高二数学选修2-1第三章空间向量与立体几-知识点+习题+答案_第1页
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PAGEPAGE4空间向量与立体几何1、空间向量的概念:在空间,具有大小和方向的量称为空间向量.向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的模(或长度),记作.模(或长度)为的向量称为零向量;模为的向量称为单位向量.与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量,记作.方向相同且模相等的向量称为相等向量.2、空间向量的加法和减法:求两个向量和的运算称为向量的加法,它遵循平行四边形法则.即:在空间以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形,则以起点的对角线就是与的和,这种求向量和的方法,称为向量加法的平行四边形法则.求两个向量差的运算称为向量的减法,它遵循三角形法则.即:在空间任取一点,作,,则.3、实数与空间向量的乘积是一个向量,称为向量的数乘运算.当时,与方向相同;当时,与方向相反;当时,为零向量,记为.的长度是的长度的倍.4、设,为实数,,是空间任意两个向量,则数乘运算满足分配律及结合律.分配律:;结合律:.5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量称为共线向量或平行向量,并规定零向量与任何向量都共线.6、向量共线的充要条件:对于空间任意两个向量,,的充要条件是存在实数,使.7、平行于同一个平面的向量称为共面向量.8、向量共面定理:空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对,,使;或对空间任一定点,有;或若四点,,,共面,则.9、已知两个非零向量和,在空间任取一点,作,,则称为向量,的夹角,记作.两个向量夹角的取值范围是:.10、对于两个非零向量和,若,则向量,互相垂直,记作.11、已知两个非零向量和,则称为,的数量积,记作.即.零向量与任何向量的数量积为.12、等于的长度与在的方向上的投影的乘积.13、若,为非零向量,为单位向量,则有;;,,;;.14、向量数乘积的运算律:;;.15、若,,是空间三个两两垂直的向量,则对空间任一向量,存在有序实数组,使得,称,,为向量在,,上的分量.16、空间向量基本定理:若三个向量,,不共面,则对空间任一向量,存在实数组,使得.17、若三个向量,,不共面,则所有空间向量组成的集合是空间向量与立体几何练习题1一、选择题(每小题5分,共50分)1.如图,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是A.-a+b+cB.a+b+cC.a-b+cD.-a-b+c2.下列等式中,使点M与点A、B、C一定共面的是A.B.C.D.3.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1,点E、F分别是AB、AD的中点,则等于A.B.C.D.4.若,,与的夹角为,则的值为A.17或-1B.-17或1C.-1D.15.设,,,则线段的中点到点的距离为A.B.C.D.6.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是①①正方体②圆锥③三棱台④正四棱锥A.①②B.①③C.①④D.②④7.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是俯视图正(主)视图侧(左)视图俯视图正(主)视图侧(左)视图2322B.C.D.8.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60°9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为A.B.C.D.10.⊿ABC的三个顶点分别是,,,则AC边上的高BD长为A.5B.C.4D.二、填空题(每小题5分,共20分)11.设,,且,则.12.已知向量,,且,则=________.13.在直角坐标系中,设A(-2,3),B(3,-2),沿轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后,这时,则的大小为.14.如图,P—ABCD是正四棱锥,是正方体,其中,则到平面PAD的距离为.三、解答题(共80分)15.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱PA的长为2,且PA与AB、AD的夹角都等于600,是PC的中点,设.(1)试用表示出向量;(2)求的长.16.(本小题满分14分)如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出(单位:cm).(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;(3)在所给直观图中连结,证明:∥面EFG..17.(本小题满分12分)如图,在四面体中,,点分别是的中点.求证:(1)直线面;(2)平面面.18.(本小题满分14分)如图,已知点P在正方体的对角线上,∠PDA=60°.(1)求DP与所成角的大小;(2)求DP与平面所成角的大小.19.(本小题满分14分)已知一四棱锥P-ABCD的三视图如下,E是侧棱PC上的动点.(1)求四棱锥P-ABCD的体积;(2)是否不论点E在何位置,都有BD⊥AE?证明你的结论;(3)若点E为PC的中点,求二面角D-AE-B的大小.20.(本小题满分14分)如图,已知四棱锥,底面为菱形,平面,,分别是的中点.(1)证明:;PBECDFA(2)若为上的动点,与平面所成最大角的正切值为,求二面角的余弦值.PBECDFA参考答案一、选择题1.=c+(-a+b)=-a+b+c,故选A.2.故选D.3.∵,,故选B.4.B5.B6.D7.D8.D9.D10.由于,所以,故选A二、填空题11.912.313.作AC⊥x轴于C,BD⊥x轴于D,则∵14.以为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系设平面PAD的法向量是,,∴,取得,,∴到平面PAD的距离.三、解答题15.解:(1)∵是PC的中点,∴(2).16.解:(1)如图(2)所求多面体体积.ABCDEFG(ABCDEFG连结,则.因为分别为,中点,所以,从而.又平面,所以面.17.证明:(1)∵E,F分别是的中点,∴EF是△ABD的中位线,∴EF∥AD,∵AD面ACD,EF面ACD,∴直线EF∥面ACD;(2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD,∵CB=CD,F是BD的中点,∴CF⊥BD又EF∩CF=F,∴BD⊥面EFC,∵BD面BCD,∴面面.18.解:如图,以为原点,为单位长建立空间直角坐标系.则,.连结,.在平面中,延长交于.设,由已知,由,可得.ABCDPxABCDPxyzH(1)因为,所以,即与所成的角为.(2)平面的一个法向量是.因为,所以,可得与平面所成的角为.19.解:(1)由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PC⊥底面ABCD,且PC=2.∴(2)不论点E在何位置,都有BD⊥AE证明如下:连结AC,∵ABCD是正方形,∴BD⊥AC∵PC⊥底面ABCD且平面∴BD⊥PC又∴BD⊥平面PAC∵不论点E在何位置,都有AE平面PAC∴不论点E在何位置,都有BD⊥AE(3)解法1:在平面DAE内过点D作DG⊥AE于G,连结BG∵CD=CB,EC=EC,∴≌,∴ED=EB∵AD=AB,∴△EDA≌△EBA,∴BG⊥EA∴为二面角D-EA-B的平面角∵BC⊥DE,AD∥BC,∴AD⊥DE在Rt△ADE中==BG在△DGB中,由余弦定理得∴=,∴二面角D-AE-B的大小为.解法2:以点C为坐标原点,CD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示:则,从而设平面ADE和平面ABE的法向量分别为由法向量的性质可得:,令,则,∴设二面角D-AE-B的平面角为,则∴,∴二面角D-AE-B的大小为.20.(1)证明:由四边形为菱形,,可得为正三角形.因为为的中点,所以.又,因此.因为平面,平面,所以.而平面,平面且,所以平面.又平面,所以.(2)解:设,为上任意一点,连接.由(1)知平面,则为与平面所成的角.在中,,所以当最短时,最大,即当时,最大.此时,因此.又,所以,所以.解法一:因为平面,平面,所以平面平面.过作于,则平面,过作于,连接,则为二面角的平面角,在中,,,又是的中点,在中,,又,在中,,即所求二面角的余弦值为.解法二:由(1)知两两垂直,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又分别为的中点,所以PBEPBECDFAyzx,所以.设平面的一法向量为,则因此取,则,因为,,,所以平面,故为平面的一法向量.又,所以.因为二面角为锐角,所以所求二面角的余弦值为.空间向量与立体几何2一、选择题(每小题5分,共60分)1.下列各组向量中不平行的是()A.B.C.D.2.已知点,则点关于轴对称的点的坐标为()A.B.C.D.3.若向量,且与的夹角余弦为,则等于()A.B.C.或D.或4.若A,B,C,则△ABC的形状是()A.不等边锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形5.若A,B,当取最小值时,的值等于()A.B.C.D.6.空间四边形中,,,则<>的值是()A.B.C.-D.7.设表示直线,表示平面,则下列命题中不正确的是().A.,则//B.m//,则m//nABCDC.,,则D.,,则ABCD8.在棱长均为2的正四面体中,若以三角形为视角正面的三视图中,其左视图的面积是().A.B.C.D.DCDCAB在原正方体中的位置关系是()A.平行B.相交且垂直C.异面D.相交成60°10、点P在平面ABC外,若PA=PB=PC,则点P在平面ABC上的射影是△ABC的()A.外心B.重心C.内心D.垂心11、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是()PABCD(A)(B)(C)(D)PABCD12、已知PD⊥矩形ABCD所在的平面,图中相互垂直的平面有()(A)2对(B)3对(C)4对(D)5对二、填空题(每小题4分,共24分)13.若向量,则__________________。14.若向量,则这两个向量的位置关系是___________。15.已知向量,若,则______;若则______。16.已知向量若则实数______,_______。17.若,且,则与的夹角为____________。18.已知空间四边形,点分别为的中点,且,用,,表示,则=_______________。三、解答题(每小题12分,共36分)19(08海南宁夏卷理18)如图,已知点P在正方体ABCD-A1B1C1D1ABCDPxyzABCDPxyzH(1)求DP与CC1所成角的大小;(2)求DP与平面AA1D1D所成角的大小.20.(08陕西卷理20)三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示,截面为,,平面,,,,,.A1AC1B1BA1AC1B1BDC(Ⅱ)求二面角的大小.(只求余弦值的大小)21.如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的,其中.(Ⅰ)求的长;(Ⅱ)求点到平面的距离.答案一、选择题1.D而零向量与任何向量都平行2.A关于某轴对称,则某坐标不变,其余全部改变3.C4.A,,得为锐角;,得为锐角;,得为锐角;所以为锐角三角形5.C,当时,取最小值6.D7.B8.C9.D10.A11.A12.D二、填空题13.,14.垂直15.若,则;若,则16.17.18.三、解答题19(08海南宁夏卷理18)如图,已知点P在正方体ABCD-A1B1C1D1对角线BD1上,∠PDA=60°.(1)求DP与CC1所成角的大小;(2)求DP与平面AA1D1D所成角的大小.解:如图,以为原点,为单位长建立空间直角坐标系.ABCDPxyzH则ABCDPxyzH在平面中,延长交于.设,由已知,由可得.解得,所以.(Ⅰ)因为,所以.即与所成的角为.(Ⅱ)平面的一个法向量是.因为,所以.可得与平面所成的角为.20.(08陕西卷理20)三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示,截面为,,平面,,,,,.A1AC1B1BA1AC1B1BDC(Ⅱ)求二面角的大小.解:解法一:(Ⅰ)平面平面,.在中,,,,又,,,即.A1AC1B1BA1AC1B1BDCFE(第19题,解法一)平面,平面平面.(Ⅱ)如图,

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