【2022届高考数学一轮复习】《幂函数一次函数及二次函数》

-1-第6讲幂函数、一次函数及二次函数1．了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝

的图象，了解幂函数图象的变化情况．2．掌握一次函数、二次函数的图象及性质．-1-基础自查1．幂函数的概念我们把形如y＝

的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数y＝xα的性质

(1)图象都过点．

(2)当α>0时，在第一象限内，函数的图象随x的增大而

，函数在区间

(0，＋∞)内是单调

函数；当α<0时，在第一象限内，函数的图象随x的增大而

，函数在区间(0，＋∞)内是单调

．xα(1,1)上升增下降减函数-1-3．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的性质一次函数的图象是

．当

时，函数在(－∞，＋∞)内是单调

函数；当

时，函数在(－∞，＋∞)内是单调

函数．4．二次函数的解析式的三种形式(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；

(3)两根式：

，5．二次函数的图象及性质二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条

，对称轴方程为

，顶点坐标是.一条直线k>0增k<0减y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)抛物线x＝－-1--1-联动思考想一想：幂函数与指数函数有何不同？答案：本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量是底数，指数函数的自变量是指数．议一议：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在R上大于零恒成立，那么其最小值大于零与判别式之间有关系吗？答案：二者是一致的．∵二次函数y＝ax2＋bx＋c在R上大于0恒成立，即∴即判别式小于0，实质为开口向上的抛物线与x轴无交点，二者是一致的．-1-联动体验1．若y＝(m－1)

是一次函数，则m＝________.

解析：由得m＝2.

答案：22．若二次函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝________.

答案：－13．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为

________．解析：根据幂函数的定义和性质易得x＝1,3时，定义域为R且为奇函数．答案：1,34．f(x)＝2x2＋4x＋3的单调递减区间是________．答案：(－∞，－1]-1-5．若幂函数f(x)的图象经过点，则其定义域为________．解析：设f(x)＝xα，∵图象过点，∴＝3α，即3－2＝3α，∴α＝－2，即f(x)＝x－2＝，∴x2≠0，即x≠0，其定义域为{x|x∈R，且x≠0}．答案：{x|x∈R，且x≠0}

-1-考向一幂函数的概念【例1】已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．-1-(2)由题知即m＝－时，f(x)为反比例函数．(3)由题知

即当m＝－1时，f(x)为二次函数．(4)由题知，m2－m－1＝1，m＝－1或m＝2，所以当m＝－1或2时，f(x)为幂函数．反思感悟：善于总结，养成习惯幂函数是指形如y＝xα(α∈R)的函数，它的形式非常严格，必须完全具备这种形式的函数才是幂函数．-1-迁移发散1．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．-1-考向二幂的大小比较-1-反思感悟：善于总结，养成习惯解决比较大小问题一般要利用函数的单调性(1)当两个幂的指数相同时，可利用幂函数的单调性来作比较；(2)当两个幂的底数相同，指数不同时，可借助指数函数的单调性．(3)当不便利用单调性时，可与0或1进行比较，这种方法叫“搭桥”法．答案：b>a>c-1-考向三二次函数-1-反思感悟：善于总结，养成习惯运用二次函数解决相关问题，应从以下三个方面建立不等式：(1)二次函数的图象与x轴交点情况．即判断判别式Δ的正负．(2)二次函数的图象的对称轴的位置与给定范围的关系．(3)端点函数值的正负．迁移发散3．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c与一次函数g(x)＝－bx，其中a、b、c满足a>b>c且a＋b＋c＝0(a，b，c∈R)．(1)求证：两函数图象交于不同的两点；(2)对于(1)中的两个交点A、B.求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围．(1)证明：联立y＝－bx与y＝ax2＋bx＋c，消去y得ax2＋2bx＋c＝0.由a＋b＋c＝0及a>b>c知a>0，c<0.∴Δ＝4b2－4ac＝4(a＋c)2－4ac＝4(a－c)2≥0.∴两函数图象交于不同的两点

-1--1-课堂总结感悟提升1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底数x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．2．在(0,1)上，幂函数中指数愈大，函数图象愈靠近x轴(简记为“指大图低”)；在

(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．3．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．4．利用幂函数的图象和性质可处理比较大小、判断复合函数的单调性及在实际问题中的应用等题型．进一步培养学生的数形结合、分类讨论等数学思想和方法．5．用待定系数法求二次函数解析式：