定积分在物理上的应用初步

定积分在物理上的应用初步第一页，共十五页，编辑于2023年，星期五

由万有引力定律知道：质量为m1，m2，相距为r的的两质点间的引力为

一、引力问题

在此基础上，我们用定积分的微元法来求解一些引力问题．下一页上一页返回第二页，共十五页，编辑于2023年，星期五

例1

设有均匀的细杆，长为

l，质量为

M，另有一质量为

m的质点位于细杆所在的直线上，且到杆的近端距离为

a，求杆与质点之间的引力．

解

取坐标系如图，取积分变量为

x[0,l]，在[0,l]中任意子区间[x,x

+

dx]

上，

细杆的相应小段的质量为

xax

x

+

dxxOmxOam该小段与质点距离近似为

x+

a，下一页上一页返回第三页，共十五页，编辑于2023年，星期五则细杆与质点之间的引力为

于是该小段与质点的引力近似值，即引力

F的微元为下一页上一页返回第四页，共十五页，编辑于2023年，星期五

由物理学可知，如果有一常力F作用在物体上，使物体沿力的方向移动了距离S，则力F对物体所作的功为W=FS．如果物体在运动过程中受到的力是变化的，情况就会有所不同．下面通过例题来说明如何运用微元法求解变力作功问题．二、变力作功问题下一页上一页返回第五页，共十五页，编辑于2023年，星期五

例2

已知定滑轮距光滑的玻璃平面的高为h,一物体受到通过定滑轮绳子的牵引，其力的大小为常数F,沿着玻璃平面从点A沿直线AB移到点B处(如图所示).设点A,B及定滑轮所在平面垂直玻璃板,求力F对物体所作的功．

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F

hq

x

A

x

x+dx

BO下一页上一页返回第七页，共十五页，编辑于2023年，星期五（如图所示）功的微元为

在选定的坐标系中,设A点坐标为x=a，B点坐标为x=b，选取积分变量为

解选取定滑轮在玻璃平面上的投影点为坐标原点O,x轴通过A,B两点，且它的正向是指向A.下一页上一页返回第八页，共十五页，编辑于2023年，星期五

所以，力F对物体在从x=a移动到x=b处所作的功为

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例3

一圆台形容器高为5m，

解

这是一个克服重力作功问题.思考的方法是：

上底圆半径为3m，下底圆半径为2m，

试问将容器内盛满的水全部吸出需作多少功？水的比重

r=1000kg/m3.

将吸水过程看作是一层一层地吸出.那么提取每薄层水力的大小就是薄层水的重量，

但水深不同所以位移量是不同的.具体算法如下：下一页上一页返回第十页，共十五页，编辑于2023年，星期五

选择坐标系如图，水的深度为积分变量

y,y

[0,5].

取任意子区间

[y,y

+

dy]

上的水所作的功

W的近似值，即功的微元为216000(kg·m)=2116.8(kJ).y+dyx2m5mAy3mxOy=-5(x

-3)y下一页上一页返回第十一页，共十五页，编辑于2023年，星期五

在直流电路中，若电流强度为I（I是常数），则电流通过电阻所消耗的功率是P=I2R．在交流电路中，电流强度I是随时间变化的，是时间t的函数，因而上式所表示的功率只是时刻t的瞬时功率．由于使用电器是一段时间，所以需要计算一段时间内的平均功率．那么，如何计算平均功率呢？我们用一个实例来说明．三、交流电路的平均值问题下一页上一页返回第十二页，共十五页，编辑于2023年，星期五例4

正弦交流电的电流强度为I0是电流的极大值，称为峰值，

计算正弦交流电的平均功率．解

电流可近似看作不变：下一页上一页返回第十三页，共十五页，编辑于2023年，星期五于是，平均功率为下一页上一页返回