弹性力学讲义第七章演示文稿

弹性力学讲义第七章演示文稿当前第1页\共有68页\编于星期三\4点弹性力学讲义第七章当前第2页\共有68页\编于星期三\4点第七章空间问题的基本理论在空间问题中，应力、形变和位移等基本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。空间问题的基本方程，边界条件，以及按位移求解和按应力求解的方法，都是与平面问题相似的。因此，许多问题可以从平面问题推广得到。当前第3页\共有68页\编于星期三\4点取出微小的平行六面体，考虑其平衡条件:(a)(b)平衡条件§7-1平微分方程当前第4页\共有68页\编于星期三\4点当前第5页\共有68页\编于星期三\4点由x轴向投影的平衡微分方程

,

平衡微分方程得因x,y,z轴互相垂直，均为定向，量纲均为L，所以x,y,z坐标具有对等性，其方程也必然具有对等性。所以式(a)的其余两式可通过式(c)的坐标轮换得到。当前第6页\共有68页\编于星期三\4点由三个力矩方程得到三个切应力互等定理，，。(x,y,z)(d)空间问题的平衡微分方程精确到三阶微量平衡微分方程当前第7页\共有68页\编于星期三\4点思考题在图中，若点o的x向正应力分量为，试表示点A,B的正应力分量。当前第8页\共有68页\编于星期三\4点在空间问题中，同样需要解决：由直角坐标的应力分量……，来求出斜面(法线

）上的应力。斜面应力§7-2物体内任一点的应力当前第9页\共有68页\编于星期三\4点斜面全应力p可表示为两种分量形式：p沿坐标向分量:p沿法向和切向分量:斜面应力当前第10页\共有68页\编于星期三\4点取出如图的包含斜面的微分四面体，斜面面积为ds,则x面，y面和z面的面积分别为lds,mds,nds。由四面体的平衡条件，得出坐标向的应力分量,1.求当前第11页\共有68页\编于星期三\4点当前第12页\共有68页\编于星期三\4点2.求将向法向投影，即得当前第13页\共有68页\编于星期三\4点从式(b)、(c)可见,当六个坐标面上的应力分量确定之后，任一斜面上的应力也就完全确定了。当前第14页\共有68页\编于星期三\4点设在边界上，给定了面力分量则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜面与边界重合。这时，斜面应力分量应代之为面力分量，从而得出空间问题的应力边界条件:3.在上的应力边界条件应力边界条件当前第15页\共有68页\编于星期三\4点式(b),(c)用于V内任一点，表示斜面应力与坐标面应力之间的关系；注意:

式(d)只用于边界点上，表示边界面上的面力与坐标面的应力之间的关系，所以必须将边界面方程代入式(d)。当前第16页\共有68页\编于星期三\4点1.假设面(l,m,n)为主面，则此斜面上斜面上沿坐标向的应力分量为

代入,得到斜面应力§7-3主应力最大与最小的应力当前第17页\共有68页\编于星期三\4点考虑方向余弦关系式,有式(a),(b)是求主应力及其方向余弦的方程。(b)当前第18页\共有68页\编于星期三\4点2.求主应力将式(a)改写为求主应力当前第19页\共有68页\编于星期三\4点上式是求解l,m,n的齐次代数方程。由于l,m,n不全为0，所以其系数行列式必须为零，得展开，即得求主应力的方程,求主应力当前第20页\共有68页\编于星期三\4点(c)求主应力当前第21页\共有68页\编于星期三\4点3.应力主向设主应力的主向为。代入式(a)中的前两式，整理后得应力主向当前第22页\共有68页\编于星期三\4点由上两式解出。然后由式(b)得出应力主向再求出及。当前第23页\共有68页\编于星期三\4点4.一点至少存在着三个互相垂直的主应力（证明见书上）。当前第24页\共有68页\编于星期三\4点5.应力不变量若从式(c)求出三个主应力，则式(c)也可以用根式方程表示为，因式(c)和(f)是等价的方程，故的各幂次系数应相等，从而得出应力不变量当前第25页\共有68页\编于星期三\4点(g)应力不变量当前第26页\共有68页\编于星期三\4点

∴分别称为第一、二、三应力不变量。这些不变量常用于塑性力学之中。式(g)中的各式，左边是不随坐标选择而变的；而右边各项虽与坐标的选择有关，但其和也应与坐标选择无关。当前第27页\共有68页\编于星期三\4点6.关于一点应力状态的结论：六个坐标面上的应力分量完全确定一点的应力状态。只要六个坐标面上的应力分量确定了，则通过此点的任何面上的应力也完全确定并可求出。(2)一点存在着三个互相垂直的应力主面及主应力。一点应力状态当前第28页\共有68页\编于星期三\4点(3)三个主应力包含了此点的最大和最小正应力。（4）一点存在三个应力不变量（5）最大和最小切应力为，作用于通过中间主应力、并且“平分最大和最小正应力的夹角”的平面上。设当前第29页\共有68页\编于星期三\4点思考题1.试考虑：对于平面问题若则此点所有的正应力均为,切应力均为0，即存在无数多的主应力。2.试考虑：对于空间问题若则此点所有的正应力均为,切应力均为0，即存在无数多的主应力。当前第30页\共有68页\编于星期三\4点

空间问题的几何方程，可以从平面问题推广得出：(a)几何方程§7-4几何方程及物理方程当前第31页\共有68页\编于星期三\4点从几何方程同样可得出形变与位移之间的关系：⑴若位移确定，则形变完全确定。几何方程从数学上看，由位移函数求导数是完全确定的，故形变完全确定。当前第32页\共有68页\编于星期三\4点—沿x,y,z向的刚体平移；⑵若形变确定，则位移不完全确定。

∵由形变求位移，要通过积分，会出现待定的函数。若，还存在对应的位移分量为

(b)几何方程—绕x,y,z轴的刚体转动角度。当前第33页\共有68页\编于星期三\4点若在边界上给定了约束位移分量，则空间问题的位移边界条件为(c)位移边界条件当前第34页\共有68页\编于星期三\4点(d)其中由于小变形假定，略去形变的二、三次幂。体积应变体积应变定义为当前第35页\共有68页\编于星期三\4点

空间问题的物理方程

可表示为两种形式：⑴应变用应力表示，用于按位移求解方法：(x,y,z)(e)物理方程当前第36页\共有68页\编于星期三\4点⑵应力用应变表示，用于按应力求解方法：(x,y,z)(f)由物理方程可以导出（g）是第一应力不变量，又称为体积应力。—称为体积模量。当前第37页\共有68页\编于星期三\4点

结论：空间问题的应力，形变，位移等十五个未知函数，它们都是(x,y,z)的函数。这些函数在区域V内必须满足3个平衡微分方程，6个几何方程及6个物理方程，并在边界上满足3个应力或位移的边界条件。结论当前第38页\共有68页\编于星期三\4点思考题若形变分量为零，试导出对应的位移分量（7-17）。当前第39页\共有68页\编于星期三\4点

空间轴对称问题

采用柱坐标表示轴对称问题如果弹性体的几何形状，约束情况和所受的外力都为轴对称，则应力，形变和位移也是轴对称的。§7-5轴对称问题的基本方程当前第40页\共有68页\编于星期三\4点对于空间轴对称问题：所有物理量仅为(ρ,z)的函数。应力中只有(a)形变中只有位移中只有轴对称问题当前第41页\共有68页\编于星期三\4点而由得出为。平衡微分方程：当前第42页\共有68页\编于星期三\4点

几何方程：其中几何方程为当前第43页\共有68页\编于星期三\4点物理方程：应变用应力表示：(d)当前第44页\共有68页\编于星期三\4点应力用应变表示：其中当前第45页\共有68页\编于星期三\4点边界条件：

一般用柱坐标表示时，边界面均为坐标面。所以边界条件也十分简单。在柱坐标中，坐标分量的量纲，方向性，坐标线的性质不是完全相同的。因此，相应的方程不具有对等性。当前第46页\共有68页\编于星期三\4点思考题试由空间轴对称问题的基本方程，简化导出平面轴对称问题的基本方程。当前第47页\共有68页\编于星期三\4点第七章例题例题1例题2例题3例题当前第48页\共有68页\编于星期三\4点例题1设物体的边界面方程为F（x,y,z)=0,试求出边界面的应力边界条件；若面力为法向的分布拉力q(x,y,z),应力边界条件是什么形式？当前第49页\共有68页\编于星期三\4点（x,y,z)其中解：当物体的边界面方程为F（x,y,z)=0时，它的表面法线的方向余弦为当前第50页\共有68页\编于星期三\4点当面力为法向分布拉力q时，(x,y,z)因此，应力边界条件为代入应力边界条件，得(x,y,z)当前第51页\共有68页\编于星期三\4点例题2

试求图示弹性体中的应力分量，(a)正六面体弹性体置于刚体中，上边界受均布压力q作用，设刚性体与弹性体之间无摩擦力。(b)半无限大空间体，其表面受均布压力q的作用。当前第52页\共有68页\编于星期三\4点qqooxxzz图7-4当前第53页\共有68页\编于星期三\4点解：图示的(a),(b)两问题是相同的应力状态：x向与y向的应力、应变和位移都是相同的，即等。对于(a)，有约束条件，；对于(b)，有对称条件。而两者的，因此，由物理方程，当前第54页\共有68页\编于星期三\4点即可解出当前第55页\共有68页\编于星期三\4点例题３

图示的弹性体为一长柱形体，在顶面z=0上有一集中力F作用于角点，试写出z=0表面上的边界条件。xyobbaaz图7-5P当前第56页\共有68页\编于星期三\4点解：本题是空间问题，z=0的表面是小边界，可以应用圣维南原理列出应力的边界条件。即在z=0的表面边界上，使应力的主矢量和主矩，分别等于面力的主矢量和主矩，两者数值相等，方向一致。由于面力的主矢量和主矩是给定的，因此，应力的主矢量和主矩的数值，应等于面力的主矢量和主矩的数值；当前第57页\共有68页\编于星期三\4点而面力主矢量和主矩的方向，就是应力主矢量和主矩的方向。应力主矢量和主矩的正负号和正负方向，则根据应力的正负号和正负方向来确定。对于一般的空间问题，列积分的应力边界条件时，应包括六个条件。对于图示问题这六个积分的边界条件是：当前第58页\共有68页\编于星期三\4点当前第59页\共有68页\编于星期三\4点7-1答案7-2提示：原(x,y,z)的点移动到(x+u,y+v,z+w)位置，将新位置位置代入有关平面、直线、平行六面体和椭球面方程。7-3见本书的叙述。第七章习题的提示和答案

当前第60页\共有68页\编于星期三\4点7-4空间轴对称问题比平面轴对称问题增加了一些应力、形变和位移，应考虑它们在导出方程时的贡献。7-5对于一般的空间问题，柱坐标中的全部应力、形变和位移分量都存在，且它们均为的函数。在列方程时应考虑它们的贡献。当前第61页\共有68页\编于星期三\4点

(一)本章学习的重点及要求

1.研究弹性力学问题,可以从一般问题到特殊问题,如从空间问题到平面问题。也可以由特殊问题到一般问题。本书就是先研究平面问题，然后再研究空间问题的。这样可以由浅入深，循序渐进，便于理解。第七章教学参考资料当前第62页\共有68页\编于星期三\4点弹性力学中的各种问题，都具有相似性，其未知函数，基本方程和边界条件，以及求解的方法都是类似的。我们可以把空间问题看成是平面问题的推广。2.直角坐标系(x,y,z)中一般的空间问题，包含有15个未知函数（6个应力分量，6个应变分量及3个位移分量），且它们均为三个坐标变量(x,y,z)的函数。区域内的基本方程也是15个，即3个平衡微分方程，6个几何方程及6个物理方程。在边界上的应力边界条件或