人教A选修复数的几何意义

1．理解复数与复平面内的点之间的一一对应关系，掌握复数的几何意义．2．能够进行复数模的计算．本节重点：1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系．2．掌握实轴、虚轴、模等概念．3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．本节难点：1.在复平面内求点的轨迹等问题．2．对复数几何意义的理解．数和形的有机结合，是把复数问题转化为几何问题的重要途径之一，在学习过程中要认真体会数形结合思想在本章学习中的重要性．1．复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做

，y轴叫做

，实轴上的点都表示实数，除了

外，虚轴上的点都表示纯虚数．实轴虚轴原点2．复数与点、向量间的对应如图，在复平面内，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用点

或向量

表示．Z(a，b)复数z＝a＋bi(a，b∈R)与点Z(a，b)和向量O的一一对应关系如下：[例1]在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上．分别求实数m的取值范围．[解析]

复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.(1)由题意得m2－m－2＝0.解得m＝2或m＝－1.[点评]复数的几何意义包含两种：(1)复数与复平面内点的对应关系：每一个复数和复平面内的一个点一一对应，两者联系：复数的实部、虚部分别是对应点的横坐标、纵坐标，从而讨论复数对应点在复平面内的位置，关键是确定复数的实、虚部，由条件列出相应的方程(或不等式组)．(2)复数与复平面内向量的对应关系：当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系，借助平面向量的有关知识，可以更好的理解复数的相关知识．本例中的复数Z对应的点在单位圆上时，试求m应满足的关系式．[解析]

当点Z在圆x2＋y2＝1上时，有(m2－m－2)2＋(m2－3m＋2)2＝1，化简得：2m4－8m3＋10m2－8m＋7＝0.[分析]

由题目可获取以下主要信息：①z1，z2均已知；②求|z1|、|z2|，并比较模的大小．解答本题可先确定复数的实、虚部，再代入公式即可．[例3]已知复数z＝3＋ai，且|z|＜4，求实数a的取值范围．[分析]

由题目可获取以下主要信息：①已知复数及其模的范围；②求复数虚部的取值范围．解答本题可利用模的定义转化为实数不等式求解或利用数形结合思想求解．[点评]

1.本例中的方法一，利用模的定义，得到关于a的不等式同利用复数相等的充要条件一样，都贯彻了复数问题实数化的思想，这是本章的一种重要思想方法．2．从几何意义上理解，复数的模表示点Z到原点的距离，类比向量的模，可进一步引申：|z－z1|表示点Z到点Z1之间的距离，如|z－i|＝1表示点Z到(0,1)之间的距离为1，所以点Z的轨迹是以(0,1)为圆心，以1为半径的圆．(1)已知向量

与实轴正向的夹角为45°，向量

对应的复数z的模为1，求z.(2)若z＋|z|＝2，求复数z.(2)∵z＋|z|＝2，∴z＝2－|z|∈R，∴当z≥0时，|z|＝z，∴z＝1，当z＜0时，无解，∴z＝1.[例4]求适合下列条件的复数z在复平面上表示的图形．(1)2≤|z|<3；(2)z＝x＋yi，x<0，y>0，且x2＋y2<9.[点评]复数的几何意义实现了数与形的相互转化，使复数在平面问题中得到广泛的应用．[例5]已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是(

)A．1个圆 B．线段C．2个点 D．2个圆[误解]

由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1，故选D.[辨析]

错解中忽视了“|z|”的几何意义是“点Z到坐标原点的距离”导致错误.

[正解]由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1.∵|z|≥0，∴|z|＝－1应舍去，故应选A.一、选择题1．在下列结论中正确的是 (

)A．在复平面上，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴B．任何两个复数都不能比较大小C．如果实数a与纯虚数ai对应，那么实数集与纯虚数集是一一对应的D．－1的平方根是i[答案]

A[解析]

两个虚数不能比较大小排除B，当a＝0时，ai是实数排除C，－1的平方根是±i排除D，故选A.2．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i

(a、b∈R)为纯虚数的充要条件是(

)A．|a|＝|b|

B．a<0且a＝－bC．a>0且a≠b D．a>0且a＝±b[答案]

D[解析]

a2－b2＝0，且a＋|a|≠0.[答案]

A[解析]

(x－1)2＋(2x－1)2<10.二、填空题4．设复数z的模为17，虚部为－8，则复数z＝______.[答案]

±15－8i5．已知|z|＝3，且z＋3i是