数值分析复习题要答案

第一章1、ln2＝0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？ 解精确到10－3＝0.001，即绝对误差限是e＝0.05％，故至少要保留小数点后三位才可以。 ln2≈0.693。2、设均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算，的绝对误差限解：记 则有 所以 3、一个园柱体的工件,直径d为10.250.25mm,高h为40.001.00mm,则它的体积V的近似值、误差和相对误差为多少。解：第二章：1、分别利用下面四个点的Lagrange插值多项式和Newton插值多项式N3(x)，计算L3(0.5)及N3(-0.5)x－2－101f(x)－1102解：(1)先求Lagrange插值多项式（1分）， （2分） （2分） （2分） （2分） （1分）所以 （1分）(2)再求Newton插值多项式列均差表如下：所以 （2分） （1分）2、求过下面四个点的Lagrange插值多项式L3(x)和Newton插值多项式N3(x)。x－2－101f(x)－211－1）解：（1）L3(x)=lo(x)yo+l1(x)y1+l2(x)y2+l3(x)y3 （1分）得出 （2分） （2分）（2分）（2分）∴（1分）（2）（1分）4、利用复合Simpson公式S4计算积分（取小数点后4位）。解： （2分），，，，，，，， （9分） （4分）第五章：1、利用列主元消去法求解线性方程组（计算过程保留到小数点后四位）.解：（1分）（2分）（2分）（2分）回代解得，， （1分）2、用矩阵的LU分解法解方程组解：设 （1分） （4分）LUX=b其中设UX=y，则Ly=b （2分）∴y=(2,－1,1)TUX=y (2分)∴x=(0,－2,1)T （1分）5.用追赶法解三对角方程组Ax=b，其中

解：用解对三角方程组的追赶法公式计算得

6.用平方根法解方程组解：用分解直接算得

由及求得

第六章：1、用Gauss-Seidel迭代法求解方程组，取初值，写出Gauss-Seidel迭代格式，求出，，计算，并根据原方程组的系数矩阵说明该迭代格式是否收敛．2、对方程组（1）写出其Jacobi迭代格式，并据迭代矩阵的范数，说明该迭代格式收敛。（2）写出题中方程组的Seidel迭代格式，取，迭代求出，，。（1）解：其Jacobi迭代格式为：（5分）（6分）＜1 （2分）∴收敛 （1分）（2）解：其Seidle迭代格式为： （5分）TT （2分）T （2分）T （1分）3．对方程组（1）写出其Jacobi迭代格式，并根据迭代矩阵的范数，说明该迭代格式收敛。（2）写出Seidel迭代格式，取，迭代求出；计算。解：(1)其Jacobi迭代格式为 （5分）迭代矩阵为 （2分）＜1 （2分）所以Jacobi迭代格式收敛 （1分）(2)其Seidel迭代格式为： （5分）将代入得（3分）所以（2分）5.用SOR方法解方程组(取ω=1.03)

精确解，要求当时迭代终止.解：用SOR方法解此方程组的迭代公式为

取，当时，迭代5次达到要求

第七章1．利用牛顿迭代法求方程的近似根，取初值进行计算，使误差不超过10－3．解：牛顿迭代格式为： （1分）；利用牛顿迭代法求解，将代入，得（1分），（1分）（1分），（1分）所以取 （2分）2、求方程在[1.5，2]内的近似解：取x0=2，用Newton迭代法迭代三次，求出x≈x3。解：牛顿迭代法公式 （1分）， （1分）Newton迭代公式：∴ （3分）x0=2代入x1=1.870967742（1分）x2=1.855780702（1分）x3=1.855584561（1分）x≈x3=1.85558（2分）第九章:1、应用Euler方法计算积分在点x=0.5,1,1.5,2时的近似值.2、用改进的Euler公式，求初值问题在x1=0.1，x2=0.2，x3=0.3三点处的数值解（即当x0=0，y0=1，h=0.1时，求出y1，y2，y3）解：改进的欧拉公式： （2分）初值x0=0，y0=1 （2分）x0=0，y0=1，yp=1.1 （3分）x1=0.1，y1=1.1+0.05[1+1.2]=1+0.11=1.11yp=1.231 （3分）x2=0.2，y2=1.24205yp=1.38625 （3分）x3=0.3，y3=1.39846525 （2分）3、用改进的Euler公式，求初值问题在x1=0.2，x2=0.4，x3=0.6三点处的数值解（即当x0=0，y0=0，h=0.2时，求出y1，y2，y3）。解：改进的欧拉公式：（3分）将代入得（2分）当x0=0，y0=0时，yp=0.2 （2分）x1=0.2，y1=0.26，（2分）yp=0.604 （1分）x2=0.4，y2=0.5928，（2分）yp=1.10991 （1分）x3=0.6，y3=1.23344 （2分）4、用欧拉方法求解常微分方程初值问题，取h=0.2，计算精确到4位小数．xkyk000.20.20000.40.37630.60.49210.80.54231.00.54665、微分方程初值问题，用改进的欧拉方法求的近似值，（即h=0.2，计算二步）,并与准确解:比较．计算精确到4位小数．xkykY(xk)0１1.00000.20.83600.83330.40.71760.71436、已知初值问题：，取步长h=0.1，（1）用（显式的）Euler方法求解上述初值问题的数值解；（2）用改进的Euler方法求上述初值问题的数值解。（14分）解：1.建立具体的Euler公式:3分已知，则有：