高二数学选修2-1第三章空间向量与立体几-知识点+习题+答案

PAGEPAGE4空间向量与立体几何1、空间向量的概念：在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．向量的大小称为向量的模（或长度），记作．模（或长度）为的向量称为零向量；模为的向量称为单位向量．与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作．方向相同且模相等的向量称为相等向量．2、空间向量的加法和减法：求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形，则以起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点，作，，则．3、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算．当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为．的长度是的长度的倍．4、设，为实数，，是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．分配律：；结合律：．5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使．7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．8、向量共面定理：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，，使；或对空间任一定点，有；或若四点，，，共面，则．9、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，，则称为向量，的夹角，记作．两个向量夹角的取值范围是：．10、对于两个非零向量和，若，则向量，互相垂直，记作．11、已知两个非零向量和，则称为，的数量积，记作．即．零向量与任何向量的数量积为．12、等于的长度与在的方向上的投影的乘积．13、若，为非零向量，为单位向量，则有；；，，；；．14、向量数乘积的运算律：；；．15、若，，是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量，存在有序实数组，使得，称，，为向量在，，上的分量．16、空间向量基本定理：若三个向量，，不共面，则对空间任一向量，存在实数组，使得．17、若三个向量，，不共面，则所有空间向量组成的集合是空间向量与立体几何练习题1一、选择题（每小题5分，共50分）1.如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点.若=a，=b，=c，则下列向量中与相等的向量是A.－a+b+cB.a+b+cC.a－b+cD.－a－b+c2.下列等式中，使点M与点A、B、C一定共面的是A.B.C.D.3.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点，则等于A.B.C.D.4.若，，与的夹角为，则的值为A.17或-1B.-17或1C.-1D.15.设，，，则线段的中点到点的距离为A.B.C.D.6.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是①①正方体②圆锥③三棱台④正四棱锥A．①②B．①③C．①④D．②④7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是俯视图正(主)视图侧(左)视图俯视图正(主)视图侧(左)视图2322B.C.D.8.如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60°9.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为A.B.C.D.10.⊿ABC的三个顶点分别是，，，则AC边上的高BD长为A.5B.C.4D.二、填空题（每小题5分，共20分）11.设，，且，则.12.已知向量，，且，则=________.13.在直角坐标系中，设A（-2，3），B（3，-2），沿轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后，这时，则的大小为．14.如图，P—ABCD是正四棱锥，是正方体，其中，则到平面PAD的距离为.三、解答题（共80分）15.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于600，是PC的中点，设．（1）试用表示出向量；（2）求的长．16.（本小题满分14分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）.（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结，证明：∥面EFG..17.（本小题满分12分）如图，在四面体中，，点分别是的中点．求证：（1）直线面；（2）平面面．18.（本小题满分14分）如图，已知点P在正方体的对角线上，∠PDA=60°.（1）求DP与所成角的大小；（2）求DP与平面所成角的大小.19.（本小题满分14分）已知一四棱锥P－ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点．（1）求四棱锥P－ABCD的体积；（2）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论;（3）若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小．20.（本小题满分14分）如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．（1）证明：；PBECDFA（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．PBECDFA参考答案一、选择题1.=c+(－a+b)=－a+b+c，故选A.2.故选D.3.∵,,故选B.4.B5.B6.D7.D8.D9.D10.由于，所以,故选A二、填空题11.912.313.作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则∵14.以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系设平面PAD的法向量是，，∴，取得，，∴到平面PAD的距离.三、解答题15.解：（1）∵是PC的中点，∴（2）.16.解：（1）如图（2）所求多面体体积．ABCDEFG（ABCDEFG连结，则．因为分别为，中点，所以，从而．又平面，所以面．17.证明：（1）∵E,F分别是的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵AD面ACD，EF面ACD，∴直线EF∥面ACD；（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是ＢＤ的中点，∴CF⊥BD又EF∩CF=F,∴BD⊥面EFC，∵BD面BCD，∴面面.18.解：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系．则，．连结，．在平面中，延长交于．设，由已知，由，可得．ABCDPxABCDPxyzH（1）因为，所以，即与所成的角为．（2）平面的一个法向量是．因为，所以，可得与平面所成的角为．19.解：（1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2.∴(2)不论点E在何位置，都有BD⊥AE证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC∵PC⊥底面ABCD且平面∴BD⊥PC又∴BD⊥平面PAC∵不论点E在何位置，都有AE平面PAC∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE(3)解法1：在平面DAE内过点D作DG⊥AE于G，连结BG∵CD=CB,EC=EC，∴≌，∴ED=EB∵AD=AB，∴△EDA≌△EBA，∴BG⊥EA∴为二面角D－EA－B的平面角∵BC⊥DE，AD∥BC，∴AD⊥DE在Rｔ△ADE中==BG在△DGB中，由余弦定理得∴=，∴二面角D－AE－B的大小为.解法2：以点C为坐标原点，CD所在的直线为ｘ轴建立空间直角坐标系如图示：则,从而设平面ADE和平面ABE的法向量分别为由法向量的性质可得：，令，则，∴设二面角D－AE－B的平面角为，则∴，∴二面角D－AE－B的大小为.20.（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．因为为的中点，所以．又，因此．因为平面，平面，所以．而平面，平面且，所以平面．又平面，所以．（2）解：设，为上任意一点，连接．由（1）知平面，则为与平面所成的角．在中，，所以当最短时，最大，即当时，最大．此时，因此．又，所以，所以．解法一：因为平面，平面，所以平面平面．过作于，则平面，过作于，连接，则为二面角的平面角，在中，，，又是的中点，在中，，又，在中，，即所求二面角的余弦值为．解法二：由（1）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以PBEPBECDFAyzx，所以．设平面的一法向量为，则因此取，则，因为，，，所以平面，故为平面的一法向量．又，所以．因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为．空间向量与立体几何2一、选择题（每小题5分，共60分）1．下列各组向量中不平行的是（）A．B．C．D．2．已知点，则点关于轴对称的点的坐标为（）A．B．C．D．3．若向量，且与的夹角余弦为，则等于（）A．B．C．或D．或4．若A，B，C，则△ABC的形状是（）A．不等边锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形5．若A，B，当取最小值时，的值等于（）A．B．C．D．6．空间四边形中，，，则<>的值是（）A．B．C．－D．7．设表示直线，表示平面，则下列命题中不正确的是（）．A．，则//B．m//，则m//nABCDC．,,则D．,,则ABCD8．在棱长均为2的正四面体中，若以三角形为视角正面的三视图中，其左视图的面积是（）．A．B．C．D．DCDCAB在原正方体中的位置关系是（）A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成60°10、点P在平面ABC外，若PA=PB=PC，则点P在平面ABC上的射影是△ABC的（）A．外心B.重心C.内心D.垂心11、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为１的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）PABCD（A）（B）（C）（D）PABCD12、已知PD⊥矩形ABCD所在的平面，图中相互垂直的平面有（）（A）2对（B）3对（C）4对（D）5对二、填空题（每小题4分，共24分）13．若向量，则__________________。14．若向量，则这两个向量的位置关系是___________。15．已知向量，若，则______；若则______。16．已知向量若则实数______，_______。17．若，且，则与的夹角为____________。18．已知空间四边形，点分别为的中点，且，用，，表示，则=_______________。三、解答题（每小题12分，共36分）19（08海南宁夏卷理18）如图，已知点P在正方体ABCD－A1B1C1D1ABCDPxyzABCDPxyzH（1）求DP与CC1所成角的大小；（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小.20.(08陕西卷理20）三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，，，，，．A1AC1B1BA1AC1B1BDC（Ⅱ）求二面角的大小．（只求余弦值的大小）21．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中.（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求点到平面的距离.答案一、选择题1．D而零向量与任何向量都平行2．A关于某轴对称，则某坐标不变，其余全部改变3．C4．A，，得为锐角；，得为锐角；，得为锐角；所以为锐角三角形5．C，当时，取最小值6．D7.B8.C9.D10.A11.A12.D二、填空题13．，14．垂直15．若，则；若，则16．17．18．三、解答题19（08海南宁夏卷理18）如图，已知点P在正方体ABCD－A1B1C1D1对角线BD1上，∠PDA=60°.（1）求DP与CC1所成角的大小；（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小.解：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系．ABCDPxyzH则ABCDPxyzH在平面中，延长交于．设，由已知，由可得．解得，所以．（Ⅰ）因为，所以．即与所成的角为．（Ⅱ）平面的一个法向量是．因为，所以．可得与平面所成的角为．20.(08陕西卷理20）三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，，，，，．A1AC1B1BA1AC1B1BDC（Ⅱ）求二面角的大小．解：解法一：（Ⅰ）平面平面，．在中，，，，又，，，即．A1AC1B1BA1AC1B1BDCFE（第19题，解法一）平面，平面平面．（Ⅱ）如图，