高等代数II期末复习提纲及题型

PAGE高等代数II期末复习提纲及题型（第4页共20页）高等代数II期末复习提纲及题型第九章欧几里得空间一、基本理论、基本定理1、欧氏空间中的内积的4个条件：(1)；(2)；(3)；(4)，当且仅当时有。常用欧氏空间的内积定义：中的内积定义对于，，内积的定义是中的内积定义对于，内积的定义是，特别的内积定义是。2、欧氏空间的维数并没有什么限制，可以是有限维的，也可以是无限维的。3、向量的长度的定义：，。性质。注意k的绝对值。向量的夹角的定义：。长度=1的向量，称为单位向量。向量的单位化。4、Cauchy不等式：，或者是。当是线性相关时，取等号：。当是线性无关时，取不等号：。5、向量的正交或者垂直：如果向量的夹角是90度或者内积，称正交。如果向量是正交的，则有勾股定理：。推广：如果向量组是两两正交的，则有。6、欧氏空间的基的度量矩阵的(1)定义：；(2)度量矩阵的性质：度量矩阵是一个对称矩阵；度量矩阵是正定矩阵；不同基的度量矩阵是合同的。如果向量，则内积7、正交向量组的定义：一组两两正交的非零向量。特别：单个非零向量也算正交向量组。性质：（1）正交向量组是线性无关的（掌握其证明的过程）。（2）在n维欧氏空间中，正交向量组所含向量的个数不能超过n个。8、正交基的定义：n维欧氏空间中，n个两两正交的向量组成的正交向量组，称为一个正交基。标准正交基的定义：由单位向量组成的正交基，称为标准正交基。9、如果是正交基，则，所以正交基的度量矩阵是一个对角矩阵。如果是一组标准正交基，则，因此，标准正交基的度量矩阵，即标准正交基的度量矩阵是单位矩阵E。10、标准正交基的简单性质：（1）向量的坐标可以通过内积简单地表示出来：。例如是的一组标准正交基，则向量在此标准正交基下的坐标是。（2）如果，是标准正交基，则内积，长度。11、向量组的正交化方法：把基化成标准正交基，先化成正交基（组），再单位化化成标准正交基。（1）正交化步骤：这时向量组就是正交基。的行列式=，是可逆的，所以正交变换是可逆的。）（2）正交变换的逆变换也是正交变换。（证明过程？）（3）两个正交变换的乘积也是正交变换。（证明过程？）（4）正交变换是欧氏空间V到V自身的同构映射（满足同构映射的条件）。（5）正交变换的分类：如果正交变换的矩阵A的行列式|A|=1，此时的正交变换就称是第一类的（旋转）；如果矩阵A的行列式|A|=-1，则称正交变换是第二类的。判断上面18的正交变换是第几类的？21、一个向量与一个子空间正交：设W是欧氏空间V的一个子空间，如果对于，都有，称向量与子空间W正交，记作。例如：（1）中，子空间，，那么有。（2）中，子空间由一些偶函数组成的，，那么有。22、两个子空间的正交：设V1与V2都是欧氏空间V的子空间，如果对于，都有，则称V1与V2是正交的，记作。例如：（1）中，子空间，，那么有。（2）中，子空间由一些偶函数组成的，由一些奇函数组成的，那么有。23、正交子空间的性质（1）如果，那么和是直和。（证明过程？）（2）如果，那么。（3）如果是两两正交的，那么和是直和。（证明过程？）24、子空间的正交补（1）如果子空间V1，V2满足，，则称V2是V1的正交补（当然V1也称是V2的正交补）。V1的正交补记作。（2）n维欧氏空间V的每一个子空间V1都有唯一的正交补。取V1的一组正交基，再扩充成为V的一组正交基，那么V1的正交补。并且有维数公式：维()+维(V1)=维(V)=n。25、由知道，对于任意的向量，都可以唯一地分解成为，其中，这时称向量是向量在子空间V1上的内射影。26、任一个实对称矩阵A的特征值都是实数；任一个实反对称矩阵A的特征值都是零或者纯虚数。（证明过程？）27、对称变换的定义及例子（1）定义：欧氏空间V中的线性变换，如果满足，，则称是一个对称变换。（2）例子：判断下列线性变换是不是对称变换？中，。28、判断对称变换的方法：（1）使用定义进行判断；（2）线性变换是对称变换的充分必要条件是，在任一标准正交基下的矩阵是对称矩阵。使用此方法对上述的例子进行验证。29、如果A是一个n阶实对称矩阵，那么中属于A的不同特征值的特征向量一定正交。30、对于任意一个n阶实对称矩阵A，一定存在正交矩阵T，使得是一个对角矩阵。其中就是矩阵A的全部特征值。31、从上面的结果看出，一个实对称矩阵与一个对角矩阵既合同又相似。32、任意一个实二次型都可以经过正交的线性替换X=TY变成平方和（标准形）其中就是矩阵A的全部特征值。由此可以判断，如果特征值全部都是正数，则二次型就是一个正定二次型。二、基本计算、基本证明1、内积的证明（或者欧几里得空间的证明）一一验证内积的4个条件。（1）在线性空间是由二阶矩阵组成，对于任意的矩阵，规定，证明在这个定义下，成为一个欧氏空间。（2）设A是一个n阶正定矩阵，是n维欧氏空间V的一组基，对于V中的任意向量，规定证明在这个定义下，V成为一个欧氏空间，并且的度量矩阵刚好就是正定矩阵A。2、计算向量的长度及夹角（1）P393的练习2（2）求中的函数的长度及夹角。（3）利用长度的性质进行计算：如果向量的，则的长度？3、Cauchy不等式的证明，分线性相关与线性无关两种情况的证明。4、能够写出一些具体的欧氏空间的Cauchy不等式。如中的Ｃauchy不等式、C(a,b)中的Cauchy不等式、上面练习1中的（1）与（2）的两个小题的Cauchy不等式。5、能够使用Cauchy不等式对某些不等式的证明。例如证明。6、写出基的度量矩阵。如的基的度量矩阵是；特别是基的度量矩阵是。推广，中的基的度量矩阵是。7、度量矩阵是正定矩阵的证明；不同基的度量矩阵是合同的证明。8、求一个单位向量与已知向量正交的计算题。P393的练习4与练习5的证明。9、证明：正交向量组是线性无关的。10、标准正交基的证明。例如：P393练习6。11、正交化方法的计算。（1）P369的例子。（2）P393的练习7、练习8、练习9。12、试证明：（1）标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵。即如果和都是标准正交基，()=()T，证明过渡矩阵T是正交矩阵。（2）如果是标准正交基，并且()=()T，证明也是标准正交基。13、如果矩阵A、B都是正交矩阵，试证明：AB、都是正交矩阵。14、P394的练习13：试证明一个上（下）三角形矩阵A如果是一个正交矩阵的话，则A一定是一个对角矩阵，且对角线的元素=。15、P395的练习15（有关正交变换的证明题型）。16、在欧氏空间中，子空间V1是下列齐次线性方程组的解空间。（1）求V1的正交补；（2）求向量在子空间V1上的内射影。17、P395的练习17、练习18（加上判断是否是正定二次型）、练习19的证明、练习22的证明、练习24的（1）的证明、练习26的证明。第八章矩阵一、基本理论、基本定理与基本方法1、矩阵的定义：，其中。2、不含有的矩阵A，有时也称为是数字矩阵。3、矩阵的加、减、数量乘积以及乘法运算及运算规律等（略）。4、n阶矩阵同样可以计算它的行列式。5、矩阵的秩的定义：不等于零的子式的最高阶数，称为矩阵的秩。零矩阵的秩规定=0。6、对于n阶矩阵，如果存在一个n阶矩阵满足==E，则称矩阵是可逆的，而矩阵就称为是的逆矩阵，记作。7、矩阵可逆的充分必要条件是行列式||=a是一个非零的常数。8、矩阵的初等变换：（1）交换矩阵的两行（两列）；（2）用一个非零的数c乘矩阵的某一行（某一列）；(3)用一个多项式乘矩阵的某一行（列）后，加到另一行（列）。9、初等矩阵的概念及类型、初等矩阵都是可逆的，其逆矩阵也是初等矩阵。10、如果一个矩阵经过一系列初等变换，变成矩阵，则称矩阵与是等价的。11、如果与是等价的，则存在一系列的初等矩阵使得，或者是存在可逆的矩阵与使得。12、矩阵的标准形对角形矩阵中，都是首项系数是1的多项式，而且还有整除关系，则称此对角形矩阵是矩阵的标准形。13、可以使用矩阵的初等变换来把一个矩阵化成其标准形。14、k阶行列式因子矩阵中全部k阶子式的首项系数=1的最大公因式称为的k阶行列式因子。行列式因子之间的关系。15、等价的矩阵有相同的秩与相同的各级行列式因子。16、矩阵的标准形是唯一的。的标准形的主对角线上的非零元素称为的不变因子。17、数字矩阵A与B相似的充分必要条件是：（1）特征矩阵与等价；（2）特征矩阵与有相同的标准形；（3）特征矩阵与有相同的不变因子（的不变因子以后就简称为A的不变因子）；（4）A与B有相同的不变因子；（5）A与B有相同的初等因子。18、不变因子与初等因子都是矩阵相似的不变量。19、行列式因子与不变因子的关系：20、每一个复数n阶矩阵都与一个若尔当矩阵相似。21、一个复数矩阵A与一个对角矩阵相似的充分必要条件是A的初等因子全是一次的。二、基本计算与基本证明1、矩阵是否可逆的判断。例如，。2、熟悉使用矩阵的初等变换，把矩阵化为标准形。P334的例题、P355的练习1。3、熟悉计算特殊矩阵（对角形、上三角形、下三角形等）的行列式因子，从而计算出不变因子，得出矩阵的标准形。例如：P355的练习1的（3）与（4）、练习2、练习3等。4、n阶数字矩阵A的特征矩阵的秩=n。n阶矩阵A的不变因子总是有n个（实际是就是特征矩阵的不变因子总是有n个）。即是并且它们的乘积就等于这个矩阵的特征多项式，即。5、可逆矩阵（n阶）的行列式因子，不变因子，标准形是单位矩阵E。6、熟悉从不变因子求出初等因子的方法。例如：12级矩阵A的不变因子是1、1、1、1、1、1、1、1、1、，，那么其初等因子是。熟悉从初等因子求出不变因子的方法。例如：12级矩阵A的初等因子是，那么其不变因子是。7、若尔当块中，的行列式因子是；不变因子是；初等因子是。若尔当矩阵的初等因子，从而可以求出其不变因子是；从而的标准形是。9、熟悉从初等因子写出若尔当块、若尔当矩阵。例如：对应于初等因子的若尔当块是；对应于初等因子若尔当矩阵是。8、计算复数矩阵的若尔当标准形。做P357的练习6。第七章线性变换（一部分）一、基本理论、基本方法及基本定理1、线性变换的定义及简单例子（1）定义：线性空间V的一个变换如果满足：、，这里向量，则称是一个线性变换。（2）线性变换的简单例子：中，，是一个线性变换；在P[x]中，求多项式f(x)的变换也是一个线性变换。2、线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。即，设是一个线性变换，那么（1）如果线性相关，那么也线性相关（正确）；（2）如果线性无关，那么也线性无关（错误）；（3）如果线性相关，那么也线性相关（错误）；（4）如果线性无关，那么也线性无关（正确）。3、线性变换的运算（1）乘积运算：；例如：P[x]中，线性变换，则乘积。（2）加法运算：；例如：中，，，那么。利用负变换可以定义减法运算：。例如上述线性变换的减法结果是。（3）数量乘积运算：；例如：：中，，那么。4、线性空间V上的全体线性变换所组成的集合，对于上述定义的加法运算与数量乘法运算，构成数域P上的一个线性空间。5、线性变换的逆变换，线性变换的幂都是线性变换。以及线性变换的多项式等。6、线性变换的矩阵：设是线性空间V的一个线性变换，是V的一组基，那么，它们都可以用V的基线性表示，设表示式是，取矩阵，则称矩阵A是线性变换在基下的矩阵。这时上面的等式可以写成()=()A7、一个线性变换在两组基下的矩阵的关系是：相似的。8、矩阵相似的定义：。9、相似的矩阵有相同的特征多项式，进而有相同的特征值。10、线性变换的值域及核的概念。（1）值域：V的线性变换的全体元素的像组成的集合，称为的值域，用(V)来表示，即。（2）核的概念：所有被变成零向量的向量组成的集合，称为的核，用来表示，即。（3）核的维数称为的零度，值域(V)的维数称为的秩。（4）在n维的线性空间V中，有下列的维数公式。的秩（实际上是(V)的维数）+的零度（实际上是核的维数）=n。二、基本计算与基本证明1、有关线性变换的证明与计算：P320的练习1、练习3、练习4与练习9中有关线性变换的验证。2、计算一个线性变换在一组基下的矩阵。P320的练习7、练习8、练习9、练习11、练习14与练习15中有关求一个线性变换在一组基下的矩阵的计算问题。3、有关矩阵相似的判断或者证明。4、有关线性变换的特征值与特征向量的计算。5、求矩阵的特征值与特征向量的计算。6、判断一个矩阵是否与一个对角矩阵相似的方法，当一个矩阵A能够与一个对角矩阵相似的时候，求一个可逆矩阵T，使得的计算问题。7、求线性变换的值域(V)的集合、一组基、以及维数的计算问题。求线性变换的核集合、一组基、以及维数的计算问题。做P323的练习14、练习23中有关值域与核的问题的计算。考试测试题目2007年秋季期期中考试（段考模拟题目）一、填空题（每小题3分，共30分）1、在中，基到基的过渡矩阵是。2、多项式在的基下的坐标是。3、设和都是n维线性空间V的基，而A、B是两个n级可逆矩阵，并且，则由基到基的过渡矩阵是，而由到的过渡矩阵是。4、生成子空间的维数是，它的一个基是。5、的线性变换定义如下：、，那么，。6、设是一个3阶矩阵，已知道A的两个特征值，那么A的另一个特征值，A的行列式|A|=，矩阵A的迹，A的特征多项式。7、在中定义线性变换A如下：，那么A在基的矩阵是。8、设3维线性空间V的线性变换在V的基下的矩阵分别是和，那么在基下的矩阵是。9、实数域R上的矩阵的特征值是，相应的特征向量是。10、设表示数域P上的所有2阶矩阵按矩阵加法和数与矩阵的乘法构成一个线性空间，A是V的一个线性变换，如果核的维数是s，那么值域AV的维数是。二、计算题（14+15+10+10=49分）1、设，，（1）证明和都是的基。（6分）（2）求出到的过渡矩阵。（8分）2、设R上的3维线性空间V的线性变换A在V的一组基下的矩阵是，求：（1）线性变换A的特征值与特征向量（6分）；（2）判断线性变换A的矩阵是否在适当的基下变成一个对角形矩阵？如果可以，写出相应的基变换的过渡矩阵T，并求（4分）；（3）如果向量，求出A()在基下的坐标（5分）。3、设是3维线性空间V的一组基，线性变换A在这组基下的矩阵是，并且，求线性变换A在基下的矩阵。（10分）4、设有向量，求出（1）由和生成的子空间的交的维数及一组基；（2）由和生成的子空间的和的维数及一组基。三、证明题（每小题7分，共计21分）1、设是一个n阶矩阵，对于任意的n阶矩阵，定义线性变换如下：，证明（1）是的一个线性变换（4分）；（2）（3分）。2、设是齐次线性方程组的解空间，而则是齐次线性方程组的解空间，证明。（7分）3、设，证明W是线性空间的一个子空间。（7分）2007年秋季期期末考试模拟测试题目一一、单项选择题（每题1分，总计10分，请将你认为正确的序号填在该题后的括号内）1、如果矩阵T是一个正交矩阵，并且有，那么矩阵A、B的关系是（）。(1)合同的,(2)相似的,(3)既是合同的又是相似的.2、下列矩阵中属于对称矩阵的是（）。(1)过渡矩阵,(2)度量矩阵,(3)正交矩阵.3、线性空间V中的两个子空间的和是直和的充分必要条件是（）。(1),(2)维()=维(),(3)4、下列线性空间的变换中不属于线性变换的是（）。(1)，(2)，(3)5、n级-矩阵是一个可逆矩阵的充分必要条件是（）。(1)(2)(3)，其中是一个非零的数。6、如果-矩阵和等价，那么不一定成立的是（）。(1)和的行列式因子相同；(2)和的不变因子相同；(3)7、一个复数矩阵A与一个对角矩阵相似的充分必要条件是（）。(1)A的行列式因子都是一次的(2)A的不变因子都是一次的(3)A的初等因子都是一次的8、在欧氏空间V中，如果向量线性无关，那么（）。(1)，(2)，(3)9、欧氏空间V与同构的充分必要条件是（）。(1)维(V)>n(2)维(V)=n(3)维(V)<n10、下列命题不是与命题“是正交变换”等价的是（）。(1)对于任意向量都有；(2)关于欧氏空间V的任一组基的矩阵都是正交矩阵；(3)如果是标准正交基，那么也是标准正交基。二、判断题（认为是正确的打√，是错误的打×，每小题1分，共10分）1、-矩阵的不变因子，而。2、两个数字矩阵A、B相似的充要条件是它们有相同的不变因子。（）3、若尔当块的初等因子是。（）4、设是实空间的任意向量，则关于内积构成一个欧氏空间。（）5、V一组基是标准正交基的充分必要条件是的度量矩阵是单位矩阵E。6、正交变换保持向量的夹角不变。（）7、如果是子空间的标准正交基，而是的标准正交基，那么的正交补。（）8、如果分别属于n级实对称矩阵A的特征值和的特征向量，那么内积。（）9、是的一个子空间。（）10、如果矩阵A、B相似，那么有。（）三、填空题（每小题2分，共12分）1、矩阵的行列式因子，，。2、6级矩阵A的初等因子是，，那么A的不变因子是。3、欧氏空间的函数的长度。4、的基的度量矩阵是。5、设是三维欧氏空间V的一组标准正交基，，，则内积。6、设是欧氏空间V的线性变换，如果对于任意的都有，则称是一个对称变换。四、计算题1、用初等变换化矩阵为标准型。（10分）2、求复数矩阵的若尔当标准形。（12分）3、设有实对称矩阵，（1）求A的特征值与相应的特征向量；（2）求正交矩阵T使得成对角形矩阵。（16分）4、在中，已知，（1）证明是的一组基；（2）求出到的过渡矩阵；（3）求向量在基下的坐标。（12分）五、证明题（18分）1、证明矩阵的标准形是，其中。（6分）2、定义欧氏空间的一个双射如下：，试证明：（1）是一个线性变换；（2）是到的一个同构映射。（6分）3、设为欧氏空间V的正交变换，证明是V的对称变换的充分必要条件是为V的单位变换。（6分）2007年秋季期期末考试模拟测试题目二一、单项选择题（每题1分，总计10分，请将你认为正确的序号填在该题后的括号内）1、如果矩阵T是一个正交矩阵，并且有，那么矩阵A、B的关系是（）。(1)合同的,(2)相似的,(3)既是合同的又是相似的.2、下列集合属于的子空间的是（）。(1),(2),(3).3、同一线性变换在不同基下的矩阵是（）。(1)相等的,(2)相似的,(3)合同的4、下列线性空间的变换中属于线性变换的是（）。(1)，(2)，(3)5、如果矩阵与等价，则与的（）。(1)相同但不变因子不同；(2)不行列式因子变因子相同但行列式因子不同；(3)行列式因子与不变因子都相同。6、实对称矩阵与对角形矩阵（）。(1)相似但不合同(2)既相似又合同(3)合同但不相似7、两个n阶数字矩阵A与B相似的充分必要条件是（）。(1)(2)(3)A与B有相同的初等因子8、在欧氏空间V中，如果向量线性相关，那么（）。(1)，(2)，(3)9、欧氏空间V与同构的充分必要条件是（）。(1)维(V)>5(2)维(V)=5(3)维(V)<510、已知是欧氏空间的一组正交基，的子空间，则正交补（）。(1)；(2)；(3)。二、判断题（认为是正确的打√