【2022高考数学一轮复习】1双曲线

1第三课时双曲线第十一章集合与常用逻辑

1.双曲线的定义

(1)第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线，即当

。

时，点P的轨迹为双曲线.

当||PF1|-|PF2||=2a>|F1F2|时

，点P的轨迹

；当||PF1|-|PF2||=2a=|F1F2|时，点P的轨迹为

.2||PF1|-|PF2||=以F1、F2为端点的两条射线2a<|F1F2|不存在

(2)第二定义：

。

。

.

3平面内到定点F与定直线l(定点F不在定直线l上)的距离之比是常数e(e＞1)的点的轨迹为双曲线；

2.双曲线的标准方程与几何性质4标准方程性质焦点(c,0),(-c,0)(0,c),(0,-c)焦距2c范围|x|≥a,y∈R|y|≥a，x∈R续表5标准方程性质顶点(a,0),(-a,0)(0，-a),(0,a)对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率e=∈（1,+∞）准线渐近线

与双曲线

共渐近线的双曲线系方程为

；

等轴双曲线x2-y2=±a2的渐近线方程为

，离心率为

.6y=±xe=21.已知F1(-3，0)，F2(3，0)，且|PF1|-|PF2|=6，则动点P的轨迹是（）A.双曲线B.双曲线的左支C.一条射线D.双曲线的右支7C2.若点P是以F1，F2为焦点的双曲线上的一点，且|PF1|=12，则|PF2|=（）A.2

B.22C.2或22

D.4或228C3.已知方程的图象是双曲线，那么k的取值范围是（）A.k＜1

B.k＞2C.k＜1或k＞2

D.1＜k＜2

依题意只需(2-k)(k-1)＜0即可，所以k＜1或k＞2.9C4.若双曲线的离心率为2，则它的两条渐近线方程为

.

因为e=2，即1+

=4，所以所以渐近线方程为10

5.如果双曲线经过点(6，3)，且它的两条渐近线方程是y=±

x，那么该双曲线的方程是

.

依题意设双曲线的方程y2-

x2=λ.将点(6，3)代入方程，得λ=-1.故所求双曲线的方程为111.双曲线的标准方程(1)与圆A：(x+5)2+y2=49和圆B：(x-5)2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为_________________.(2)设动点P和两定点A(0,-2),B(0,2).若|PA|-|PB|=4，则点P的轨迹方程是________.若|PA|-|PB|=2，则P点的轨迹方程是___________________.12x=0(y≥2)(3)过双曲线的焦点作垂直于x轴的弦AB，则|AB|=____.2.双曲线的几何性质(1)过点A(0，2)可以作___条直线与双曲线有且只有一个公共点.134(2)若双曲线上一点P到右准线的距离为则点P到左准线的距离为__;点P到右焦点的距离为_____.(3)以双曲线右支上一点为圆心且经过右焦点的圆必与双曲线的右准线_____.(填“相离”“相切”或“相交”)147相交题型1：双曲线的定义

已知动圆M与圆C1：(x+4)2+y2=2外切，与圆C2：(x-4)2+y2=2内切，求动圆M的圆心M的轨迹方程.15

如图，设动圆M的半径为R，则|MC1|-R=

，R-|MC2|=

.所以|MC1|-|MC2|=2，即动点M的轨迹是以C1和C2为焦点的双曲线的右支.设动圆圆心M的轨迹方程为=1（a,

b＞0，x＞0），则2a=2

,2c=|C1C2|=8，所以b2=42-(

)2=14.所以动圆M的圆心M的轨迹方程是【评注】双曲线有两支，分析具体问题时要注意是一支还是两支.16（x＞0）.过双曲线x2-y2=8的左焦点F1的一条弦PQ交左支于P、Q点，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是（

）A.28

B.14-8

C.14+8

D.8

17C

如图，易知|PF2|-|PF1|=2a=4

，|QF2|-|QF1|=2a=4

，所以|PF2|=4

+|PF1|，|QF2|=4

+|QF1|，18

所以△PF2Q的周长为|PF2|+|QF2|+|PQ|=8

+2|PQ|=8

+14.题型2：双曲线的标准方程

(1)已知焦点F1(5，0)，F2(-5，0)，双曲线上的一点P到F1，F2的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程；(2)求与椭圆

共焦点且过点(3

，)的双曲线的标准方程.19

(1)因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为(a＞0,b＞0).因为2a=6，2c=10，所以a=3,c=5,所以b2=52-32=16.所以所求双曲线的方程为20(2)椭圆

的焦点为(2

，0)，(-2

，0).设双曲线的方程为

，则a2+b2

=20.

①又因为双曲线过点(3

，)，所以

②由①②得a2=20-2

，b2=2

，所以所求双曲线的标准方程为21【评注】第（1）问依据双曲线的定义即可求解；第（2）问由已知椭圆的方程确定双曲线的焦点，再找到基本量a,b,c之间的关系即可获解.22已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P1，P2的坐标分别为(3，-4)，(，

因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为

=1(a＞0,b＞0).

(*)因为点P1，P2在双曲线上，所以点P1，P2的坐标适合方程(*).235)，则该双曲线的标准方程为

.将P1(3，-4)，P2(，5)分别代入方程(*)中，24得方程组将

和

看作整体，故该双曲线的标准方程为25a2=16b2=9解得，所以.题型3：双曲线的几何性质

（2009·江西卷）设F1和F2为双曲线（a>0,b>0）的两个焦点，若F1,F2,P（0,2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）A.

B.2

C.

D.326B解析：依题意得，所以3c2=4b2=4(c2-a2)，即c2=4a2,得【评注】双曲线问题中，“c2=a2+b2”是一个恒等式，也是一个隐含条件，在求离心率等相关问题时要会灵活运用.27（2009·四川卷）已知双曲线

=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y=x，点P（3，y0）在该双曲线上，则PF1·PF2=（

）A.-12

B.-2C.0

D.428C解析：渐近线为y=x的双曲线的方程为x2-y2=2,则F1（-2,0）,F2（2,0）.因为P（

,y0）在该双曲线上，所以y0=±1,不妨取P（3,1），则所以29题型4：双曲线的综合应用已知双曲线C：=1（a＞0,b＞0）的右焦点为F，过F且斜率为3的直线交双曲线C于A、B两点.若，则双曲线C的离心率为（）A.

B.

C.

D.

30A设双曲线C：的右准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D.由直线AB的斜率为，知直线AB31的倾斜角为60°,所以∠BAD=60°,所以由双曲线的第二定义有又因为所以所以【评注】本题中涉及的直线过双曲线的焦点且又是求离心率，故容易联想到双曲线的第二定义，并通过数形结合得到关于离心率的方程.32已知等轴双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，且过点P(4，-).(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：33

(1)设等轴双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0).因为该双曲线过点P(4，-

)，所以42-10=λ，所以λ=6.所以双曲线的方程为x2-y2=6.34

(2)明：由(1)知又M(3，m)，所以所以因为点M(3，m)在双曲线上，所以32-m2=6，即-3+m2=0.所以351.注重双曲线的定义及标准方程，明确性质c2=a2+b2，抓住离心率e=、渐近线方程，结合几何图形中的几何性质，充分运用数形结合思想解决有关问题.2.双曲线相关问题，如中点弦、弦长、与直线的位置关系等，牢牢抓住方程组思想、消元法、根与系数关系、弦长公式等方法.36

3.熟悉一些特殊双曲线：

(1)等轴双曲线：双曲线x2-y2=±a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y=±x，离心率e=

.

(2)共渐近线的双曲线系方程：

(λ≠0)的渐近线方程为=0;如果双曲线的渐近线为=0，则双曲线方程可设为=λ(λ≠0).37=λ1.（2009·全国卷Ⅱ）双曲线的渐线线与圆（x-3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A.

B.2C.3

D.638A2.（2009·湖北卷）已知双曲线=1的准线经过椭圆=1（b>0）的焦点，则b=（）A.3