2023年高等数学上册第一章心得与分享

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐高等数学上册第一章心得与分享第一章函数极限与延续

（一）本章重点（importantpoints）：

1.了解极限的定义（重点是理解极限定义中的“随意”和“存在”，以及N与ε的相关性；动态变化性）及求法，定义要从代数及几何两方面举行理解。

2.理解以及运用两个重要的极限公式（及其拓展形式）。

3.无穷小理论及其运用（主要是等价无穷小代换，在求极限以及一些证实题中会常常用到，soitisalsoimportant!）。

4.函数的延续（这是以后无数公式定理运用的条件，所以必需把握地verygood！）。

5.分段函数的延续性，可导性，及其极限值的求法。（二）学问点分析（analysis）：

常用不等式

1）肯定值不等式：||x|?|y||≤|x±y|≤|x|+|y|2）三角不等式：|x?z|=|x?y+y?z|≤|xy|+|yz|3）BernoulliInequality(贝努力不等式)：

若x>-1,n∈z,且n>=2则(1+x)n≥1+nx4)CauchyInequality（柯西不等式）：(∑xiyi）

ni=12

≤(∑xi

2ni=1)?(∑yi2n

i=1)5)ex≥1+x6)ln(1+n)≤x

7)(1+1n)n

(1+1n

)

n+2

即：数列{(1+1n)n}单调递增，数列{(1+1n)

n+1

}单调递减。

8）设x∈z+,则1

x+10

ni=1

,则有判别式?≤0故4

（∑xiyini=1）

2

≤

4∑xi

2

?

∑yi

2≤0ni=1ni=1

→

(∑xiyi）

ni=12

≤(∑xi2

ni=1)?

(∑yi2ni=1)

三．求极限的办法：

1.利用极限的基本性质与法则。

2.利用数列求和。

3.利用两个重要极限。

4.利用对数恒等式（主要是解有关幂指型函数的题）。

5.利用函数的延续性。

6.利用无穷大与无穷小的关系（无穷小乘以一个有界函数结果是无穷小；无穷大加无穷大不一定等于无穷大；）

四．数列的极限：

若对0>?ε（不论ε多么小），总?自然数0>N，使得当Nn>时都有ε时，有ε?ε，由于ε.所以取][2

εaN=，当Nn>时，由于有ε?ε，（由于ε越小越好，不妨设1?>

-。取???

?????+=qNlnln1ε，所以当Nn>时，有ε?ε，必分离?自然数21,NN，当1Nn>时，有ε时，有ε时，（1），（2）同时成立。现考虑：

εεε2)()(=+时，1=时，

aaaxxnn+使得对,nN+?∈恒有nxM≤

（ii）若0

lim()x

x

fxA→=，则0M?>当0:0xxxδ

>当xX

>时，有

()fxM

≤

（3）局部保号性

（i）若axnn=∞

→lim且0(0)aa>时，恒有0(0)nnxx>当0:0xxxδ

?ε（不论它多么小），总0>?δ，使得对于适合不等式δ?δ，有δ?ε，作两条平行直线εε-=+=AyAy,。由定义，对此0,>?δε。当δδ+AA，则0>?δ，当),(0

δ∧∈xUx时，0)(>xf)0)((A的情形。取2

A

=ε，由定义，对此0,>?δε，当),(0δ∧

∈xUx时，

2)(AAxf=?=+”，“xf，未必有0>A。

定义2：对0>?ε，0>?δ，当00xxx>aax时是有定义的，若对)(,0aX>?>?ε，当Xx>时，有

ε?>?Xε，当)(XxXx-时，有

ε?ε若)0(0>>?Xδ，使得当)(00

Xxxx>?>?XMδ，使得当)(00Xxxx>)(，就称)(xf当)(0∞→→xxx时的无穷大，记作:))(lim()(lim0

∞=∞=∞

→→xfxfxxx。

6、无穷小量与无穷大量的概念

（1）若0()

lim()0xxxxα→∞

→=，即对0,0,εδ?>?>当0:0xxxδ

）时

有()xαε?>>或当0:0xxxδ

）

时有

()fxM

>则称当0()()xxxfx→→∞或，无穷大量

7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则

（1）00()

()

lim()()(),lim()0

xxxxxxfxAfxAxxαα→∞→∞

→→=?=+=其中（2）0

()()

1

lim()0()0lim()xxxxxxfxfxfx→∞→∞→→=≠?=∞（）（3）0

()()

1lim()lim0

()xxxxxxgxgx→∞→∞→→=∞?=（4）0()

lim()0,xxxfxM→∞

→=∞?>且当0:0xxxδ）时有()gxM≤，

则0()

lim[()()]xxxfxgx→∞

→+=∞

（5）0()

lim()00,xxxfxM→∞→=?>且当0:0xxxδ）时有()gxM≤，

则0()

lim[()()]0

xxxfxgx→∞

→?=

（6）0()

lim()0(1,2,,)

kxxxfxkn→∞

→==L则01

()

lim()0,n

kxkxxfx→∞=→=∑01

()lim()0,n

kxkxxfx→∞

=→=∏

8、无穷小量的比较

000()

()

()

lim()0,lim()0,lim()0→∞→∞→∞→→→===xxxxxxxxxfxgxxα

若（1）0()

()

lim

0,()

xxxfxCgx→∞→=≠，则称当0()xxx→→∞或时，()fx与()gx是同阶无穷小。（2）0()

()

lim

1()

xxxfxgx→∞

→=，则称当0()xxx→→∞或时，()fx与()gx是等价无穷小，记作

()()fxgx:（0()xxx→→∞或）。（3）0()

()

lim

0()

xxxfxgx→∞

→=，则称当0()xxx→→∞或时，()fx是()gx是高阶无穷小，记作()(())fxogx=（0()xxx→→∞或）

。（4）0M?>0

0(,)xUxδ?∈（或

xX

>），有

()

()

fxM

gx≤，

则记()(())fxOgx=（0()xxx→→∞或）（5）0

()

()

lim

0(0)[()]k

xxxfxCkxα→∞→=≠>，则称当0()xxx→→∞或时，()fx是()xα是k阶无穷

小，

定理6：假如)()(xxψ?≥，且bxax==)(lim,)(limψ?，则ba≥。

【例10】证实[][]xx

xx,1lim=∞

→为x的整数部分。证实：先考虑[][]xxxxx-=-1，由于[]xx-是有界函数，且当∞→x时，01→x

，所

以[][][]1lim

0)1(lim0lim=?=-?=-?∞→∞→∞→xxx

xxxxxxx。例9】求)21(lim222

n

nnnn+++

∞

→ΛΛ。

解：当∞→n时，这是无穷多项相加，故不能用§1.6定理3，先变形：原式2121lim2)1(1lim)21(1lim

22=+=+?=+++=∞→∞→∞→nnnnn

nnnnnΛΛ。

准则I：假如数列nnnzyx,,满足下列条件：

（i）对n

nn

zxyn≤≤?,;（ii）a

zy

nnn

n==∞

→∞

→limlim

那么，数列nx的极限存在，且axn

n=∞

→lim。

证实：由于azynnnn==∞→∞→limlim，所以对0,01>?>?Nε，当1Nn>时，有ε时，有ε时，有εε+-=--=，

所以1coslim1cos2

10

2

=?>ab，有不等式：

nnnbna

bab)1(1

1++

（i）现令nbna1

1,111+=++

=，

明显0>>ab，由于1)1(11)1(=+-++=-+nnnban将其代入，所以nnnn)11()111(1+>+++，所以})1

1{(nn

+为单调数列。

（ii）又令1=a，2

1

)21(1)1(,

211=+-+=-+?+=nnnbannb所以nnnn)211(221)211(1+>??

+>nn

2)21

1(4+>?，即对4,2?,0ε，当NmNn>>,时，有

ε时有nnnyxz≤≤

②limlimn

nnnyza→∞

→∞

==，

则limnnxa→∞

=给定函数(),(),()fxgxhx，

若①当0

0(,)xUxr∈（或

xX

>）时，有()()()gxfxhx≤≤

②00()

()

lim()lim()xxxxxxgxhxA→∞→∞

→→==，则0()

lim()xxxfxA→∞

→=（ii）单调有界准则

给定数列{}nx，若①对nN+

?∈有11()n

nnnx

xxx++≤≥或②()Mm?使对nN+?∈有

()nnxMxm≤≥或则limnnx→∞

存在

若

()fx在点0x的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则0

lim()xxfx-→（或

0lim()xxfx+

→）存在

八．极限的运算法则

（1）若0()

lim()xxxfxA→∞

→=，0()

lim()xxxgxB→∞→=

则(i)0()

lim[()()]xxxfxgxAB→∞

→±=±

(ii)0()

lim[()()]xxxfxgxAB

→∞

→?=?

(iii)0

()

()lim()xxxfxAgxB→∞→=?（0B≠）（2）设（i）

0()lim()xxugxgxu→==且（ii）当0

0(,)xUxδ∈时0()gxu≠（iii）0

lim()uu

fuA→=

则0

lim[()]lim()xxuufgxfuA→→==

九．两个重要极限

（1）

0sinlim1xx

x

→=()0sin()lim1()

uxuxux→=sinlim0xxx∞→=，1limsin1xxx

→∞=，01

limsin0xxx→=（2）1lim1x

xex→∞?

?+=???)

()(1lim1;()xuuxeux→∞??+=???

10

lim(1)x

xxe

→+=()

()0

1()

lim1();vxxvvxe→+=

十．函数的延续性与间断点

定义1：设)(xfy=在0

x的某邻域内有定义，若)()(lim

00

xfxfxx=→，就称函数

)(xfy=在0x点处延续。

注1：)(xf在0x点延续，不仅要求)(xf在0x点故意义，)(lim0

xfxx→存在，而且要)()(lim00

xfxfx

x=→，即极限值等于函数值。

2：若)()0()(lim00

xfxfxfxx=-=-←→，就称)(xf在0x点左延续。若)()0()(lim00

xfxfxfxx=+=+

→，

就称)(xf在0x点右延续。

3：假如)(xf在区间I上的每一点处都延续，就称)(xf在I上延续；并称)(xf为I上的延续函数；若I包含端点，那么)(xf在左端点延续是指右延续，在右端点延续是指左延续。

定义1ˊ：设)(xfy=在0

x的某邻域内有定义，若对0,0>?>?δε，当

δ

?>当0:xxxδ-<时，有0()().fxfxε-<则称函数()yfx=在点0x处延续

设()yfx=在点00(,]xxδ-内有定义，若00lim()()xxfxfx-

→=，则称函数()yfx=在点0x处左

延续，

设()yfx=在点00[,)xxδ+内有定义，若00lim()()xxfxfx+

→=，则称函数()yfx=在点0x处右

延续

若函数()yfx=在(,)ab内每点都延续，则称函数()yfx=在(,)ab内延续

若函数()yfx=在(,)ab内每点都延续，且lim()()xafxfa+

→=，lim()()xbfxfb-

→=，则称函数

()yfx=在[,]ab上延续，记作()[,]fxCab∈

（2）函数的间断点

设()yfx=在点0x的某去心邻域()o

Ux内有定义若函数()yfx=：（i）在点0x处没有定义

（ii）虽然在0x有定义,但0

limxx→f(x)不存在;

(3)虽然在0x有定义且0

limxx→f(x)存在,但0

limxx→f(x)≠f(0x);

则函数f(x)在点0x为不延续,而点0x称为函数f(x)的不延续点或间断点。设点0x为()yfx=的间断点，

（1）000lim()lim()()xxxxfxfxfx+

-

→→?≠，则称点0x为()yfx=的可去间断点，若（2）

00

lim()lim()xxxxfxfx+

-?

→→≠，则称点0x为()yfx=的跳动间断点，

可去间断点与跳动间断点统称为第一类间断点

（3）00lim()lim()xxxxfxfx+

-

→→=∞=∞或则称点0x为()yfx=的无穷型间断点，

（4）若00lim()lim()xxxxfxfx+

-

→→或不存在且都不是无穷大，则称点0x为()yfx=的振荡型间断

点，

无穷间断点和振荡间断点统称为其次类间断点

11、延续函数的运算

（1）延续函数的四则运算

若函数()fx()gx在点0x处延续

则0()

()(),()(),

(()0)()