2023年高等数学大一上总结

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐高等数学大一上总结第一章函数与极限

主要内容:函数的定义；函数的几种特性；复合函数、反函数与初等函数的概念；数列与函数极限的定义；极限的运算法则；无穷小与无穷大的概念；两个重要极限；无穷小的比较；函数在点与区间的延续性及间断性；闭区间上延续函数的性质。

内容要点：

1.函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。

2.复合函数和反函数的概念。

3.基本初等函数的性质及其图形。

4.立容易实际问题中的函数关系式。

5.极限的概念，把握极限四则运算法则及换元法则。

6.子数列的概念，把握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。

7.极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单调有界数列必有极限的原理,柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、密性定理)。会用两个重要极限求极限。

8.无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。

9.函数在一点延续和在一个区间上延续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。

10.初等函数的延续性和闭区间上延续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，全都延续性)。

一、求函数的定义域

①分式的分母不等于零；②偶次方根式中，被开方式大于等于零；③含有对数的式子，真数式大于零；④反正弦、反余弦符号内的式子肯定值小于等于1；⑤分段函数的定义域是各段

函数定义域的并集；(6)若已知y=f(x)的定义域是[a,b]，求y=f[t(x)]的定义域，办法是

解a≦t(x)≦b

二、推断两个函数是否相同

一个函数确实定取决于其定义域和对应关系确实定，因此推断两个函数是否相同必需推断其定义域是否相同，且要推断函数表达式是否统一即可。

三、推断函数奇偶性

推断函数的奇偶性，主要的办法就是利用定义，第二是利用奇偶的性质，即奇(偶)函数之和仍是奇(偶)函数；两个奇函数之积是偶函数；两个偶函数之积仍是偶函数；一奇一偶之积是奇函数。

四、数列极限的求法

利用数列极限的四则运算法则、性质以及已知极限求极限。(1)若数列分子分母同时含n，则同除n的最高次项。（2）若通项中含有根式，普通采纳先分子或分母有理化，再求极限的办法。(3)所求数列是无穷项和，通常先用等差或等比数列前n项求和公式求出，再求极限。（4）利用两边夹逼定理求数列极限，办法是将极限式中的每一项放大或缩小，并使放大、缩小后的数列具有相同的极限。通式为形如1的无穷次方的不定式，普通采纳两个重要极限中等于e的那个式子求解。

五、函数极限的求法

1.用数列求极限办法，

2.在一点处延续，则在此处极限等于此处函数值，

3.分段函数，在某点极限存在，则此处左右极限都存在且相等。

⑤利用无穷小量的特性以及无穷小量与无穷大量的关系求极限。即无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量；有限个无穷小量之积仍是无穷小量；有限个无穷小量之代数和仍为无穷小量等。无穷小量与无穷大量的关系是互为倒数。六、推断函数延续性

利用函数延续性的等价定义，对于分段函数在分界点的延续性，可用函数在某点延续的充要条件以及初等函数在其定义域内是延续函数的结论等来研究函数的延续性。

一些初等函数：两个重要极限：

x

x

arthxxxarchxxxarshxeeeechxshxthxeechxeeshxxx

x

xx

xx

x-+=-+±=++=+-==+=

-=

11ln

21)

1ln(1ln(:2

:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)1

1(lim1

sinlim

0==+=∞→→ex

x

x

xxx

·和差角公式：·和差化积公式：

·倍角公式：

·半角公式：

α

α

αααααααααααα

α

ααα

cos1sinsincos1cos1cos12cos1sinsincos1cos1cos12

2

cos12cos2cos12

sin-=

+=-+±=+=-=+-±

=+±=-±=ctgtg

·正弦定理：RC

c

BbAa2sinsinsin===·余弦定理：

Cabbaccos2222-+=

·反三角函数性质：arcctgxarctgxxx-=

-=

2

arccos2

arcsinπ

π

其次章导数与微分

一、内容提要

1、导数定义，单侧导数，可导充要条件。

2、导数的几何意义，导数和切线的关系，光洁曲线和导数的关系。

3、可导和延续的关系。

4、基本初等函数求导公式。

5、导数的四则运算。

6、复合函数求导法则，反函数求导法则，参数方程确定的函数求导法则

。

8、高阶导数；二阶导数的一个物理模型。9、

微分的定义，函数的微分和增量关系，导数和微分关系，微分公式和微分运算，一阶微分形式不变性，近似计算。二、重点和难点

前面的1、4、5、6、9为重点，7、9犯难点。三、基本要求

2

sin

2sin2coscos2cos

2cos2coscos2sin

2cos2sinsin2cos

2sin

2sinsinβ

αβαβαβ

αβαβαβ

αβαβαβ

αβ

αβα-+=--+=+-+=--+=+α

ββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctgctgctgctgctgtgtgtgtgtg±?=

±?±=

±=±±=±1

)(1)(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(α

ααααααααα23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg--=

-=-=α

α

αααααααααα

αα22222212221

2sincossin211cos22coscossin22sintgtgtgctgctgctg-=

-=

-=-=-==

1、正确理解导数的概念(导数是变化率问题抽象出来的数学概念)；会用导数定义求一些最简函数在某点的导数值。

2、牢固把握导数几何意义，迅速确定切线方程和法线方程。

3、娴熟应用本节内容提要中的

4、

5、6，7；解决一切初等函数求导问题。4、娴熟应用微分公式和法则，解决一切初等函数微分问题。

内容要点：

1.导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与延续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。

2.导数的四则运算法则和复合函数的求导法，把握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。

3.高阶导数的概念。

4.初等函数一阶、二阶导数的求法。

5.隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。

6.罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。

7.会洛必达(L'Hospital)法则求不定式的极限。

8.函数的极值概念，把握用导数推断函数的单调性和求极值的办法。会求解较容易的最大值和最小值的应用问题。

9.导数推断函数图形的高低性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。

10.有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。

11.求方程近似解的二分法和切线法。

一、求显函数的导数

利用基本初等函数的求导公式，运用函数的和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，可以求出普通显函数的导数。

二、求隐函数的导数

三、用“取对数求导法”求函数导数

四、求由参数方程所表示的函数的导数

五、求函数微分

利用微分的定义、一阶微分形式不变性和微分运算法则可以求出函数的微分。

六、求曲线上一点的切线方程

按照导数的几何意义，可以求出函数曲线上某一点处的切线方程和法线方程。导数公式：

·倍角公式：

·半角公式：

α

α

αααααααααααα

α

ααα

cos1sinsincos1cos1cos12cos1sinsincos1cos1cos12

2

cos12cos2cos12

sin-=

+=-+±=+=-=+-±

=+±=-±=ctgtg

·正弦定理：RC

c

BbAa2sinsinsin===·余弦定理：

Cabbaccos2222-+=

·反三角函数性质：arcctgxarctgxxx-=

-=

2

arccos2

arcsinπ

π

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

)

()

()()2()1()(0

)

()()

(!

)1()1(!2)1()

(nkknnnnn

kkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv+++--++''-+'+===-∑

a

xxa

aactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1

)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22=

'='?-='?='-='='2

2

22

11

)(11

)(11

)(arccos11

)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxx+-

='+=

'--

='-=