2023年高等数学-微分方程

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐高等数学——微分方程

第八章常微分方程

一、本章学习要求与内容提要

（一）基本要求

1．了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件与特解等概念.

2．把握可分别变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法.3．了解二阶线性微分方程解的结构.

4．把握二阶常系数齐次线性微分方程的解法.

5．会求自由项为x

mxPλe)(或xxPx

mβαcose

)(，xxPxmβαsine)(时的二阶常系数非

齐次线性微分方程的解.

6.知道特别的高阶微分方程（)()(xfyn=，),(yxfy'=''，),(yyfy'=''）的降阶法.7．会用微分方程解决一些容易的实际问题.重点微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分别变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶线性微分方程的解的结构，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法。

难点一阶微分方程的分别变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，高阶微分方程的降阶法，用微分方程解决一些容易的实际问题.

（二）内容提要

⒈微分方程的基本概念⑴微分方程的定义

①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程.②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只研究常微分方程，简称微分方程.

⑵微分方程的阶、解与通解

微分方程中浮现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.假如把函数

)(xfy=代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解.若微分方

程的解中含有随意常数，且自立的随意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解.

⑶初始条件与特解

用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中随意常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解.

⑷自立的随意常数①线性相关与线性无关

设)(),(21xyxy是定义在区间),(ba内的函数，若存在两个不全为零的数21,kk，使得对于区间),(ba内的任一x，恒有

0)()(2211=+xykxyk

成立，则称函数)(),(21xyxy在区间),(ba内线性相关，否则称为线性无关.

明显，函数)(),(21xyxy线性相关的充分须要条件是

)

()

(21xyxy在区间),(ba内恒为常数.假如

)

()

(21xyxy不恒为常数，则)(),(21xyxy在区间),(ba内线性无关.②自立的随意常数

在表达式)()(2211xyCxyCy+=(1C,2C为随意常数)中,1C,2C为自立的随意常数的充分须要条件为)(1xy,)(2xy线性无关.

2.可分别变量的微分方程⑴定义形如

)()(ddygxfx

y

=的微分方程，称为可分别变量的方程.该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是x的函数，另一个仅是y的函数，即)(),(ygxf分离是变量yx,的已知延续函数.

⑵求解办法可分别变量的微分方程

)()(ddygxfx

y

=的求解办法,普通有如下两步:第一步:分别变量xxfyygd)(d)(=，其次步:两边积分??=xxfyygd)(d)(.

3.线性微分方程⑴一阶线性微分方程

①定义形如

)()(ddxQyxPx

y

=+.的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中)(),(xQxP都是x的已知延续函数，“线性”是指未知函数y和它的导数y'都是一次的.

②求解办法一阶线性微分方程)()(ddxQyxPx

y

=+的求解办法,普通有如下两步:第一步：先用分别变量法求一阶线性微分方程)()(ddxQyxPx

y

=+所对应的齐次线性微分方程0)(dd=+yxPx

y

的通解?=-xxPcCyd)(e.其次步：设?=-xxPxCyd)(e)(为一阶线性微分方程)()(ddxQyxPx

y

=+的解,代入该方程后,求出待定函数)(xC.

第三步:将)(xC代入?=-x

xPxCyd)(e)(中,得所求一阶线性微分方程

)()(ddxQyxPx

y

=+的通解.注重只要一阶线性微分方程是

)()(ddxQyxPx

y

=+的标准形式,则将?

=-x

xPxCyd)(e)(代入一阶线性微分方程后,收拾化简后,必有)(e)(d)(xQxCx

xP=?'-,

该结论可用在一阶线性微分方程的求解过程中,以简化运算过程.

③一阶线性微分方程

)()(ddxQyxPx

y

=+的求解公式??

????+??=?-CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)((其中C为随意常数).⑵二阶常系数齐次线性微分方程

①定义形如

0=+'+''qyypy的微分方程（其中qp,均为已知常数，称为二阶常系数齐次线性微分方程.②求解办法求解二阶常系数齐次线性微分方程,普通分为如下三步:

第一步写出方程0=+'+''qyypy的特征方程02=++qprr，

其次步求出特征方程的两个特征根1r,2r，

第三步按照下表给出的三种特征根的不怜悯形，写出0=+'+''qyypy的通解.

⑶二阶常系数非齐次线性微分方程

①定义形如

)(xfqyypy=+'+''

的微分方程（其中qp,均为已知常数），称为二阶常系数非齐次线性微分方程.②求解办法求解二阶常系数非齐次线性微分方程,普通分为如下三步:

第一步先求出非齐次线性微分方程)(xfqyypy=+'+''所对应的齐次线性微分方程方程0=+'+''qyypy的通解cy;

其次步按照下表设出非齐次线性微分方程)(xfqyypy=+'+''的含待定常数的特解py,并将py代入非齐次线性微分方程)(xfqyypy=+'+''解出待定常数,进而确定非齐次方程)(xfqyypy=+'+''的一个特解py;

第三步写出非齐次线性微分方程)(xfqyypy=+'+''的通解pcyyy+=.

方程)(xfqyypy=+'+''的特解py的形式表

注:表中的)(xPm为已知的m次多项式，)(xQm为待定的m次多项式，如CBxAxxQ++=22)(（CBA,,为待定常数）.

4.二阶线性微分方程解的结构

⑴二阶齐次线性微分方程解的叠加原理

假如函数1y和2y是齐次线性微分方程的两个解，则函数2211yCyCy+=也是方程0)()(=+'+''yxqyxpy的解；且当1y与2y线性无关时，2211yCyCy+=就是方程的通解（其中21,CC是随意常数）.

⑵非齐次线性微分方程解的叠加原理

假如函数py为非齐次线性微分方程)()()(xfyxqyxpy=+'+''的一个特解，cy为齐次线性微分方程0)()(=+'+''yxqyxpy的通解，则pcyyy+=为该非齐次线性微分方程的通解.

⑶非齐次线性微分方程解的分别定理

假如1y是方程)(1xfqyypy=+'+''的解，2y是方程)(2xfqyypy=+'+''的解，则

21yyy+=是方程

)()(21xfxfqyypy+=+'+''

的解.

5.高阶微分方程的降阶法

二、主要解题办法

1．一阶微分方程的解法

例1求微分方程yyxyxyxydddd2

+=+满足条件20=

=xy的特解.

解这是可以分别变量的微分方程，将方程分别变量，有

xxyyyd11

d1

2-=-，

两边积分，得

=-?

yyy

d12

?-xxd11

，

求积分得

121ln1ln2

1

Cxy+-=-，1222)1ln(1lnCxy+-=-，1222e)1(1Cxy-=-，222)1(e11-±=-xyC，

记0e

1

2≠=±CC，得方程的解22)1(1-=-xCy.

可以验证0=C时，1±=y，它们也是原方程的解，因此，式22)1(1-=-xCy中的C可以为随意常数，所以原方程的通解为22)1(1-=-xCy（C为随意常数）.代入初始条件20=

=xy

得3=C，所以特解为22)1(31-=-xy.

例2求微分方程（1）x

yy

y+=

'，（2）xxyyxcose22

=-'的通解.

（1）解一原方程可化为

1dd+=x

y

xy

xy，令xy

u=，则1dd+=+uuxuxu，即xxuuudd12

-=+，两边取积分??-=+xxuuud1d)11(2，积分得

Cxuulnlnln1

-=-，将x

yu=代入原方程，收拾得原方程的通解为y

xCye=（C为随意常数）.

解二原方程可化为

11

dd=-xy

yx为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程

01

dd=-xy

yx，得其通解为yCx=.设yyCx)(=为原方程的解，代入原方程，化简得1)(='yyC，1

ln

)(Cy

yC=，所以原方程的通解为1

lnCyyx

=，即y

xCy

e=（C为随意常数）.

（2）解一原方程对应的齐次方程

02dd=-xyxy分别变量，得xyx

y

2dd=，xxy

y

d2d=，两边积分，得

xxyy

??=d2d，Cxy+=2ln，

)eln(lnelnln2

2

xxCCy=+=，2

exCy=，

用常数变易法.设2

e)(xxCy=代入原方程，得xxCxxcosee)(2

2

='，xxCcos)(='，

CxxxxC+==?sindcos)(，

故原方程的通解为)(sine2

Cxyx+=（C为随意常数）.

解二这里xxP2)(-=，xxQxcose)(2

=代入通解的公式得

)decose(ed2d22?+???=Cxxyx

xxxx

=)decose

(e22

2

Cxxxxx+??

-=)dcos(e2

Cxxx+?=)(sine2

Cxx+（C为随意常数）.

小结一阶微分方程的解法主要有两种：分别变量法，常数变易法.常数变易法主要适用线性的一阶微分方程，若方程能化为标准形式)()(xQyxPy=+'，也可直接利用公式

CxxQyx

xPxxP+??=?-de)((ed)(d)(）求通解.

2．可降阶的高阶微分方程

例3求微分方程123='+''yxyx的通解.解方程中不显含未知函数y，令Py='，xPydd=

''，代入原方程，得1dd23=+Pxx

Px，

31

1ddx

PxxP=+，这是关于未知函数)(xP的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解公式，所以

=)(xP1d1

3d1

de1(e

Cxx

x

xx

x+???-

）=1ln3

lnde1(eCxxxx

+?

-）=1

3d1(1Cxxxx+??）=11

(1Cxx+-）=xCx121+-，由此

xydd=xC

x

121+-，

?+-

=xxCx

yd)1(12

=21ln1

CxCx++，因此，原方程的通解为y=

21ln1

CxCx

++（21,CC为随意常数）.例4求微分方程)1()(22-''='yyy满足初始条件21=

=xy，11-=

'

=xy的特解.

解方程不显含x，令Py='，yPP

ydd=''，则方程可化为)1(dd22

-=yy

PP

P，当0≠P时

yyPPd1

2

d-=，于是21)1(-=yCP.按照21=

=xy

，11-=

'

=xy，知12-='

=yy代入上式，得11-=C，从而得到

xyyd)

1(d2

-=-，积分得211

Cxy+=-，再由21==xy，求得02=C，于是当0≠P时，

原方程满足所给初始条件的特解为

xy=-1

1

，当0=P时，得Cy=(常数)，明显这个解也满足方程，这个解可包含在解xy=-1

1

中.故原方程满足所给初始条件的特解为

xy=-11，即x

y11+=.3．二阶常系数线性齐次微分方程的求解办法例5求微分方程02=+'-''yyay的通解.解原方程对应的特征方程为0122

=+-arr，2

44222

,1-±=aar=12-±aa，

（1）当1>a，即1>a或1-121-+=aar，122--=aar，

故原方程的通解为

x

aax

aaCCy)1(2)1(122ee--

-+

+=.

（2）当1=a，即1=a或1-=a时，特征方程有两个相等的实根arr==21，故原方程的通解为ax

xCCye)(21+=.

（3）当12,11iaar-±=，

故原方程的通解为

)1sin1cos(e2221xaCxaCyax-+-=.

4．二阶常系数线性非齐次微分方程的求解办法例6求微分方程x

xyye4=-''满足初始条件00=

=xy

，10='

=xy的特解.

解对应齐次方程的特征方程为012=-r，特征根12,1±=r．故对应齐次微分方程的通

解为x

xcCCy-+=ee21.

由于1=λ是特征方程的单根，所以设特解为x

Pbxbxye)(10+=，

代入原方程得xxbbb4422022=++，

比较同类项系数得10=b，11-=b，从而原方程的特解为x

Pxxye)1(-=，故原方程的通解为=yx

x

CC-+e

e21xxxe)1(-+，

由初始条件0=x时，0='=yy，得??

?=-=+,2,

021

21CCCC

从而11=C，12-=C.因此满足初始条件的特解为=yx

x

--e

exxxe)1(-+.

例7求微分方程xyyyx

2sine842=+'-''的通解.

解对应的齐次微分方程的特征方程0842

=+-rr，特征根i222,1±=r.于是所对

应的齐次微分方程通解为

)2sin2cos(e212xCxCyxc+=．

为了求原方程xyyyx

2sine

842=+'-''的一个特解,先求xyyy)i22(e84+=+'-''（*）

的特解.因为i22+=λ是特征方程的单根，且1)(=xPm是零次多项式。所以设特解为

xAxy)i22(e+*=，代入原方程，化简得

18])i22([4i8)i44(=+++-++AxAxAAxA,

比较同类项系数，得1i4=A，4

ii41-==

A.所以，方程（*）的特解为

)2sin2(cose4i2xixxyx+-=*=)2sin2cosi(e4

1

2xxxx--,

其虚部即为所求原方程的特解xxyx

P2cose4

12-=.

因此原方程通解为

)sincos(e212xCxCyx+=xxx

2cose4

12-

.小结在设微分方程x

mxPqyypyλe)(=+'+''的特解时，必需注重把特解py设全.

如：2)(xxPm=，那么2120)(bxbxbxQm++=，而不能设20)(xbxQm=.另外，微分方程的特解都是满足一定初始条件的解，上面所求的特解py普通不会满足题设初始条件，因此需要从通解中找出一个满足该初始条件的特解.

5．用微分方程解决实际问题的办法

例8已知某曲线经过点)1,1(，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程.

解设所求曲线方程为)(xfy=，),(yxP为其上任一点，则过P点的曲线的切线方程为)(xXyyY-'=-，

由假设，当0=X时xY=，从而上式成为

11

dd-=-yx

xy.因此求曲线)(xyy=的问题，转化为求解微分方程的定解问题?????

=-=-'=1

1

11xyyx

y，的特解.由公式CxxQyx

xPxxP+??

=?

-de)((ed)(d)(，得)de

)1((e

d1

d1

Cxyx

xx

x+?-?=-

?=Cxxx+-ln，

代入11==xy

得

1=C，故所求曲线方程为)ln1(xxy-=.

例9一质量为m的质点由静止开头沉入液体，当下沉时，液体的反作用力与下沉速度

成正比，求此质点的运动逻辑.

解设质点的运动逻辑为)(txx=.由题意，有

???

????==-===,0dd,0