第04讲函数的应用（一）（原卷版）

第4讲函数的应用（一）(重点题型方法与技巧)目录重点题型一：二次函数模型的应用重点题型二：分段函数模型的应用重点题型三：利用对钩函数求最值或值域重点题型四：恒成立（能成立）问题重点题型五：双变量问题重点题型六：新定义问题重点题型一：二次函数模型的应用典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米．(1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？(2)若围成的矩形的面积为平方米，当为何值时，有最大值，最大值是多少？例题2．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高二期末（文））首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似的表示为，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？同类题型演练1．（2022·全国·高一课时练习）重庆朝天门批发市场某服装店试销一种成本为每件元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于成本的.经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合函数，且时，；时，.（1）求函数的解析式；（2）若该服装店获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，服装店可获得最大利润，最大利润是多少元？2．（2022·全国·高一课时练习）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似表示为，已知此生产线年产量最大为210吨，若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？重点题型二：分段函数模型的应用典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产千台空调，需另投入资金万元，且.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.(1)求2022年该企业年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式；(2)2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.例题2．（2022·山西现代双语学校南校高二期中）某企业为抓住环境治理带来的历史性机遇，决定开发生产一款大型净水设备．生产这款设备的年固定成本为万元，每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足台时，万元，当年产量不少于台时，万元．若每台设备的售价为万元，经过市场分析，该企业生产的净水设备能全部售完．(1)求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；(2)年产量为多少台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？例题3．（2022·浙江金华第一中学高一开学考试）某店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映；调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件，售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润，现将商品售价调整为（元/件）（即售价上涨，即售价下降），每月商品销量为（件），月利润为（元）.(1)直接写出与之间的函数关系式；(2)当销售价格是多少时才能使月利润最大？求最大月利润？(3)为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？同类题型演练1．（2022·河南·濮阳一高高一期中（文））今年，我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.(1)求2023年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式；(2)2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？2．（2022·陕西·大荔县教学研究室高一期末）某地政府为增加农民收入，根据当地地域特点，积极发展农产品加工业，经过市场调查，加工某农品需投入固定成本2万元，每加工万千克该农产品，需另投入成本万元，且.已知加工后的该农产品每千克售价为6元，且加工后的该农产品能全部销售完.(1)求加工该农产品的利润（万元）与加工量（万千克）的函数关系；(2)当加工量小于6万千克时，求加工后的农产品利润的最大值.3．（2022·辽宁·辽阳市第一高级中学高二期末）2021年，小林经过市场调查，决定投资生产某种电子零件，已知固定成本为6万元，年流动成本（万元）与年产品产量x（万件）的关系为，每个电子零件售价为12元，若小林加工的零件能全部售完．(1)求年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；(2)求当年产量x为多少万件时年利润最大？最大值是多少？重点题型三：利用对钩函数求最值或值域典型例题例题1．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知，则的最大值是_________【错解】##，故答案为：.例题2．（2022·全国·高一课时练习）函数的最小值为______.【错解】4【详解】，所以的最小值为4，故答案为：4点评，在例题1,2中，错解主要使用基本不等式，基本不等式使用时一定要满足一正，二定，三相等，例题1,2中都不满足“三相等”这个条件，从而造成错解，此时应改用对钩函数解题.重点题型四：恒成立（能成立）问题典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的定义域为全体实数.(1)求的解析式；(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.例题2．（2022·浙江衢州·高二阶段练习）已知函数.(1)当时，写出的单调区间（不需要说明理由）；(2)若存在，使得，求实数的取值范围.同类题型演练1．（2022·重庆·高一期末）已知函数．(1)判断的奇偶性；(2)若当时，恒成立，求实数的取值范围．重点题型五：双变量问题典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知______，且函数.①函数在定义域上为偶函数；②函数在上的值域为.在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出，的值，并解答本题.(1)判断的奇偶性，并证明你的结论；(2)设，对任意的R，总存在，使得成立，求实数的取值范围.例题2．（2022·全国·高一期中）已知函数的定义域为，且，，当且时恒成立．(1)判断在上的单调性；(2)解不等式；(3)若对于所有，恒成立，求的取值范围．例题3．（2022·山东·济南市历城第二中学高一开学考试）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．(1)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；(2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的范围．例题4．（2022·全国·高一课时练习）已知函数有如下性质：若常数，则该函数在上单调递减，在上单调递增．(1)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；(2)对于（1）中的函数和函数，，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值．同类题型演练1．（2022·广东汕尾·高一期末）已知函数．(1)根据函数单调性的定义，证明在区间上单调递减，在区间上单调递增；(2)令，若对，，都有成立，求实数的取值范围．2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数.(1)求证：函数在区间上是单调增函数；(2)若对，满足不等式成立，求实数的取值范围.3．（2022·全国·高一单元测试）已知函数满足．(1)求的解析式，并求在上的值域；(2)若对，且，都有成立，求实数k的取值范围．4．（2022·湖北·高一期末）已知函数f(x)＝x2－4x＋a，g(x)＝ax＋5－a．(1)若函数y＝f(x)在区间[－1，0]上存在零点，求实数a的取值范围；(2)若对任意的x1∈[-1，3]，总存在x2∈[-1，3]，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．5．（2022·福建省龙岩第一中学高一阶段练习）已知函数对任意实数､恒有f（x+y）=f（x）+f（y），当时，，且.(1)判断的奇偶性；(2)证明函数单调性并求在区间上的最大值；(3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围.重点题型六：新定义问题例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，利用函数图象解决下列问题．(1)若，试比较与的大小．(2)若函数在区间D上的值域也为D，则称函数具有较好的保值性，这个区间称为保值区间，保值区间有三种形式：，，．试问是否具有较好的保值性？若具有，求出保值区间．例题2．（2022·全国·高一课时练习）若存在常数，使得对定义域内的任意，，都有成立，则称函数在其定义域上是“－利普希茨条件函数”．(1)请写出一个“－利普希茨条件函数”（要求明确函数的表达式、的值及定义域）；(2)若函数是“－利普希茨条件函数”，求常数的取值范围．例题3．（2022·全国·高一课时练习）对于函数，若存在，使，则称是的一个“伸缩倍点”.已知二次函数.(1)当时，求函数的“伸缩2倍点”；(2)当函数有唯一一个“伸缩3倍点”时，求二次函数的最大值.例题4．（2022·上海师大附中高二期末）函数的定义域为，若存在常数，使得对一切实数均成立，则称为“圆锥托底型”函数.(1)判断函