b=(8+15,—2+6)=(23,4)三•巩固练习rrr三•巩固练习1.如图，写出向量a,b,c的坐标.r2.已知a=(—1,2)，若其终点坐标是(2,1),则其起点的坐标是；若其起点坐标是(2,1),则其终点的坐标是.3.已知向量a=(—2,3)与b=(1,—5)，求3a—b及rrb—3a的坐标.解：1.由题意：rrra二(2,1),b二(1,—1),c二(2,1)—(1,—1)=(2—1,1—(—1))=(1,2)2•设起点的坐标是(x,y),贝(2,1)-(x,y)=(-1,2),解得：(x,y)=(3,T)，即起点的坐标是(3,-1)；设终点的坐标是(x,y),贝9(x,y)-(2,1)=(-1,2),解得：(x,y)=(1,3)，即起点的坐标是(1,3).3.3ar—br=3—(—7,14)—(1,—5)=(—7,14)［另法］：rr

b—3a(rr)—3a—b=—(—7,14)=(7,—14)br—3a［另法］：rr

b—3a(rr)—3a—b=—(—7,14)=(7,—14)拓展内容：r1、已知向量a=(1,2).1)在坐标平面上，画出向量a；并求arr(2)若向量a1)在坐标平面上，画出向量a；并求arr(2)若向量a终点Q坐标为(3,0)，则向量a的始点P坐标为.r(3)向量a的模与两点P、Q间距离关系是.ruuu若a=PQ=(Xq-xp，yQ-導，则a=|PQlUUU*I|PQ='；；(丁XP)2+(丁叮2练习1：rr已知向量a=(—2,3),b=(1,—5)，rr求2a—br［说明］在问题一中，先给出向量a二（1,2），要求学生在坐标平面上画出向量，增强数形结合的解题意识，感悟向量的模即平面上两点的距离.由此发现并掌握向量模的求法及几何意义.安排（2）小问的目的在于复习巩固位置向量与自由向量的概念，体会并感悟到任何一个自由向量都可转化为位置向量.通过自由向量与位置向量的学习，引出向量平行的概念.rrrr向量平行的概念：对任意两个向量a,b，若存在一个常数九，使得a"b成立，则两向量rrarra与向量b平行，记为:rra//b.2.在坐标平面上描出下列三点A（0,1）,B（1,3）,C（3,7）,完成下列问题：1）请把下列向量的坐标与模填在表格内：uurABuuuBCuuuAC向量坐标(1,2)(2,4)(3,6)向量的模2^53>/52）通过画图，你得出什么结论？三点A、B、C在一条直线上3）分析表格中向量的模，你发现了什么？uurAB+uuruurAB+uurBCuurAC4）分析表格中向量，你还发现了什么？uuuruuuruuuruuurBC=2AB，AC=3AB，L［说明］养成解题后反思的习惯，总结如何判断三点共线？方法一：计算三个向量的模长关系.方法二：看两个非零向量之间是否存在非零常数九.（5）分析表格中向量坐标，你又发现了什么？向量坐标之间存在比例关系.rr思考：如果向量arr思考：如果向量a，b用坐标表示为a=（Xr人），b=（,y2），xy一-则一1=1是a//b的(xy22条件.A、充要C、充分不必要B、必要不充分D、既不充分也不必要由此，通过改进引出rrrr课本例5若a,b是两个非零向量，且a=(x,y),b=(x,y),1122rr则a〃b的充要条件是xy二xy.1221分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨.证明：分两步证明，rr(I)先证必要性：a//bnxy二xy1221rr非零向量a//borr非零向量a//bo存在非零实数九，rr使得a二kb，(xi,人)暮(x2,打，化简整理可得:x二九x12y二九y12消去九即得xiy?=x2y1rr(II)再证充分性：xy二xyna//b1221Ji=Ji=kH0，即y2若xy二xy丰0，则x、x、y、y全不为零，显然有—二12211212x2rrrr(x,y)=九(x,y)na=kbna//b1122若xy=xy=0，则x、x、y、y中至少有两个为零.12211212r如果x=0，则由a是非零向量得出一定有y丰0,nx=0,112=k(0,y2)，即又由b是非零向量得出y丰0，从而，此时存在=k(0,y2)，即2 y 12rrrra=kbna//brr如果x丰0，则有y=