【人教数学A版选修】《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)》

1．2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)学习目标1.能利用导数的四则运算法则求解导函数．2．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．

课堂互动讲练知能优化训练课前自主学案1.2.2（二）课前自主学案温故夯基1．若f(x)＝sinx，则f′(x)＝______；2．若f(x)＝cosx，则f′(x)＝______；3．若f(x)＝logax，则f′(x)＝______；4．若f(x)＝lnx，则f′(x)＝_______.cos

x－sinx1．导数运算法则已知f(x)，g(x)的导数存在，则：(1)[f(x)±g(x)]′＝___________________；(2)[f(x)·g(x)]′＝________________________；知新益能f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)2．复合函数的求导法则一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的__________，记作y＝f(g(x))．复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于______________与_____________的乘积．复合函数y对u的导数u对x的导数若复合函数y＝f(g(x))由函数y＝f(u)，u＝g(x)复合而成，则函数y＝f(u)，u＝g(x)的定义域、值域满足什么关系？提示：在复合函数中，内层函数u＝g(x)的值域必须是外层函数y＝f(u)的定义域的子集．问题探究课堂互动讲练考点一求函数的导数考点突破解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．例1【思路点拨】观察各函数的结构特征，利用导数公式，先变形，再求导．【解】

(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′＝5x4－9x2－10x.(2)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9.法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，∴y′＝18x2－8x＋9.考点二复合函数的导数求复合函数的导数处理好以下环节：(1)中间变量的选择应是基本函数结构；(2)关键是正确分析函数的复合层次；(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；(4)善于把一部分表达式作为一个整体；(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．例2【思路点拨】要明确中间变量u所表示的关系．【思维总结】利用复合函数求导法则求复合函数的导数的步骤：(1)分解复合函数为基本初等函数，适当选取中间变量；(2)求每一层基本初等函数的导数；(3)每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数．考点三曲线的切线方程利用导数的几何意义解决切线问题的关键是判断已知点是否是切点．若已知点是切点，则该点处的切线斜率就是该点处的导数；如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．例3

已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．【思路点拨】题中涉及三个未知量，已知三个独立条件，因此，要通过解方程组来确定a、b、c的值．【思维总结】本题巧妙地利用导数的几何意义，即切线的斜率建立了未知参数的方程，使问题轻松解决．另外，本题还考查了导数的公式，点和曲线的位置关系等知识．变式训练3已知抛物线f(x)＝ax2＋bx－7经过点(1,1)，且在点(1,1)处的抛物线的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值．方法技巧方法感悟2．求简单复合函数f(ax＋b)的导数求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后再分别对y＝f(u)与u＝ax＋b分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形式是关键．失误防范1．要明确两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的