多元函数的极限与连续

多元函数的极限与连续第一页，共四十页，编辑于2023年，星期五§10.1多元函数的极限与连续

10.1.1多元函数的概念

内容小结与作业10.1.2多元函数的极限与连续第二页，共四十页，编辑于2023年，星期五1.点集的基本知识10.1.1多元函数的概念定义10.1.1

设x0是空间n中的一点,>0,称n中的点集为点x0的邻域.其中点x0称为邻域的中心,为半径.即点x0的邻域是n中距离x0不超过的点的集合.点x0

的去心邻域记为说明：若不需要强调邻域半径

,则用和表示点x0

的邻域和去心邻域.第三页，共四十页，编辑于2023年，星期五例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)经常用点P0

表示点x0,点P

表示点x.

(方邻域)。方邻域与圆邻域可以互相包含.第四页，共四十页，编辑于2023年，星期五设有点集E

及一点P

:若存在点P

的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,若对点

P

的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E则称P为E

的内点；则称P为E

的外点

;则称P为E的

边界点

.的外点,显然,E

的内点必属于E,

E

的外点必不属于E,E

的边界点可能属于E,也可能不属于E

.第五页，共四十页，编辑于2023年，星期五D若点集E

的点都是内点，则称E

为开集；若点集E

E

,则称E

为闭集；若集D

中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D

是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域

;。

E

的边界点的全体称为E

的边界,记作E

;。第六页，共四十页，编辑于2023年，星期五例如，在平面上开区域闭区域第七页，共四十页，编辑于2023年，星期五整个平面是最大的开区域,点集是开集，也是最大的闭区域；但非区域.o对区域D,若存在正数

K,使一切点PD与某定点A

的距离APK,则称

D

为有界域

,否则称为无界域.例如是有界闭区域;是无界开区域.第八页，共四十页，编辑于2023年，星期五引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式2.多元函数第九页，共四十页，编辑于2023年，星期五火箭在空中飞行的速度与其在空间中的位置、时间及发动机的运行情况等多种因素有关卫星发射第十页，共四十页，编辑于2023年，星期五定义10.1.2

设非空点集点集D称为函数的定义域

;

数集称为函数的值域

.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在

D

上的n

元函数

,记作二元和二元以上的函数都称为多元函数．第十一页，共四十页，编辑于2023年，星期五平面点集到实数集的对应关系二元函数第十二页，共四十页，编辑于2023年，星期五例1

写出下列函数的定义域解(1):(2):由所求函数的定义域为第十三页，共四十页，编辑于2023年，星期五例2

设求解法1

令第十四页，共四十页，编辑于2023年，星期五例2

设求解法2

令即第十五页，共四十页，编辑于2023年，星期五例如,二元函数一般地,二元函数z=f(x,y),(x,y)D空间的一张曲面.图形如图所示.图形为上半球面,的图形一般为3.二元函数的几何意义第十六页，共四十页，编辑于2023年，星期五截痕方程为用截痕法研究曲面的形状：用平面去截割曲面，或曲线在xoy面上的投影曲线的方程是曲线称为已知函数的等值线或等高线．第十七页，共四十页，编辑于2023年，星期五第十八页，共四十页，编辑于2023年，星期五对于三元函数也有等值面或等位面等概念.图形为空间中的超曲面.三元函数定义域为单位闭球第十九页，共四十页，编辑于2023年，星期五10.1.2多元函数的极限与连续定义10.1.3

设n

元函数f(x)在x0的某去心邻域内有定义,如果当自变量x

无限趋于x0时,函数f(x)的值无限接近于某个常数a,则称a

为当x

x0时函数f(x)的极限,记作当时,恒有即称上述极限为n重极限.第二十页，共四十页，编辑于2023年，星期五当n=2时,极限定义可叙述为当n=1时,上述定义与一元函数极限定义一致.设函数f(x,y)在点(x0,y0)的某去心邻域内有定义,当时,恒有则称a

为当(x,y)(x0,y0)

时函数f(x,y)的极限,记作或第二十一页，共四十页，编辑于2023年，星期五例3

设求证：证故总有要证

第二十二页，共四十页，编辑于2023年，星期五例4

设求证：证故总有要证第二十三页，共四十页，编辑于2023年，星期五

若当点趋于不同值或有的极限不存在，解

设P(x,y)沿直线y=kx

趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k

值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在

.以不同方式趋于不存在.例5

讨论函数函数第二十四页，共四十页，编辑于2023年，星期五例6.讨论是否存在？解：所以极限不存在.第二十五页，共四十页，编辑于2023年，星期五

若当点趋于不同值或有的极限不存在，解

设P(x,y)沿直线y=kx

趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k

值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在

.以不同方式趋于不存在.例5

讨论函数函数第二十六页，共四十页，编辑于2023年，星期五例6.讨论是否存在？解：所以极限不存在.第二十七页，共四十页，编辑于2023年，星期五求多元函数极限的常用方法：1.利用函数极限的运算性质；2.利用不等式缩放或使用夹逼定理；3.利用变量替换化简或化为已知极限，对含有三角函数或幂指函数的二重极限可考虑它是否能通过变形或变量代换化为一元函数中的重要极限；4.利用初等变形，如分母有理化、对指数函数取对数等.第二十八页，共四十页，编辑于2023年，星期五例7.计算解：例8.求解：第二十九页，共四十页，编辑于2023年，星期五例9.计算解：所以故第三十页，共四十页，编辑于2023年，星期五例10.求解：由于故第三十一页，共四十页，编辑于2023年，星期五例11

求解

因而此函数定义域不包括x,y

轴则故第三十二页，共四十页，编辑于2023年，星期五

二重极限不同.

1.

当重极限存在时，累次极限可能都不存在，可能一个存在而另一个不存在.

与累次极限例如,显然它在(0,0)点累次极限不存在

.第三十三页，共四十页，编辑于2023年，星期五例如,此时但不存在.2.当重极限不存在时，累次极限可能都存在且相等,也可能都存在但不相等，还可能一个存在而另一个不存在

.

第三十四页，共四十页，编辑于2023年，星期五例如,显然它在(0,0)点二重极限不存在.例如,此时但与都不存在.第三十五页，共四十页，编辑于2023年，星期五3.设重极限存在且当时,存在,则当时,存在,则例如,显然不存在.第三十六页，共四十页，编辑于2023年，星期五定义10.1.4

设n

元函数f(x)在x0的某邻域内有定义,如果则称f(x)在x0处连续.否则称为不连续,此时称x0为间断点.当n=2时,二元函数连续的定义可叙述为设函数f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义,如果或则称二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续.如果函数在D

上各点处都连续,则称此函数在

D

上连续.第三十七页，共四十页，编辑于2023年，星期五例如,

函数在点(0,0)极限不存在,又如,

函数上间断.

故(0,0)为其间断点.在圆周结论:

一切多元初等函数在定义区域内连续.第三十八页，共四十页，编辑于2023年，星期五

例