版数学北师大版必修五课件3.3基本不等式

第三章不等式§3基本不等式1|两个不等式不等式内容等号成立的条件注意重要不等式a2+b2≥①

2ab

当且仅当a=b时,等号成

立a,b可以是任意实数基本不等式②

≥

当且仅当a=b时,等号成

立a,b只能是正实数

称为a,b的③

算术平均数

,

称为a,b的④

几何平均数

.基本不等式又被称为均值不等式.1.已知x、y>0,如果积xy是定值p,那么当x=y时,和x+y有最小值,最小值为⑤

2

.2.已知x、y>0,如果和x+y是定值s,那么当x=y时,积xy有最大值,最大值为⑥

.上述命题可归纳为口诀:积定和最小,和定积最大.运用以上结论求最值要注意下列三个条件:一正:要求各数均为⑦

正数

;二定:要求和或积为⑧

定值

;三相等:要保证具备⑨

等号

成立的条件.2|基本不等式与最值第三章不等式设a>0,b>0,则有

≤

≤

≤

或ab≤

≤

,当且仅当a=b时取等号.3|均值不等式链第三章不等式1.不等式a2+b2≥2ab与

≥

有相同的成立条件.(

✕)提示:a,b∈R,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立;a>0,b>0,有

≥

,当且仅当a=b时,等号成立.2.y=x+

(x>1)的最小值为2.

(

✕)提示:由题意得,y=x+

≥2

=2,当且仅当x=

时取等号,由x=

可得,x=1,不在x>1的范围内,故y=x+

≥2取等号时不成立,所以y=x+

不能取2.判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”.第三章不等式3.两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.(√)提示:设两个正数分别为x,y,则它们的等差中项为

,等比中项为±

,由x>0,y>0可得,

>-

,

≥

(当且仅当x=y时,等号成立).4.已知m>0,n>0,且mn=81,则m+n的最小值为18.

(√)5.当a,b同号时,

+

≥2.

(√)第三章不等式利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以,即“一正,二定,三相等”.

具体理解如下:①“一正”:各项必须都是正值.例如:代数式x+

,当x<0时,绝不能认为x+

≥2,x+

的最小值为2.事实上,当x<0时,x+

=-

≤-2,当x=-1时,x+

取得最大值-2.②“二定”:各项之和或各项之积为定值.例如:已知0<x<

,求(5-2x)x的最大值,需变形为(5-2x)·2x·

,这时2x+(5-2x)=5为定值,且2x>0,5-2x>0,当2x=5-2x,即x=

时,[(5-2x)x]max=

.③“三相等”:必须验证取等号时条件是否成立.1|如何理解基本不等式中等号成立的三个条件第三章不等式例如:函数y=sin2x+

(x≠kπ,k∈Z),满足“正”和“定值”的条件,但要取等号必须有sin2x=

成立,即sin2x=

>1,这是不可能的.在利用基本不等式求最值时以上三个条件必须同时成立,如果其中有一个不成

立,那么就可能得出错误的结果.第三章不等式

已知a,b均为正数,2b+ab+a=30,求函数y=

的最小值.思路点拨思路1:减少变量,代换掉a或b

构造基本不等式

检验三个条件是否同时满足

求最小值.思路2:由已知得a+2b=30-ab

由a+2b≥2·

形成关于

的不等式

求出ab的最大值.第三章不等式解析

解法一:∵2b+ab+a=30,∴a=

,∴ab=

·b=

.∵a>0,b>0,∴0<b<15.令t=b+1,则1<t<16,∴ab=

=-2

+34.∵t+

≥2

=8,∴ab≤18,∴y≥

,当且仅当t=4,即a=6,b=3时,等号成立.∴当a=6,b=3时,函数y=

取得最小值,最小值为

.第三章不等式解法二:由已知条件,得30-ab=a+2b,∵a+2b≥2

,∴30-ab≥2

.令u=

(u>0),则u2+2

u-30≤0,∴0<u≤3

,∴0<

≤3

,即0<ab≤18,∴y≥

,当且仅当

即

时,等号成立.∴y=

的最小值为

.第三章不等式应用基本不等式求最值的关键是凑出“定和”或“定积”以及保证能取到

等号,因此往往采取以下方法技巧:1.常用构造定值条件的技巧变换:(1)加项变换;(2)拆项变换;(3)统一变元;(4)平方后利用基本不等式.2.拆项、添项、配凑等方法常用在求分式型函数的最值中.3.常值代换:这种方法常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y均为正数),求

+

的最小值”和“已知

+

=1(a,b,x,y均为正数),求x+y的最小值”两种类型.2|如何构造条件用基本不等式求最值第三章不等式(1)求函数y=

(x>0)的值域;(2)求函数y=x

(0<x<

)的最大值;(3)已知x>0,y>0,

+

=1,求x+y的最小值.思路点拨(1)变形

构造出积为定值

利用基本不等式求出值域.(2)将x

变形为

构造出和为定值

利用基本不等式求出最大值.(3)构造出积为定值

利用基本不等式求出x+y的最小值.第三章不等式解析

(1)∵x>0,∴y=

=

=

≤

=

,当且仅当x=

,即x=

时取等号,此时ymax=

.又x>0,∴函数y=

(x>0)的值域为

.(2)∵0<x<

,∴2-x2>0,∴y=

≤

=1.当且仅当x2=2-x2,即x=1时,y有最大值1.(3)解法一(“1”的整体代入):∵

+

=1,第三章不等式∴x+y=(x+y)·

=10+

+

.∵x>0,y>0,∴

+

≥2

=6

当且仅当

=

,即y=3x时取等号

.又

+

=1,∴x=4,y=12,∴当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.解法二(降元化归部分分式):由

+

=1,得x=

,∴x+y=

+y=y+

=y+

+1=(y-9)+

+10.∵x>0,y>0,∴y>9.第三章不等式∴(y-9)+

≥2

=6,当且仅当y-9=

,即y=12时取等号,此时x=4.∴当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.解法三(配凑定值):由

+

=1,得9x+y=xy,∴(x-1)(y-9)=9.∵x>0,y>0,∴x-1>0,y-9>0,∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2·

=16,当且仅当x-1=y-9时取等号.第三章不等式又

+

=1,∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.易错警示利用基本不等式求最值时,要特别注意“一正、二定、三相等”这三个条件缺一

不可.在具体题目中,“正数”条件往往易从题设中得到解决,“相等”条件也易

验证确定,而要获得“定值”条件却常常为一个难点,它具有一定的灵活性.第三章不等式在求y=x+

(a≠0)型函数的最值时,若存在x使得x=

成立,且a>0,可考虑使用基本不等式,否则可利用函数y=x+

的单调性来求最值.函数y=x+

(a≠0)的图像和性质如表:3|如何求y=x+ (a≠0)型函数的最值

a>0a<0图像

定义域(-∞,0)∪(0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域(-∞,-2

]∪[2

,+∞)(-∞,+∞)奇偶性奇函数奇函数单调性在(-∞,-

]和[

,+∞)上单调递增;在[-

,0)和(0,

]上单调递减在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增第三章不等式求y=

+

(0<x<π)的最小值.思路点拨思路1:构造基本不等式

求出最小值.思路2:利用单调性求出最小值.第三章不等式解析

解法一:由题得y=

+

=

+

.∵0<x<π,∴0<sinx≤1,∴

≥

,∴y=

+

≥

+

≥2

+

=1+

=

,当且仅当

=

,即sinx