6.4.1 余弦定理 课件（共41张PPT）

第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理必备知识•探新知关键能力•攻重难课堂检测•固双基素养目标•定方向素养目标•定方向学习目标核心素养理解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理及其推论．逻辑推理能用余弦定理解三角形．数学运算必备知识•探新知

余弦定理知识点1文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和________这两边与它们的夹角的余弦的积的______倍符号语言在△ABC中，a2＝____________________，b2＝___________________，c2＝___________________推论在△ABC中，cosA＝____________，cosB＝____________，cosC＝____________减去两b2＋c2－2bccosA

c2＋a2－2cacosB

a2＋b2－2abcosC

[解析]

由余弦定理及其推论知只有A正确．故选A．A

解三角形一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的________．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做____________．元素知识点2解三角形D

150°

[知识解读]

(1)利用余弦定理可以解两类有关三角形的问题①已知两边及其夹角，解三角形；②已知三边，解三角形．(2)余弦定理和勾股定理的关系在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，则cosC＝0，于是c2＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．关键能力•攻重难题型探究题型一已知两边及一角解三角形

[分析]

(1)由余弦定理可直接求第三边；(2)先由余弦定理建立方程，从中解出BC的长．典例160

4或5

[归纳提升]

已知两边及一角解三角形的两种情况(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角．C

B

题型二已知三边解三角形

在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，求其最大内角．[分析]

由已知条件知角C为最大角，然后利用余弦定理求解．典例2[解析]

由于a∶b∶c＝3∶5∶7，不妨设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k＞0)．因此c是最大边，其所对角C为最大内角．由余弦定理推论得：∵0°＜C＜180°，∴C＝120°，即最大内角为120°．[归纳提升]

已知三角形三边求角，可先用余弦定理求一个角，继续用余弦定理求另一个角，进而求出第三个角．A．90° B．120°C．135° D．150°(2)在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A等于 (

)A．90° B．60°C．120° D．150°B

B

题型三判断三角形的形状

在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断△ABC的形状．[分析]

利用余弦定理将已知等式化为边的关系．[解析]

已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosB·cosC，∴b2＋c2＝b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosB·cosC，∵b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosBcosC＝(bcosC＋ccosB)2＝a2，∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形．典例3[归纳提升]

利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项(1)利用余弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．【对点练习】❸

在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断△ABC的形状．通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4．∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2．根据勾股定理知△ABC是直角三角形．易错警示忽略三角形三边关系导致出错

设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围．典例4[误区警示]

由于余弦定理及公式的变形较多，且涉及平方和开方等运算，可能会因不细心而导致错误．在利用余弦定理求出三角形的三边时，还要判断一下三边能否构成三角形．【对点练习】❹

在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2，c＝t，且C是最大角，求t的取值范围．[解析]

因为a，b，c是△ABC的三边，所以b－a＜c＜a＋b，所以2－1＜t＜1＋2＝3，所以1＜t＜3．又△ABC是钝角三角形，且