人教B版必修第一册221不等式及其性质学案

其次章等式与不等式2.2不等式2.2.1不等式及其性质素养导引1.了解现实世界和日常生活中的不等关系,理解不等式的概念.(数学抽象)2.理解实数比拟大小的根本领实,初步学会用作差法比拟两个实数的大小.(规律推理、数学运算)3.熟悉并证明不等式的性质及推论,能利用不等式的性质证明简洁的不等式.(数学抽象、规律推理)一、不等式与不等关系及两数大小比拟1．不等式与不等关系不等式的定义所含的两个要点：(1)不等符号<,>，≤，≥或≠.(2)所表示的关系是不等关系．2．比拟两个实数大小的方法方法依据结论画数轴比拟法①实数与数轴上的点一一对应②假如点P对应的数为x,那么称x为点P的坐标,并记作P(x)数轴上的点往数轴的正方向运动时,它所对应的实数会变大作差比拟法假如ab>0,那么a>b假如ab<0,那么a<b假如ab=0,那么a=b确定任意两个实数a,b的大小关系,只需确定它们的差ab与0的大小关系【批注】利用不等式表示不等关系时，应留意所比拟的两个(或几个)量必需具有相同的性质才可以进行比拟．[诊断](教材P60例1改编)M＝2x2＋5x＋3，N＝x2＋4x＋2，那么M________N．(用“>〞“<〞“＝〞填空)【解析】M＝2x2＋5x＋3，N＝x2＋4x＋2，M－N＝(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)>0，故M>N.答案：>二、不等式的性质与推论性质别名性质内容留意性质1可加性a>b⇔a+c>b+c可逆性质2可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b,c＞0))⇒ac＞bcc的符号性质3eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b,c＜0))⇒ac＜bc性质4传递性a>b,b>c⇒a>c同向性质5对称性a>b⇔b<a可逆推论1移项法那么a+b>c⇔a>cb可逆推论2同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b,c＞d))⇒a＋c＞b＋d同向推论3同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b＞0,c＞d＞0))⇒ac＞bd同向同正推论4可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N,n>1)同正推论5可开方性a＞b＞0⇒eq\r(a)＞eq\r(b)同正[诊断]1．辨析记忆(对的打“√〞，错的打“×〞).(1)a＞b，c＞b⇒a＞c.(×)提示：取a＝2，b＝1，c＝3，易知错误．(2)a＞b，c＞d⇒ac＞bd.(×)提示：a＝2，b＝－3，c＝1，d＝－2，易知错误．(3)假设a＞b，那么ac2＞bc2.(×)提示：由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b；反之，c＝0时，a＞bac2＞bc2.(4)假设a＋c>b＋d，那么a>b，c>d.(×)提示：取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满意a＋c>b＋d，但不满意a>b，故此说法错误．2．设a<b<0，那么以下不等式中不成立的是()A．eq\f(1,a)>eq\f(1,b) B．eq\f(1,a－b)>eq\f(1,a)C．|a|>－b D．eq\r(－a)>eq\r(－b)【解析】选B.对于A，由于a<b<0，所以ab>0，所以eq\f(a,ab)<eq\f(b,ab)<0，即eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，所以A成立，不符合题意；对于B，假设a＝－2，b＝－1，那么eq\f(1,a－b)＝－1，eq\f(1,a)＝－eq\f(1,2)，此时eq\f(1,a)>eq\f(1,a－b)，所以B不成立，符合题意；对于C，由于a<b<0，所以|a|>|b|＝－b，所以C成立，不符合题意；对于D，由于a<b<0，所以－a>－b>0，那么eq\r(－a)>eq\r(－b)，所以D成立，不符合题意．三、证明问题的常用方法方法定义综合法从条件动身，综合利用各种结果，经过逐步推导最终得到结论的方法分析法从要证明的结论动身，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最终，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(条件、定理、定义、公理等)为止反证法首先假设结论的否认成立，然后由此进行推理得到冲突，最终得出假设不成立．反证法是一种间接证明的方法【批注】反证法的关键是在正确的推理下得出冲突，这个冲突可以是与条件冲突，或与假设冲突，或与定义、定理、公理、事实等冲突．[诊断](教材P63例3改角度)命题：“∃－3≤x≤2，3a＋x－2＝0”为真命题，那么实数a的取值范围为【解析】由3a＋x－2＝0，得3a－2＝－由于－3≤x≤2，所以－2≤－x≤3，所以－2≤3a－2≤3，即0≤a≤eq\f(5,3)，故实数a的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))0≤a≤\f(5,3))).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))0≤a≤\f(5,3)))学习任务一作差法比拟大小(数学运算)1．(多项选择题)(2022·潍坊高一检测)假设a，b，c∈R，那么以下命题正确的选项是()A．假设ab≠0且a＜b，那么eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)B．假设0＜a＜1，那么a2＜aC．假设a＞b＞0且c＞0，那么eq\f(b＋c,a＋c)＞eq\f(b,a)D．a2＋b2≥2(a＋b－1)【解析】选BCD.A．当a＝－1，b＝1时，eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，故错误；B．由于0＜a＜1，a2－a＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－1))＜0，所以a2＜a，故正确；C．由于a＞b＞0且c＞0，所以eq\f(b＋c,a＋c)－eq\f(b,a)＝eq\f(a〔b＋c〕－b〔a＋c〕,a〔a＋c〕)＝eq\f(ac－bc,a〔a＋c〕)＝eq\f(〔a－b〕c,a〔a＋c〕)＞0，故eq\f(b＋c,a＋c)＞eq\f(b,a)，所以C正确；D．由于a2＋b2－2(a＋b－1)＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故正确．2．设实数a＝eq\r(5)－eq\r(3)，b＝eq\r(3)－1，c＝eq\r(7)－eq\r(5)，那么()A．b>a>cB．c>b>aC．a>b>cD．c>a>b【解析】选A.eq\r(5)－eq\r(3)＝eq\f(2,\r(5)＋\r(3))，eq\r(3)－1＝eq\f(2,\r(3)＋1)，eq\r(7)－eq\r(5)＝eq\f(2,\r(7)＋\r(5))，由于eq\r(3)＋1<eq\r(3)＋eq\r(5)<eq\r(5)＋eq\r(7)，所以eq\f(2,\r(3)＋1)>eq\f(2,\r(5)＋\r(3))>eq\f(2,\r(7)＋\r(5))，即b>a>c.3．x，y∈R，P＝2x2－xy＋1，Q＝2x－eq\f(y2,4)，那么P与Q的大小关系为________．【解析】由于P－Q＝2x2－xy＋1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(y2,4)))＝x2－xy＋eq\f(y2,4)＋x2－2x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(y,2)))eq\s\up12(2)＋(x－1)2≥0，所以P≥Q.答案：P≥Q比拟大小常用的方法1．作差法作差法比拟大小的步骤2．作商法一般步骤是：①作商；②变形；③推断商与1的大小；④结论．通常适合非负数或式子之间的大小比拟．3．特值法假设是选择题、填空题可以用特值法比拟大小；假设是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法推断．留意：用作商法时要留意商式中分母的正负，否那么极易得出相反的结论．[闪问]作差法比拟大小时关键是推断差的符号，常用的方法有哪些？提示：常用的方法有因式分解法、配方法、公式法、通分法、有理化法、分类争论法等．学习任务二不等式性质的应用(规律推理)【典例】对于实数a，b，c，以下命题中的真命题是()A．假设a＞b，那么ac2＞bc2B．假设a＞b＞0，那么eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)C．假设a＜b＜0，那么eq\f(b,a)＞eq\f(a,b)D．假设a＞b，eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，那么a＞0，b＜0【解析】选D.方法一：由于c2≥0，所以c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题；由a＞b＞0，有ab＞0⇒eq\f(a,ab)＞eq\f(b,ab)⇒eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)，故B为假命题；a＜b＜0⇒－a＞－b＞0⇒－eq\f(1,b)＞－eq\f(1,a)＞0⇒eq\f(a,b)＞eq\f(b,a)，故C为假命题；eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞b⇒b－a＜0，,\f(1,a)＞\f(1,b)⇒\f(1,a)－\f(1,b)＞0⇒\f(b－a,ab)＞0))⇒ab＜0.由于a＞b，所以a＞0且b＜0，故D为真命题．方法二：特别值排解法．取c＝0，那么ac2＝bc2，故A错．取a＝2，b＝1，那么eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,b)＝1，有eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，故B错．取a＝－2，b＝－1，那么eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(a,b)＝2，有eq\f(b,a)＜eq\f(a,b)，故C错．利用不等式性质推断命题真假的留意点1．运用不等式的性质推断时，要留意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随便捏造性质．2．解有关不等式的选择题时，也可采纳特别值法进行排解，留意取值肯定要遵循如下原那么：一是满意题设条件；二是取值要简洁，便于验证计算．(2022·哈尔滨高一检测)以下说法中，错误的选项是()A．假设a2＞b2，ab＞0，那么eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)B．假设eq\f(a,c2)＞eq\f(b,c2)，那么a＞bC．假设b＞a＞0，m＞0，那么eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)D．假设a＞b，c＜d，那么a－c＞b－d【解析】选A.对A，取a＝－3，b＝－2，所以eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，故说法错误；对B，由c2＞0，eq\f(a,c2)＞eq\f(b,c2)，所以a＞b，故说法正确；对C，eq\f(a＋m,b＋m)－eq\f(a,b)＝eq\f(ab＋bm－ab－am,b·〔b＋m〕)＝eq\f(m〔b－a〕,b·〔b＋m〕)，由b＞a＞0，m＞0，所以eq\f(m〔b－a〕,b·〔b＋m〕)＞0，所以eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)，故说法正确；对D，由c＜d，所以－c＞－d，又a＞b，所以a－c＞b－d，故说法正确．【补偿训练】假如a<0，b>0，那么以下不等式中正确的选项是()A．eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．eq\r(－a)<eq\r(－b)C．a2<b2 D．|a|>|b|【解析】选A.由于a<0，b>0，B中eq\r(－b)无意义，B错误；a＝－2，b＝2时，a2＝b2，|a|＝|b|，C，D均错误．只有A正确，eq\f(1,a)<0<eq\f(1,b).【拓展延长】倒数的性质(1)假设a>b>0，那么eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)假设0>a>b，那么eq\f(1,a)<eq\f(1,b).即a>b，ab>0⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).学习任务三不等式的证明(规律推理)角度1利用综合法证明不等式【典例】假设a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d).【证明】方法一：由于c＜d＜0，所以－c＞－d＞0.又a＞b＞0，所以a－c＞b－d＞0，所以0＜eq\f(1,a－c)＜eq\f(1,b－d).由于e＜0，所以eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d)，不等式得证．方法二：eq\f(e,a－c)－eq\f(e,b－d)＝eq\f(e[〔b－d〕－〔a－c〕],〔a－c〕〔b－d〕)＝eq\f(e[〔b－a〕＋〔c－d〕],〔a－c〕〔b－d〕).由于a＞b＞0，c＜d＜0，所以－c＞－d＞0.所以a－c＞0，b－d＞0，b－a＜0，c－d＜0.所以eq\f(〔b－a〕＋〔c－d〕,〔a－c〕〔b－d〕)＜0，又由于e＜0，所以eq\f(e[〔b－a〕＋〔c－d〕],〔a－c〕〔b－d〕)＞0，所以eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d).本例条件不变的状况下，求证：eq\f(e,〔a－c〕2)＞eq\f(e,〔b－d〕2).【证明】由于c＜d＜0，所以－c＞－d＞0.又由于a＞b＞0，所以a－c＞b－d＞0.所以(a－c)2＞(b－d)2＞0.两边同乘以eq\f(1,〔a－c〕2〔b－d〕2)，得eq\f(1,〔a－c〕2)＜eq\f(1,〔b－d〕2).又e＜0，所以eq\f(e,〔a－c〕2)＞eq\f(e,〔b－d〕2).角度2利用分析法或反证法证明不等式【典例】证明：eq\r(7)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(2).【思路导引】依据问题特点可选用分析法证明，也可用反证法证明．【证明】方法一(分析法)：要证eq\r(7)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(2)，只需证eq\r(7)＋eq\r(2)<eq\r(3)＋eq\r(6)，只需证(eq\r(7)＋eq\r(2))2<(eq\r(3)＋eq\r(6))2，绽开得9＋2eq\r(14)<9＋2eq\r(18)，只需证eq\r(14)<eq\r(18)，即证14<18，明显成立，所以eq\r(7)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(2).方法二(反证法)：假设eq\r(7)－eq\r(3)≥eq\r(6)－eq\r(2)，那么eq\r(7)＋eq\r(2)≥eq\r(3)＋eq\r(6)，两边平方得9＋2eq\r(14)≥9＋2eq\r(18)，所以eq\r(14)≥eq\r(18)，即14≥18，明显不成立，所以假设错误．所以eq\r(7)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(2).利用不等式的性质证明不等式考前须知(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题肯定要在理解的根底上，记准、记熟不等式的性质并留意在解题中敏捷精确?????地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应留意紧扣不等式的性质成立的条件，且不行省略条件或跳步推导，更不能随便构造性质与法那么．1．用反证法证明“a，b，c三个数中至少有一个不小于eq\f(1,2)〞时，假设内容是________．【解析】“a，b，c三个数中至少有一个不小于eq\f(1,2)〞的反面是“a，b，c都小于eq\f(1,2)〞．答案：a，b，c都小于eq\f(1,2)2．将下面用分析法证明eq\f(a2＋b2,2)≥ab的步骤补充完整：要证eq\f(a2＋b2,2)≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________明显成立，因此原不等式成立．【解析】用分析法证明eq\f(a2＋b2,2)≥ab的步