应用随机过程讲义一

应用随机过程讲义一第一页，共八十二页，编辑于2023年，星期六学习要求不仅是掌握知识，更重要的是掌握思想学会把抽象的概率和实际模型结合起来第二页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/282学习重点用随机变量表示事件及其分解——基本理论全概率公式——基本技巧数学期望和条件数学期望——基本概念第三页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/283第一讲

第四页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/284随机事件与概率

随机试验第五页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/285要点：在相同条件下，试验可重复进行；试验的一切结果是预先可以明确的，但每次试验前无法预先断言究竟会出现哪个结果。第六页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/286样本点

对于随机试验E，以ω表示它的一个可能出现的试验结果，称ω为E的一个样本点。

样本空间

样本点的全体称为样本空间，用Ω表示。Ω＝{ω}第七页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/287随机事件粗略地说，样本空间Ω的子集就是随机事件，用大写英文字母A、B、C等来表示。

事件的关系与运算

第八页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/288第九页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/289第十页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2810示性函数是最简单的随机变量用随机变量来表示事件第十一页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2811用示性函数的关系及运算来表示相关事件的关系及运算第十二页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2812公理化定义集类第十三页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2813第十四页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2814概率第十五页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2815第十六页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2816第十七页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2817概率是满足非负性；归一性；可列可加性；的集函数。可测集粗略地说，可以定义长度（面积、体积）的点集即为可测集；反之称为不可测集。第十八页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2818概率的性质1.

2.3.有限可加性

第十九页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/28194.

5.6.

第二十页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/28207.8.可列次可加性9.概率连续性第二十一页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2821这部分的详细讨论可以参见

《随机数学引论》

林元烈，清华大学出版社第二十二页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2822Buffon试验：最早用随机试验的方法求某个未知的数。测度：满足非负性、可列可加性的集函数。第二十三页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2823第二十四页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2824实际上，设集类以上集类和A生成相同的σ-代数,都是上面提到的一维Borelσ-代数，即第二十五页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2825直观地说，中包含一切开区间，闭区间，半开半闭区间，半闭半开区间，单个实数，以及由它们经可列次并交运算而得出的集类。第二十六页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2826第二十七页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2827

第二十八页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2828第二十九页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2829第三十页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2830事件的独立性第三十一页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2831

几个事件的独立性第三十二页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2832第三十三页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2833第三十四页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2834第三十五页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2835比较甲乙两人的结果，从以上结果可以得到什么结论？第三十六页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2836机遇偏爱有心人！第三十七页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2837

一次成功的概率只有2％，是典型的小概率事件；但重复次数足够多，如n=400，至少一次成功就是大概率事件！

第三十八页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2838只要功夫深，铁杵磨成针！第三十九页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2839随机变量定义解释第四十页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2840离散型随机变量的示性函数表示法

这说明对于任一d.v.r.，总可以分解为互不交的事件的示性函数的迭加。第四十一页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2841随机变量等价定义分布函数第四十二页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2842连续型随机变量的概率密度函数微元法求概率密度函数第四十三页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2843二维随机变量的分布函数二维Borel-σ代数由平面上矩形的全体生成的σ－代数第四十四页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2844联合密度函数亦可用微元法求第四十五页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2845常用随机变量的分布（列出,期望方差）两点分布正态分布二项分布指数分布Poisson分布均匀分布几何分布二维正态分布第四十六页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2846两点分布若r.v.X只取1和0两个值，且则称r.v.X服从参数为p的两点分布。简记为：X~B(1,p).即EX=p,DX=p(1-p)第四十七页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2847EX=np,DX=np(1-p)EX=1/p,DX=(1-p)/p2第四十八页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2848EX=λ,DX=λEX=(a+b)/2,DX=(b-a)2/12第四十九页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2849EX=1/λ,DX=1/λ2EX=μ,DX=σ2第五十页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2850二维正态分布的优良性质

X,Y相互独立X,Y不相关第五十一页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2851随机变量的数字特征及条件数学期望第五十二页，共八十二页，编辑于2023年，星期六数学期望（复习）

“加权平均”为了引出一般随机变量的定义，我们先介绍R-S积分的概念。第五十三页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2853黎曼－斯蒂尔吉斯积分第五十四页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2854任分任取求和取极限第五十五页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2855第五十六页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2856在定义了R-S积分之后，我们可以将所有随机变量的数学期望形式进行统一。第五十七页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2857第五十八页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2858数学期望的性质（E|Xi|<∞）第五十九页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2859

交换求和顺序第六十页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2860同理，对连续型随机变量有相似的结论成立第六十一页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2861第六十二页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2862第六十三页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2863第六十四页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2864第六十五页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2865Chebyshev不等式第六十六页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2866

条件数学期望第六十七页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2867第六十八页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2868第六十九页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2869用示性函数的线性组合表示离散型随机变量（见前面“随机变量”部分）第七十页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2870例：将概率运算纳入求期望运算的范畴第七十一页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2871理解E(X|Y)是ω的函数，也是Y(ω)的函数，即Y(ω)取值不同，E(X|Y)也取相应的值；当Y是离散型随机变量时，E(X|Y)也是离散型随机变量。第七十二页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2872第七十三页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2873推广至一般随机变量第七十四页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2874将x替换成X第七十五页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2875求条件数学期望的一般步骤先写出固定条件(如Y=yj)的情况下X的条件分布律或条件密度函数；根据条件数学期望的定义，通过求和或积分得到条件下的数学期望；将条件(Y=yj)替换成一般情况下的随机变量(Y)第七十六页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2876条件数学期望的性质设E(Y),E(Xi|Y),E(h(Y)),E{g(X)h(Y)}存在，则(重要!)全期望公式第七十七页，共八十二页，编辑于2023年，星期六2023/5/2877第七十八页，共八十二页，编辑于2023年，星